Un param´etrage des configurations

On calcule dans cette section des param`etres explicites pour trois plans lagrangiens L0, L1 et

L2 deux `a deux s´ecants dans l’espace hyperbolique complexe, avec deux paires d’angles fix´ees

Angle(L0, L1) ={θ1, θ2} et Angle(L1, L2) ={θ3, θ4}.

On commence par normaliser de fa¸con que L0 soit le R-plan standard (la projection dans

CP2 _{de R}3 _{⊂ C}3_{), le point d’intersection de L}

0 et L1 soit O (le centre de la boule, projection

du vecteur n´egatif [0, 0, 1]T _{∈ C}2,1_{), et que L}

1 soit la projection de l’image diagonale:

L1 =   e iθ1 0 0 0 eiθ2 ₀ 0 0 1   · L0

Ceci est le maximum que l’on puisse imposer, parce qu’en g´en´eral cette configuration de deux lagrangiens n’a plus d’isotropie (sauf si l’un des angles est nul, i.e. les lagrangiens ont une g´eod´esique commune, auquel cas on a encore un param`etre d’isotropie, `a savoir la translation le long de cette g´eod´esique). Il nous reste donc trois param`etres: deux pour les coordonn´ees x, y dans L1 du point d’intersection p1 = L1∩ L2, et un param`etre angulaire ϕ pour la famille

de lagrangiens L2 rencontrant L1 en p1 avec angles fix´es {θ3, θ4} (voir la section suivante sur

les paires de lagrangiens).

Pour cette derni`ere famille, l’id´ee est de param´etrer d’abord la famille Lv(ϕ) de lagrangiens

passant par O et ayant la paire d’angles fix´ee _{θ3, θ4} avec le lagrangien standard L0 (ceci est

un probl`eme vectoriel dans C2_{). On trouve alors une transformation U}

01 ∈ U(2, 1) qui envoie

p´enible analogue au proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Le troisi`eme lagrangien L2(ϕ) est alors simplement l’image U01(Lv(ϕ)).

Nous nous int´eresserons principalement `a une matrice asoci´ee `a la R-r´eflexion σ2 par rapport

`a L2(ϕ), c’est-`a-dire une matrice A2 ∈ U(2, 1) telle que, en coordonn´ees z de la boule, σ2(z) =

A2.z. Une autre mani`ere d’exprimer ceci est de dire que A2est une matrice de la transformation

unitaire σ2 ◦ σ0, et on voit ainsi qu’elle contient toute l’information sur la configuration des

deux R-plans L0 et L2 (A2 est une matrice de Souriau de la paire (L0, L1) au sens de [N],[FP]).

Concr`etement, le type de cette isom´etrie (elliptique, parabolique, ou loxodromique) nous dit si les deux R-plans se coupent `a l’int´erieur, au bord, ou `a l’ext´erieur de la boule; sa classe de conjugaison particuli`ere (dans le cas elliptique qui nous int´eresse) nous donne la paire d’angles entre les R-plans. Plus pr´ecis´ement (voir [CG] p. 64 pour plus de d´etails), une transformation elliptique g de H2

C est repr´esent´ee par des matrices de U (2, 1) qui sont diagonalisables avec

valeurs propres de norme 1. Une de ces valeurs propres est de type n´egatif au sens o`u l’espace propre associ´e est contenu dans le cˆone n´egatif de la forme hermitienne de C2,1 _{(il se projette}

ainsi sur le point fixe de g dans H2

C). Si les valeurs propres sont eiφ

1_{, e}iφ2 _{et e}iφ3_{, la derni`ere}

´etant de type n´egatif, alors la classe de conjugaison de g est caract´eris´ee par la paire d’angles (de rotation) _{φ1− φ3, φ2− φ3}, et la paire d’angles (de r´eflexion) entre les R-plans L0 et L2

est simplement _{φ1−φ3

2 ,

φ2−φ3

2 }.

Ceci est tr`es simple `a d´ecrire en termes de valeurs propres et de vecteurs propres, mais pour des raisons pratiques, notre matrice A2(θ1, θ2, θ3, θ4, ϕ, x, y) ´etant un peu compliqu´ee, il n’est pas

r´ealiste de vouloir ´ecrire des formules explicites pour les angles en fonction de nos param`etres (cependant cette approche directe marche tr`es bien pour des exp´eriences num´eriques). On peut circonvenir cette difficult´e en calculant seulement la trace de A2 (convenablement normalis´ee

dans SU (2, 1)), ce qui est en principe suffisant pour caract´eriser la classe de conjugaison de g (voir [G] p. 204), en fait `a une ind´etermination triple pr`es, voir le chapitre 1.

