Espaces m´etriques. Espaces complets

Si T a la forme de Jordan on obtient une information un peu plus pr´ecise.

Cons´equence. Si toutes les valeurs propres (r´eelles ou complexes) de la matrice A sont de partie r´eelle <0, la matrice e^tA tend vers 0 lorsque t→+∞ (on peut d´emontrer que c’est si et seulement si).

7.6. Espaces m´etriques. Espaces complets

D´efinition 7.6.1. Un espace m´etrique est la donn´ee d’un couple (X, d), o`u X est un ensemble muni d’une distance d, qui est une applicationd: X×X →[0,+∞[ v´erifiant les trois axiomes des distances indiqu´es pr´ec´edemment :

1. d(x, z) ≤ d(x, y) +d(y, z) pour tous x, y, z ∈ X (in´egalit´e triangulaire pour une dis-tance).

2.d(x, y) =d(y, x) pour tousx, y∈X.

3. (d(x, y) = 0)⇔(x=y) pour tous x, y∈X.

Exemples.

1. Sur Rla distance habituelle est d(x, y) =|x−y|. Sur R^p, on a la distance euclidienne par exemple.

2. Il est souvent utile d’introduire des distances qui n’ont pas imm´ediatement une signi-fication g´eom´etrique. La remarque suivante est utile dans cette optique. Si (Y, δ) est un espace m´etrique et si f : X→Y est une application injective, on peut d´efinir une distance sur X par la formule d(x, x^′) =δ(f(x), f(x^′)), pour tousx, x^′∈X.

3. Un exemple de distance sur X =N∪ {+∞}=N: on posed(m, n) =|2^−m−2⁻ⁿ|pour m, nentiers etd(n,+∞) = 2⁻ⁿ. Cette distance revient `a identifierNavec le sous-ensemble {2<sup>−n</sup> :n∈N} ∪ {0} deR. C’est une application de la remarque pr´ec´edente `a l’injectionf deNdans Rd´efinie parf(n) = 2⁻ⁿ pour tout entiern≥0, et f(+∞) = 0.

4. Sur [0,1[, posonsd(x, y) = min{|x−y|,|x+ 1−y|,|x−1−y|}. C’est une distance, qui revient `a identifier [0,1[ `a un cercle de longueur 1, muni de la distance qui est la longueur du plus court parcours sur le cercle entre deux points (on pourrait introduire l’injection de [0,1[ dans le cercle du plan complexe d´efinie par f(x) = e^2πix).

Suites convergentes

D´efinition 7.6.2. Soit (X, d) un espace m´etrique ; on dit qu’une suite (xn) de points de (X, d) tend vers le point x ∈X (ou converge vers x) si d(xn, x) tend vers 0 quandn tend vers l’infini.

Continuit´e d’applications entre deux espaces m´etriques

D´efinition 7.6.3.Soient (X, dX) et (Y, dY) deux espaces m´etriques ; soitf une application de (X, dX) dans (Y, dY) ; elle est continue de (X, dX) dans (Y, dY) au point a∈ X si pour tout ε >0 il existeδ=δ(ε)>0 tel que

∀x∈X,

dX(x, a)< δ⇒dY(f(x), f(a))< ε .

Exemple. Dire que (xn) est une suite de nombres r´eels qui converge versx´equivaut `a dire que la fonction X : (N, d)→Rd´efinie par X(n) =xn et X(+∞) =x est continue au point +∞ ∈N(en notant (N, d) l’espace m´etrique d´efini ci-dessus).

Proposition 7.6.4.La fonction f : X→Y est continue au point a∈X si et seulement si pour toute suite(xn) tendant versadans (X, dX) (c’est-`a-dire quedX(xn, a)→0), la suite (f(xn)) tend vers f(a) dans (Y, dY).

Suites de Cauchy. Espace m´etrique complet

D´efinition 7.6.5. Soit (xn) une suite dans (X, d) ; on dit que (xn) est une suite de Cauchy si pour tout ε >0, il existe N tel pour tous m, n≥N on ait d(xm, xn)< ε.

On remarque que toute suite convergente est de Cauchy. On dit que l’espace m´etrique (X, d) est complet si toute suite de Cauchy dans X admet une limite dans X.

Convergence uniforme des suites de fonctions

On va interpr´eter les r´esultats du chapitre3dans le langage de cette section. On a d´efini au chapitre 3 une norme kfk^u,X sur l’espace vectoriel B(X) des fonctions complexes born´ees sur X, la norme uniforme def.

Proposition 7.6.6.Soit(fn)une suite de Cauchy de fonctions complexes born´ees d´efinies sur X; il existe une fonctionf ∈B(X)telle que (fn) converge uniform´ement surX versf. En d’autres termes, l’espace B(X)muni de la norme k.k^u,X est complet.

