t t t 0 2 1 3 A C B G M L K F H D E I J A C B G M L K F H D E I J A C B G M L K F H D E I J A C B G M L K F H D E I J A C B G M L K F H D E I J
FIG. 2.1 – Illustration d’une trajectoire réelle et observée d’un objet o
Durant la période de temps Jt0, t3K, la trajectoire réelle est Pt0,t3,o= [C, D, E, I].
Le but de MOTI est d’extrapoler Pt0,t3,opar l’observation de sorte que Pt0,t3,o= Pt0,t3,o
2.3.3 L’observateur
Le système possède un observateur capable de lire, à tout temps t, le vecteur d’état St.
Le but de cet observateur est d’identifier les objets et de suivre leur trajectoire à travers le temps. Étant donné le vecteur d’état St, l’observateur utilise une fonction tag qui lui permet
d’associer un identifiant unique o ∈ O à chaque sommet v occupé (i.e. St[v] = 1). Pour tous
les autres sommets (i.e. ∀v′ ∈ V, St[v′] = 0) est associé une valeur prédéfinie⊥. La seule
contrainte est que deux sommets ne peuvent partager le même identifiant (à l’exception de ⊥). Par exemple, si St = [1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0] et O ⊂ N, il est possible d’avoir tag(St) =
[3,⊥, ⊥, 2, ⊥, 1, 4, ⊥, ⊥].
Chaque identifiant représente un objet, considéré comme unique par l’observateur. Par souci de commodité, nous introduisons la fonction loc : T × O → V qui associe le som- met v correspondant à l’étiquette o ∈ O associé par la fonction tag au temps t ∈ T .
Le vecteur contenant la liste des sommets consécutifs au cours du temps, pour un identifiant unique donné, correspond donc à une trajectoire observée : Pti,tj,o =hv
ti, . . . , vtji où vtk =
loctk(o), k ∈ Ji, jK. De la même façon, nous pouvons définir la trajectoire globale observée
par Pti,tj = Pti,tj,o
o∈O. Celle-ci correspond donc à l’ensemble de toutes les trajectoires
perçues et extrapolées par l’observateur. Trivialement, les domaines des trajectoires réelles et observées sont identiques : Pti,tj appartient à Pti,tj.
2.4 Identification d’objets et suivi de trajectoire
Nous montrons dans ce paragraphe que même avec une connaissance globale constante de l’état du système, il est impossible de déterminer de manière infaillible l’ensemble des trajectoires d’objets anonymes.
2.4.1 Le problème MOTI
Considérons un intervalle de temps Jti, tjK. Le problème de Suivi d’Objets Multiples et
leur Identification(MOTI) correspond à la définition d’une fonction tag permettant d’identifier correctement toute trajectoire réelle. Plus formellement, MOTI est résolu si :
∀o ∈ O, ∃o ∈ O : Pti,tj,o= Pti,tj,o. (2.1)
D’un point de vue global, nous pouvons donc définir MOTI selon la condition suivante :
Pti,tj = Pti,tj. (2.2)
Ceci signifie que l’ensemble des trajectoires observées est identique à celui des trajectoires réelles (cf. figure 2.1). Étant donné que ces trajectoires (aussi bien réelles qu’observées) sont directement apparentées à la localisation des différents objets mouvants, nous pouvons définir le problème MOTI à une granularité plus fine par l’expression suivante :
MOTI est résoluble ssi ∀o ∈ O, ∃o ∈ O, ∀t ∈ Jti, tjK : loct(o) = loct(o)
La difficulté de ce problème provient du fait qu’il existe des situations pour lesquelles l’observateur peut confondre au moins deux trajectoires, et ainsi rendre un résultat erroné.
2.4.2 Un résultat d’impossibilité
Les deux théorèmes présentés dans ce paragraphe permettent de conclure à l’impossibilité de résolution de MOTI dans un contexte général. En premier lieu, nous caractérisons les cas pour lesquels la résolubilité de MOTI est impossible. Les cas d’impossibilité correspondent aux cas où il existe deux trajectoires réelles distinctes pour lesquels l’observateur retourne le même ensemble de trajectoires observées. Dans un second temps, nous montrerons qu’il existe au moins un cas pour lequel la condition du théorème suivant est vérifiée.
Theorème 2.1 (Insolubilité de MOTI) Soient un intervalle de temps Jti, tjK, un GCC G(V, E),
un ensemble O de x objets et une fonction tag. MOTI est insoluble ssi3,
∃P, P′∈ Pti,tj : P 6= P′∧ P = P′ (2.3)
où P et P′sont obtenus par l’observateur en utilisant la fonction tag à partir des trajectoires
réelles P et P′.
Preuve – Considérons un intervalle de temps Jti, tjK, un GCC G(V, E) ainsi qu’un ensemble
Ode x objets.
– Préalablement, prouvons par l’absurde que si la condition 2.3 est respectée alors MOTI est insoluble.
Supposons que (1) ∃P, P′ ∈ P
ti,tj : P 6= P′∧ P = P′ et que (2) MOTI est résoluble. Étant
donné cette dernière condition, nous avons P = P ainsi que P′ = P′(cf. la définition du problème
MOTI donnée au paragraphe 2.4.1). Ainsi, en utilisant la condition (1), nous avons P 6= P′et P = P′,
2.4. Identification d’objets et suivi de trajectoire 35
ce qui conduit à une contradiction.
