S´eries de vecteurs dans R p , s´eries de matrices

D´efinition 7.5.1. Soit E un espace vectoriel norm´e ; on dit qu’une suite (x_n) de points de E est une suite de Cauchy si pour tout ε >0, il existe N tel pour tous m, n≥ N on ait d(x_m, x_n)< ε.

On dit que l’espace E estcomplet si toute suite de Cauchy dans E admet une limite dans E.

Th´eor`eme 7.5.2. L’espace R^p est complet. Plus g´en´eralement, tout espace vectoriel E de dimension finie est complet.

D´emonstration. Avec les coordonn´ees. ´Ecrivons la d´emonstration pourp= 2 pour simpli-fier. Supposons que (x_n) soit une suite de Cauchy dansR², avecx_n = (a_n, b_n),a_n, b_n ∈R.

L’in´egalit´e |a_m−a_n| ≤ d(x_m, x_n) montre que la suite (a_n) est une suite de Cauchy de nombres r´eels, donc la suite (a_n) converge dansRvers une limite a, et de mˆeme la suite (b_n) converge versb∈R. On sait alors que la suite (x_n) converge dansR² versx = (a, b).

D´efinition 7.5.3. Soient u0, u1, . . . , un, . . . des vecteurs d’un espace vectoriel r´eel ou complexe E de dimension finie ; on dit que la s´erie de vecteurs P

u_n est convergente si la suite (Un) des sommes partielles d´efinie par

U_n=u₀+· · ·+u_n

converge dans E vers un vecteur U. On d´efinit alors la somme de la s´erie par X+∞

n=0

u_n = U = lim

n→+∞U_n ∈E.

Si on passe aux coordonn´ees dans une base de E, on voit que la s´erie de vecteurs P u_n converge dans E si et seulement si les p s´eries coordonn´ees convergent, et que laj-i`eme coordonn´ee du vecteurP+∞

n=0u_n est ´egale `a la somme de la s´erie desj-i`emes coordonn´ees des vecteurs un.

S´eries normalement convergentes de vecteurs dans un espace vectoriel E de dimension finie : si P

On sait que (V_n) converge par hypoth`ese, donc elle est de Cauchy, donc (U_n) est aussi une suite de Cauchy, mais dans E. On peut aussi d´emontrer facilement le r´esultat en passant aux coordonn´ees. Dans le cas particulier des s´eries de matrices, on obtient le principe suivant :

si P

kAnk<+∞, la s´erie de matrices P

An converge dans Mp(C).

Si P

ku⁽ⁿ⁾k < +∞, les s´eries des coordonn´ees dans une base quelconque de E v´erifient P|u⁽ⁿ⁾_i | <+∞ pour i= 1, . . . , p = dim E, donc on peut calculer leur somme en faisant des regroupements par paquets, d’apr`es le th´eor`eme 2.5.4. En appliquant ce principe

`a chaque coordonn´ee, on voit que pour toute s´erie P

u_n de vecteurs d’un espace de dimension finie E, telle queP

Exercice (difficile). Montrer que l’ensemble des sommes des permut´ees d’une s´erie simple-ment convergente de vecteurs de E (celles des permut´ees qui sont rest´ees convergentes) est un sous-espace affine de E.

Inversibilit´e et condition de norme

Proposition 7.5.4. Soit E un espace norm´e de dimension finie ; si h est un endomor-phisme de E tel que khk<1, l’endomorphisme u= IdE−h est inversible et de plus

k(Id_E−h)⁻¹k ≤(1− khk)⁻¹.

D´emonstration. On ´ecrit dans l’espace norm´e de dimension finie L(E,E) la s´erie nor-malement convergente

v= X∞ n=0

hⁿ et on v´erifie quev est l’inverse de Id_E−h.

Si A est une matrice de taille p×p telle que kAk< 1, o`u la norme de matrice est calcul´ee `a partir d’une norme donn´ee sur C^p comme on l’a expliqu´e pr´ec´edemment, on a de la mˆeme fa¸con

(I_p−A)⁻¹ = X∞ n=0

Aⁿ.

L’inverse de la matrice Ip−A se calcule encore par la s´erie g´eom´etrique si on sait seulement que toutes les valeurs propres complexes de A sont de module < 1 (c’est-`a-dire quand ρA <1). En effet dans ce cas on sait d’abord que Ip−A est inversible, et on a vu que la suite (Aⁿ) tend vers 0, et on a en notant B l’inverse de Ip−A

Ip+ A +· · ·+ Aⁿ = B(Ip−Aⁿ⁺¹)→B.

Exponentielle de matrice

Posons K = R ou C. On suppose donn´ee une norme sur K^p (par exemple la norme euclidienne si on veut, mais cela n’a pas d’importance), et on en d´eduit une norme sur M_p(K) ≃ L(K^p,K^p) comme rappel´e ci-dessus. ´Etant donn´ee une matrice A de taillep×p, la s´erie

X Aⁿ n!

