Chapitre 8. Formes quadratiques
8.4. Un peu de g´eom´etrie. Division harmonique
Supposons donn´ee une droite affine ∆, et sur cette droite consid´erons quatre points A, B, C et D. Supposons ces points deux `a deux distincts. On dit que le quadruplet (A,B,C,D) forme une division harmonique si
CA
CB =−DA DB. En ´ecrivant cette relation sous la forme
CA DB =−DA CB
on peut inclure un certain nombre de cas particuliers. Par exemple, si C = B, on doit prendre D = B aussi, donc (A,B,B,B) est un cas particulier de division harmonique.
Remarque. La situation est r´eversible : si (A,B,C,D) est une division harmonique, il en est de mˆeme pour (C,D,A,B).
Si on prend pour C le milieu de AB, on ne peut pas trouver de point D qui v´erifie la relation de division harmonique. Cependant, si on consid`ere un point C′ diff´erent du milieu mais qui s’approche du milieu de AB, on voit que le point D′ correspondant s’´eloigne
`
a l’infini quand C′ tend vers le milieu L. On dit alors que (A,B,L,∞) forme encore une division harmonique. Cette notion de point `a l’infini se formalise pr´ecis´ement avec la notion de droite projective. Supposons que ∆ soit repr´esent´ee comme droite affine du plan, droite ne passant pas par 0, d’´equation
ux1+vx2= 1.
La droite projective P1 est l’ensemble des droites vectorielles du plan. On obtient une visualisation de la droite projective en associant `a chaque D∈P1le point d’intersectionxD
de D avec la droite ∆. En fait ce proc´ed´e ne s’applique pas `a la droite exceptionnelle D0dont l’´equation estux1+vx2= 0, qui est parall`ele `a ∆ et ne coupe donc pas ∆. On consid`ere que cette droite D0 parall`ele `a ∆ repr´esente lehhpoint `a l’infiniiisur ∆. Une droite vectorielle D est form´ee de points de la forme (td, td′), o`u t varie dansR et o`u (d, d′) est un vecteur directeur pour D (il s’agit donc d’un vecteur non nul). On dit que (d, d′) est un syst`eme de coordonn´ees homog`enes pour lehhpointiiD de l’espaceP1. Les coordonn´ees homog`enes ne
sont pas uniques. Ainsi, (1,1), (2,2) ou (−1,−1) repr´esentent le mˆemehhpointiide l’espace projectif. La notion de point `a l’infini n’a pas de sens intrins`eque : elle d´epend de la droite
∆ choisie pour repr´esenter P1.
Si on utilise les coordonn´ees homog`enes, la relation de division harmonique devient (c′a−a′c)(d′b−b′d) =−(d′a−a′d)(c′b−b′c),
o`u chacun des points A,B,C,D a des coordonn´ees homog`enes, (a, a′) pour A, (b, b′) pour B, etc. . .
On suppose maintenant donn´ee une droite affine ∆ dans un espace vectoriel r´eel E de dimension ≥2, et sur cette droite deux points distincts A et B. On consid`ere deux autres points C et D de la droite, qui sont d´efinis par
−→AC =λ−→AB, −→AD =µ−→AB,
o`u λ et µ sont deux nombres r´eels. Dire que (A,B,C,D) forme une division harmonique revient alors `a dire que −λ(µ−1) =µ(λ−1), soit encore
λ+µ= 2λµ.
Les conditions suivantes sont ´equivalentes.
(a) Les points (A,B,C,D) forment une division harmonique, c’est-`a-dire (λ+µ)−2λµ= 0.
(b) Pour tout point Ω, pour toute forme quadratique Q de forme polaire ϕQ, telle que Q(−→ΩA) = Q(−→ΩB) = 0, on aϕQ(−→ΩC,−→ΩD) = 0.