– Inversement, prouvons à présent par la contraposée (i.e. modus tollens) que si MOTI est inso- luble, alors la condition 2.3 est toujours vérifiée.
Soit l’hypothèse suivante : ∀P, P′ ∈ P
ti,tj : P 6= P′ =⇒ P 6= P′ ou autrement dit P =
P′∨ P 6= P′. Soit map : P
ti,tj → Pti,tj la fonction qui associe la trajectoire réelle à la trajectoire
observée, par l’utilisation de la fonction tag donnée. Toute fonction map bijective vérifie l’expression suivante :
∀P, P′∈ Pti,tj : P 6= P′=⇒ map(P ) 6= map(P′) =⇒ P 6= P′
où map(·) correspond aux trajectoires observées. Supposons que map représente la fonction iden- tité. Alors, nous avons : ∀P ∈ Pti,tj : P = map(P ) = P . Ainsi, selon la définition donnée au
paragraphe 2.4.1, MOTI est résoluble. Donc, la contraposition de ce raisonnement nous donne : MOTI est insoluble =⇒ ∃P, P′
∈ Pti,tj : P 6= P′∧ P = P′.
La combinaison des deux points précédents démontre l’équivalence du théorème 2.1, i.e. une caractérisation de l’insolubilité de MOTI.
Corollaire 2.1 (Résolubilité de MOTI) Soient un intervalle de temps Jti, tjK, un GCC G(V, E),
un ensemble O de x objets et une fonction tag. MOTI est résoluble ssi, ∀P, P′∈ Pti,tj : P 6= P′ =⇒ P 6= P′.
Par conséquent, il existe une impossibilité de résoudre MOTI si, et seulement si, il existe au moins deux trajectoires globales respectant la condition 2.3 du théorème 2.1. Ainsi, nous pouvons établir le résultat suivant :
Theorème 2.2 (Impossibilié de MOTI) Étant donné le modèle du système donnée au para- graphe 2.3, MOTI estimpossible à résoudre.
Preuve – Considérons le GCC G à 4 sommets, reliés par une boucle de 4 arcs, illustré en figure 2.2.a. De même, considérons deux objets se déplaçant dans ce graphe G ainsi qu’un intervalle constitué uniquement de deux temps consécutifs Jt0, t1K avec t1= t0+ 1.
Examinons deux trajectoires globales P, P′ ∈ P
t0,t1, présentées respectivement en figure 2.2.b
et 2.2.c. Celles-ci sont définies comme suit : P = A, B D, C (2.2.b) P′ = A, C D, B (2.2.c) Trivialement, nous avons P 6= P′.
Cependant, conformément aux caractéristiques du système et aux capacités de l’observateur, ce dernier dispose exactement des mêmes informations, présentées en figure 2.2.d, que ce soit pour P ou P′. Supposons que t
0est le temps initial d’observation. Alors, l’observateur n’a pas d’autres informa-
tions disponibles sur le système que les deux vecteurs d’états suivants, lesquels sont identiques pour P et P′: St0 = 1, 0, 0, 1 et St1 = 0, 1, 1, 0
Étant donné que la relation tag est une application (i.e. une image unique pour un antécédent donné), il existe un étiquetage unique pour un état du système, extrapolé à partir du vecteur d’état courant et
B A C D B A C D
(a) le graphe G (d) états du système vus par l'observateur
B A
C D
(b) trajectoire globale P (c) trajectoire globale P'
B A C D A B D C
t
0t
1FIG. 2.2 – Concrétisation de l’impossibilité de MOTI
Simple exemple pour lequel l’observateur ne peut pas déduire précisément la trajectoire des objets : Pour le GCC G, présenté en (a), avec deux objets, deux trajectoires globales P et P′peuvent advenir,
présentées respectivement en(b) et (c). L’observateur n’est pas capable de les distinguer en connaissance uniquement des informations présentées en(d).
du précédent étiquetage du système. Ainsi, supposons que : tag(St0) = 1,⊥, ⊥, 2 .
Étant donnés tag(St0) et St1, seulement deux possibilités sont envisageables pour tag(St1) :
(1) tag(St1) = ⊥, 1, 2, ⊥ ou (2) tag(St1) = ⊥, 2, 1, ⊥ .
Pour chacun de ces cas, tag(St1) est identique pour l’observation de P et de P′. Donc, pour une
fonction tag donnée, P = P′. D’où, dû au théorème 2.1, MOTI est insoluble.
Pour une meilleure compréhension de la dernière étape de la preuve, considérons plus précisément chacun des deux cas de figure :
Cas (1) Dans ce cas, la trajectoire globale observée, extrapolée par l’observateur, est la sui- vante : P = P′= A, B D, C . Ainsi, nous avons P = P = P′ 6= P′et MOTI n’est pas résolu.
Cas (2) Par symétrie, dans ce cas, la trajectoire globale observée, extrapolée par l’observateur, est la suivante : P = P′ = A, C D, B . Donc, nous avons P′ = P′= P 6= P et MOTI n’est pas résolu.
En définitive, il existe au moins un cas pour lequel MOTI n’est pas résoluble. D’où, l’exis- tence de l’impossibilité de résolution et la preuve du théorème 2.2.