D´emonstration. Pour tout ε > 0 donn´e, il existe N tel que kfm−fnk < ε pour tous les entiersm, n plus grands que N. Pour toutx∈X, on a alors

|fm(x)−fn(x)| ≤ kfm−fnk,

donc la suite (fn(x)) est une suite de Cauchy de nombres complexes, qui converge donc vers une limite que l’on appellef(x). En passant `a la limite dans l’in´egalit´e large ci dessus, lorsque mtend vers +∞(en gardant nfix´e) on obtient

|f(x)−fn(x)| ≤ε, pour toutx∈X, donc kf −fnk ≤εpourn assez grand.

Exercice. Soit A un sous-ensemble non vide de R^p, et x0 ∈ R^p un point adh´erent `a A ; montrer que le th´eor`eme d’interversion des limites implique que l’ensemble F des fonctions f ∈B(A) qui tendent vers une limite quandx tend vers x0 est un sous-ensemble ferm´e de B(A).

Suites de fonctions continues

Soient A un sous-ensemble non vide de R^p; d´esignons par Cb(A) le sous-espace vectoriel de B(A) form´e des fonctions complexes continues et born´ees sur A.

Th´eor`eme 7.6.7.L’espace vectoriel Cb(A), muni de la normek.kB(A), est un espace com-plet.

D´emonstration. Ce r´esultat est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme sur la continuit´e d’une limite uniforme de fonctions continues (th´eor`eme 3.1.6).

In´egalit´e de Cauchy-Schwarz dans un cas plus g´en´eral. S´eries de Fourier

Soit E un espace vectoriel r´eel et soit ϕ une forme bilin´eairesym´etrique etpositive sur E, c’est-`a-dire que

∀x, y∈E, ϕ(x, y) =ϕ(y, x) ; ∀x∈E, ϕ(x, x)≥0.

Soient x, y ∈ E ; on a donc ϕ(tx +y, tx+y) ≥ 0 pour tout r´eel t. En d´eveloppant on obtient un trinˆome r´eel t²ϕ(x, x) + 2tϕ(x, y) +ϕ(y, y), qui est ≥0 pour tout t∈R, donc son discriminant est ≤0, ce qui donne l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz

(ϕ(x, y))²_≤ϕ(x, x)ϕ(y, y).

d´efinie pour tout couple de fonctions Riemann-int´egrables r´eelles sur [a, b]. Il est clair que ϕest bilin´eaire, sym´etrique et positive. On obtient donc

| Dans le cas de fonctions `a valeurs complexes, on posera plutˆot

hf, gi= Application : in´egalit´e de Bessel pour les coefficients de Fourier

Soit f une fonction 2π-p´eriodique, r´eelle ou complexe, et Riemann-int´egrable sur [0,2π]

(la fonction f est donc born´ee par hypoth`ese). On d´efinit les coefficients de Fourier de la fonctionf, pour toutn∈Z, par la formule On d´efinit les sommes partielles de la s´erie de Fourier def,

SN(x) =

On obtient alors avec l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz pour les int´egrales la relation XN

=(

Cons´equence. On obtient comme cons´equence imm´ediate le fait que les coefficients de Fourier tendent vers 0,

|n|→+∞lim cn = lim

|n|→+∞bf(n) = 0.

Exercice. G´en´eraliser le r´esultat de la ligne pr´ec´edente au cas o`u f n’est plus suppos´ee born´ee, mais o`u on suppose seulement que R2π

0 |f(t)|dt est une int´egrale g´en´eralis´ee con-vergente.

Th´eor`eme 7.6.8. On suppose quef est 2π-p´eriodique et int´egrable-Riemann sur [0,2π].

Pour tout point xtel que f soit d´erivable au pointx, on a f(x) = lim

D´emonstration. Par translation on peut se ramener au cas o`u x = 0, et en ajoutant une constante, au cas o`u f(0) = 0. On doit donc montrer dans ce cas que SN(0) tend vers

On introduit la fonctiong(t) =f(t)/(1−e^it). Puisquef est suppos´ee d´erivable au point 0, cette fonction g se prolonge en fonction born´ee sur [−π, π], donc l’expression pr´ec´edente est ´egale `ab<sup>g(N)</sup>−b<sup>g(</sup>−N−1), quantit´e qui tend vers 0 quand N→+∞d’apr`es les r´esultats pr´ec´edents.

Remarque. On a un tout petit peu trich´e, car la d´efinition de la convergence d’une s´erie P+∞

−∞ demande de montrer la convergence s´epar´ement de P+∞

n=0 et P0

n=−∞. Exercice : r´eparer cet accroc.

Exercice. G´en´eraliser au cas o`u R2π

0 |f(t)|dt est une int´egrale g´en´eralis´ee convergente, et o`u x est un point tel que|f(x+h)−f(x)| ≤M|h|^γ pourhassez petit, avec γ >0.