(c) Pour tout point Ω hors de ∆, il existe une forme quadratique Q de forme polaireϕQ, non identiquement nulle sur le plan vectoriel [−→ΩA,−→ΩB] et telle que Q(−→ΩA) = Q(−→ΩB) = 0, etϕQ(−→ΩC,−→ΩD) = 0.
(d) Il existe un point Ω hors de ∆, une forme quadratique Q de forme polaireϕQ, non identiquement nulle sur le plan vectoriel [−→ΩA,−→ΩB] et telle que Q(−→ΩA) = Q(−→ΩB) = 0, et ϕQ(−→ΩC,−→ΩD) = 0.
Etant donn´e un point Ω, posons´ x=−→ΩA et y=−→ΩB. On a alors −→AB =y−x. Pour tout t∈R, d´efinissons le point M(t) de la droite ∆ par la relation−−−−→AM(t) =t(y−x), et posons z(t) = −−−−→ΩM(t). On a donc z(t) = x+t(y −x) = (1−t)x+ty. Notons que C = M(λ),
−→ΩC = z(λ), D = M(µ), −→ΩD = z(µ), x = z(0) et y = z(1). Remarquons qu’une forme quadratique Q telle que Q(x) = Q(y) = 0, de forme polaire ϕ, est nulle sur le plan [x, y] si on ajoute la conditionϕ(x, y) = 0 (en effet, sa matrice dans la base (x, y) du plan est alors nulle).
Partons de la premi`ere hypoth`ese. Supposons que λ+µ = 2λµ, et soit Q une forme quadratique v´erifiant les conditions de (b) ; on suppose donc que Q(x) = Q(y) = 0. On aura
ϕ(z(λ), z(µ)) =ϕ((1−λ)x+λy,(1−µ)x+µy) = ((1−λ)µ+λ(1−µ))ϕ(x, y) = 0, ce qui montre (b).
Supposons maintenant que la propri´et´e (b) soit satisfaite. Soit Ω un point hors de ∆ ; il faut trouver une forme quadratique Q qui s’annule pour x et y, non identiquement nulle sur le plan vectoriel [x, y]. Posonse1 = 12−→AB. Soit L le milieu de AB et d´efinissons e2 par
−→ΩL =e2. D´efinissons Q ´egale `ax21−x22, o`ux1, x2 sont les deux premi`eres coordonn´ees dans une base de E commen¸cant par e1, e2. On a alors Q(−→ΩA) = Q(e2−e1) = 0, et de mˆeme pour le point B, on a Q(−→ΩB) = Q(e1+e2) = 0. D’apr`es l’hypoth`ese (b), on en d´eduit que ϕ(−→ΩC,−→ΩD) = 0. Par ailleurs Q(−→ΩL) =−16= 0, donc on a bien montr´e la propri´et´e (c).
L’implication (c)⇒(d) est ´evidente. Supposons pour finir que (d) soit satisfaite. On a alors ϕ(x, y)6= 0 puisque Q n’est pas nulle sur le plan [x, y]. De plus
ϕQ(z(s), z(t)) = (s(1−t) +t(1−s))ϕ(x, y),
et puisque notre derni`ere hypoth`ese est ϕ(z(λ), z(µ)) = 0, on obtient bien la relation λ(1−µ) +µ(1−λ) = 0.
Cons´equence. Faisceau de droites passant par des points en division harmonique
On suppose que ∆ est une droite du plan, et que sur cette droite quatre points (A,B,C,D) forment une division harmonique. Par un point Ω hors de ∆ on trace quatre droites
∆α,∆β,∆γ,∆δ qui coupent ∆ en A,B,C,D et une autre droite ∆1 en A1,B1,C1,D1. Ces quatre nouveaux points forment une division harmonique.