≤XkAkⁿ n!

est convergente, ce qui permet de poser e^A=

+∞X

n=0

Aⁿ n! . On voit que ke^Ak ≤e^kAk.

Exemples.

1. Si A est diagonale, e^A est la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les e^ai,i; si A est diagonale par blocs, e^A est diagonale par blocs et les blocs diagonaux de e^A sont les exponentielles des blocs diagonaux de A.

2. Si R est la matrice de la rotation d’angle π/2 dans R², la matrice e^tR est la matrice de la rotation d’anglet.

On va s’int´eresser `a la fonction exponentielle de matrice t → e^tA, lorsque t varie dans R. On peut noter que e^tIp = e^tI_p pour tout t r´eel (ou complexe) ; en particulier, si 0_p d´esigne la matrice nulle de taille p×p, on a

e^0p = I_p.

Pour tout entier n ≥ 0, d´esignons par A⁽ⁿ⁾_i,j le coefficient (i, j) de la matrice Aⁿ. On a alors|A⁽ⁿ⁾_i,j| ≤ kAⁿk2 ≤ kAkⁿ2 pour tout n≥1, ce qui montre que lesp² s´eries coefficients

+∞X

n=0

tⁿ n! A⁽ⁿ⁾_i,j

de la matrice e^tA convergent pour tout t ∈ R. Les coefficients de la matrice e^tA sont donc des s´eries enti`eres de la variable t, de rayon de convergence infini, qui sont par cons´equent d´erivables sur R, avec pour d´eriv´ee

X+∞

n=1

tⁿ⁻¹

(n−1)! A⁽ⁿ⁾_i,j .

Ces coefficients sont les coefficients de la matrice somme de la s´erie (de matrices) d´eriv´ee Ptⁿ⁻¹Aⁿ/(n−1)!, donc

d

dt e^tA=

+∞X

n=0

tⁿ n! Aⁿ⁺¹ ce qui donne

(∗∗) d

dte^tA= A e^tA= e^tAA.

Proposition 7.5.5. Si les matrices A et Bcommutent, on a e^A+B = e^Ae^B.

En particulier, la matrice e^A est inversible et son inverse est e^−A. D´emonstration. On remarque que si AB = BA,

(∗) B e^A = lim

n B(I_p+· · ·+ Aⁿ

n! ) = lim

n (I_p+· · ·+ Aⁿ

n! )B = e^AB.

On introduit la fonction t→M(t) `a valeurs matrices d´efinie par M(t) = e^tA+tBe^−tAe^−tB,

dont on montre que la d´eriv´ee est nulle, grˆace aux propri´et´es (∗) et (∗∗) ci-dessus. En

´ecrivant que M(1) = M(0), on obtient la relation e^A+Be^−Ae^−B = I_p.

En appliquant ceci `a B = −A, on trouve e^Ae^−A = I_p, ce qui permet de transformer la relation pr´ec´edente en e^A+B= e^Be^A.

Remarque. On aurait pu aussi d´emontrer ce r´esultat par sommation par paquets, comme dans le cas complexe (chapitre 2).

Calcul pratique d’exponentielles de matrices

On se sert de la th´eorie de la r´eduction des matrices complexes, qui utilise la d´ecom-position de C^p en sous-espaces caract´eristiques de la matrice A et la triangulation des blocs caract´eristiques. On sait ainsi que la matrice A peut s’´ecrire A = VMV⁻¹, o`u V est inversible, et o`u M est une matrice diagonale par blocs, chaque bloc diagonal ´etant une matrice triangulaire T_α, avec une valeur constanteλ_α ∈C sur la diagonale (λ_α est l’une des valeurs propres (complexes) de la matrice A). On obtient alors e^tA = V e^tMV⁻¹, et e^tM est diagonale par blocs, chaque bloc ´etant ´egal `a e<sup>tTα</sup>. Il reste `a expliquer l’allure de e^tT, o`u T est l’un quelconque de ces blocs diagonaux de M, de taille p×p. On peut

´ecrire T = λI_p+ N, o`u N est nilpotente, ce qui donnera puisque λI_p commute avec N et que N^p = 0

e^tT = e^tλIpe^tN = e^tλ I_p+tN + t²

2!N²+· · ·+ t^p−1

(p−1)!N^p−1 . Si T a la forme de Jordan on obtient une information un peu plus pr´ecise.

Cons´equence. Si toutes les valeurs propres (r´eelles ou complexes) de la matrice A sont de partie r´eelle <0, la matrice e^tA tend vers 0 lorsque t→+∞ (on peut d´emontrer que c’est si et seulement si).