ALG ` EBRE ET

ANALYSE APPROFONDIES II

MT242

Ann´ee 1998-1999

Introduction g´en´erale de la seconde partie

Dans cette introduction nous allons commenter les principales notions contenues dans le cours du second semestre, leurs relations entre elles et avec le cours du premier semestre.

La mod´elisation de nombreux probl`emes concrets conduit souvent `a la recherche du minimum (ou du maximum) d’une quantit´e f d´ependant d’une ou plusieurs variables, par exemple f(x), avec x r´eel, ou bien f(x₁, x₂), avec x₁, x₂ r´eels. Si f ne d´epend que d’une seule variable, on peut attaquer le probl`eme par les m´ethodes d´ej`a vues au lyc´ee : rechercher les z´eros de la d´eriv´ee, et chercher ensuite si le point trouv´e (ou l’un des points trouv´es) est effectivement un minimum. On a vu en premi`ere ann´ee comment ´etudier cette deuxi`eme question avec un d´eveloppement limit´e (en abr´eg´e : DL) d’ordre 2 au voisinage du point candidat ; si g est de classe C² au voisinage de a et si g^′(a) = 0 (condition n´ecessaire pour avoir un minimum au point a) on pourra ´ecrire par exemple avec Taylor-Young la relation

g(a+h) =g(a) +g^′′(a)h²

2 +o(h²)

qui montre que la conditiong^′′(a)≥0 est n´ecessaire pour quegadmette un minimum au point a, et que la condition g^′′(a) >0 est suffisante pour que a soit un minimum local.

L’´etude en plusieurs variables fait apparaˆıtre la notion de diff´erentielle (pour remplacer la d´eriv´ee en une variable), qui sera introduite au chapitre 10. Par exemple, un DL `a l’ordre 1 de la fonction f(x₁, x₂) de deux variables r´eelles x₁, x₂ au voisinage du point origine (0,0) sera une expression de la forme

f(x₁, x₂) =f(0,0) +ax₁+bx₂+o(x),

et la diff´erentielle (de la fonction f au point (0,0)) sera lafonction lin´eaire ℓ donn´ee par la partie lin´eaire du d´eveloppement limit´e, c’est-`a-dire qu’ici la fonction ℓ sera d´efinie parℓ(x₁, x₂) =ax₁+bx₂. Par une extension assez naturelle du cas de la dimension 1, la condition n´ecessaire pour que f admette un minimum au point (0,0) s’exprimera main-tenant par la nullit´e de l’application diff´erentielle ℓ de f au point (0,0), en l’occurrence elle s’exprimera par les conditionsa=b= 0. Pour aller plus loin, on ´ecrira un DL d’ordre 2 qui sera de la forme

f(x1, x2) =f(0,0) +ax1+bx2+cx²₁+ 2dx1x2+ex²₂+o(kxk²), qui se r´eduira `a

f(x₁, x₂) =f(0,0) +cx²₁+ 2dx₁x₂+ex²₂+o(kxk²)

quand la diff´erentielle s’annule. Pour que f admette un minimum en 0, il est alors n´ecessaire que cx²₁ + 2dx1x2 + ex²₂ soit toujours ≥ 0. Une telle expression est une forme quadratique, dont l’´etude fait l’objet du chapitre 8. On verra notamment dans le chapitre 8 la m´ethode de d´ecomposition de Gauss, une m´ethode simple qui donne en particulier le signe d’une forme quadratique.

Pour allonger la liste des outils de manipulation des fonctions de plusieurs variables, la th´eorie de l’int´egrale double compl`ete le calcul diff´erentiel. Le th´eor`eme fondamental

dans cette direction est le th´eor`eme 11.3.8, qui ram`ene le calcul d’une int´egrale double

`

a deux int´egrales simples successives.

Un autre outil de mod´elisation tr`es important est la notion d’´equation diff´erentielle.

Chacun sait que de nombreux ph´enom`enes physiques sont d´ecrits au moyen d’´equation diff´erentielles, par exemple la chute des corps, le mouvement des plan`etes, l’oscillation d’un ressort. . . Ceci sera vu au chapitre 12. Le th´eor`eme d’existence de solutions de Cauchy-Lipschitz (th´eor`eme 12.3.8) est un th´eor`eme important, dont la preuve est une belle illustration de l’utilisation des th´eor`emes de continuit´e et de d´erivabilit´e sur les s´eries normalement convergentes de fonctions, th´eor`emes vus au premier semestre. Le cas des syst`emes diff´erentiels lin´eaires (`a coefficients constants), de la forme

y^′ = Ay

utilise la s´erie exponentielle de matrice e^tA. Une question naturelle qui se pose pour un ph´enom`eney(t) d´ependant du tempst et r´egi par une telle ´equation diff´erentielle lin´eaire est de connaˆıtre le comportement de la solution lorsque le temps t tend vers +∞; cette

´etude utilise toute la th´eorie de la r´eduction des matrices, vue au premier semestre.

Le poly se termine par un index terminologique et un index des notations.