En effet, puisque Ω est hors de ∆ il existe une forme quadratique non triviale qui v´erifie les conditions de (c) pour les points A,B,C,D. Les vecteurs correspondants −−→ΩA1, −−→ΩB1,
−−→ΩC1 et−−→ΩD1´etant des multiples des vecteurs−→ΩA, −→ΩB,−→ΩC et −→ΩD, les bonnes propri´et´es de Q sur A,B,C,D se transmettent `a A1,B1,C1,D1 : on aura donc Q(−−→ΩA1) = 0, Q(−−→ΩB1) = 0, ϕ(−−→ΩC1,−−→ΩD1) = 0, ce qui montre que (A1,B1,C1,D1) est une division harmonique.
On appelle faisceau harmonique de droites un ensemble de quatre droites du plan avec les propri´et´es de ∆α,∆β,∆γ,∆δ. Pour toute droite affine ∆ ne passant pas par le point d’intersection Ω des quatre droites du faisceau, les quatre points d’intersection de ∆ avec les droites du faisceau forment une division harmonique.
Coniques
Consid´erons une ellipse dans le plan, d’´equation ax21+bx22= 1,
aveca, b >0. On place une hhcopieiide ce plan dansR3, `a l’altitudex3 = 1. D´esignons par Π le plan de R3 d’´equation x3 = 1. La conique Γ du plan Π est l’intersection de Π avec l’ensemble (C) deR3 d´efini par l’´equation
ax21+bx22−x23= 0,
c’est-`a-dire l’ensemble des vecteurs isotropes d’une forme quadratique de signature (2,1) sur R3 donn´ee par
Q(x) =ax21+bx22−x23 = 0.
La forme polaire est alors ´egale `a
ϕ(x, y) =a x1y1+b x2y2−x3y3.
Expliquons le point de vue projectif. Le plan projectif est l’ensemble des droites vecto-rielles deR3. L’ensemble (C) s’identifie `a un ensemble de droites passant par 0, c’est-`a-dire
`
a un ensemble de points du plan projectif. C’est uneconique du plan projectif. Si on coupe (C) par d’autres plans que Π (plans affines qui ne passent pas par 0), on obtient des vi-sualisations diff´erentes de la conique du plan projectif. On peut obtenir ainsi une section plane de (C) qui soit une hyperbole ou une parabole. Par exemple, si on coupe (C) par le plan x2= 1, la section, projet´ee sur le plan (x1, x3) a pour ´equation
ax21−x23=−b,
qui est une hyperbole (exercice : trouver un plan qui coupe (C) suivant une parabole).
Conjugaison par rapport `a Γ et divisions harmoniques. On dit que deux points M et P du plan Π sont conjugu´es par rapport `a (Γ) si les vecteurs−−→OM et−→OP sont ϕ-orthogonaux.
Un point A de Γ est conjugu´e de lui-mˆeme. L’ensemble des conjugu´es d’un point M∈Π est l’intersection de Π avec le plan vectoriel−−→OM⊥. C’est donc une droite de Π, appel´eedroite polaire du point M. Supposons que M ne soit pas sur (Γ), que ∆ soit une droite passant par M qui recoupe la polaire de M en P, et l’ellipse en A et B. Les points (A,B,M,P) forment une division harmonique. En effet, Q(−→OA) = Q(−→OB) = 0 puisque A et B sont deux points de (Γ), et ϕ(−−→OM,−→OP) = 0 puisque P appartient `a la droite polaire de M.
Exercices.
1. Dans le cas o`u M = A est un point de (Γ), montrer que la droite polaire de M passe par A et ne passe par aucun autre point de (Γ). C’est donc la tangente en A `a l’ellipse.
2. Si d’un point M hors de (Γ) on peut tracer deux tangentes `a l’ellipse qui touchent l’ellipse en A et B, montrer que la polaire de M est la droite qui passe par A et B.
3. Si on trace des cordes parall`eles `a une droite ∆ du plan Π, montrer que l’ensemble des milieux est situ´e sur une droite, qui est la polaire du point `a l’infini correspondant `a la droite vectorielle de mˆeme direction que ∆.