Paires de lagrangiens

On d´ecrit ici la famille de lagrangiens de C2 _{rencontrant le lagrangien standard L}

0 = R2 ⊂ C2

avec une paire d’angles fix´ee _{θ3, θ4}.

Proposition 5.3.6 Soient θ3, θ4 ∈ R/πZ. Si θ3 6= θ4, il existe une famille `a un param`etre

Lv(ϕ) (ϕ ∈ R/πZ) de lagrangiens de C2 rencontrant le lagrangien standard L0 avec la paire

d’angles _{θ3, θ4}, donn´ee par:

Lv(ϕ) =



eiθ3_{cos ϕ} −eiθ4 _{sin ϕ}

eiθ3sin ϕ eiθ4cos ϕ

 · L0

Si θ3 = θ4, cette famille est r´eduite `a un point.

D´emonstration. Ceci d´ecoule directement du lemme de diagonalisation de Nicas (voir [N] p. 74), qui dit qu’il existe une base orthonorm´ee (v1, v2) de L0 telle que (eiθ3v1, eiθ4v2) soit une

PSfrag replacements O c b p1 p∞ 1 (0) p∞ 1 (α) U01

Une application unitaire U01: (L0, O)7−→ (L1, p1)

On cherche dans cette section une matrice U01 ∈ U(2, 1) qui envoie le R-plan L0 avec le point

marqu´e O sur L1 avec le point marqu´e p1 correspondant au vecteur (que l’on note ´egalement

p1): p1(x, y) =   e iθ1_x eiθ2_y 1 

 avec (x, y) dans le disque unit´e de R2_.

L’id´ee est de compl´eter chacun de ces vecteurs en une (R-)base du lagrangien correspondant, normalis´ee de fa¸con `a obtenir une transformation unitaire. Un moyen simple de faire cela est de choisir les deux points restants au bord de chaque lagrangien (les vecteurs correspondants ont alors une norme nulle donc on peut les multiplier `a loisir par des scalaires). On le fait de la mani`ere suivante, choisissant deux points b et c au bord de L0 correspondant `a des g´eod´esiques

orthogonales passant par O, et param´etrant les points du bord de L1 par:

p∞₁ (α) =   e iθ1cos α eiθ2_{sin α} 1   avec α ∈ R/2πZ. On veut alors envoyer:

a = O = [0, 0, 1]T _{7−→ a}0 _{= p} 1(x, y) b = [1, 0, 1]T _{7−→ b}0 _{= p}∞ 1 (0) c = [0, 1, 1]T _{7−→ c}0 _{= p}∞ 1 (α)

avec les conditions de compatibilit´e suivantes, qui assurent que l’application est unitaire:        ha0_{, a}0_{i = ha, ai = −1} ha0_{, b}0_{i = ha, bi = −1} ha0_{, c}0_{i = ha, ci = −1} hb0_{, c}0_{i = hb, ci = −1.}

On commence par normaliser a0_{: ha}0_{, a}0_{i = x}2_{+ y}2_{− 1; on pose donc:}

a0 := 1 r   eiθ1x eiθ2y 1   avec r =p1_{− x}2 _{− y}2_.

On impose alors la deuxi`eme condition: ha0_{, b}0_{i =} x−1

b0 := 1 s   e iθ1 0 1   avec s = 1− x r .

Les deux derni`eres conditions sont un peu plus d´elicates parce qu’il faut les traiter simul- tan´ement. On a encore le param`etre libre α (qui a un sens g´eom´etrique clair), ainsi qu’un param`etre de normalisation pour c0_{. Explicitement, si l’on dilate c}0 _{par un facteur r´eel −1/t,}

on doit r´esoudre le syst`eme suivant:    x cos α + y sin α_{− 1 = rt} cos α− 1 = st cos2_{α + sin}2_{α = 1}

o`u l’on a utilis´e le fait que _ha0_{, c}0_{i = −}1

rt(x cos α + y sin α− 1) et hb0, c0i = − 1

st(cos α− 1).

Ce syst`eme est ´equivalent par des substitutions lin´eaires `a une certaine ´equation quadratique en cos α, `a savoir:

cos2α(y2+ (x_{− r/s)}2) + 2(x_{− r/s)(r/s − 1) cos α + (r/s − 1)}2_{− y}2 = 0

Les solutions explicites de cette ´equation ne sont pas tr`es jolies, mais il se trouve qu’elles vont se simplifier donc on les garde pour l’instant sous la forme cos α et sin α. On a ainsi:

c0 :=−1 t   e iθ1_{cos α} eiθ2sin α 1   avec t = cos α− 1 s .

Il reste `a former la matrice U01, ce qui est facile avec ce que l’on a vu: si M (resp. M0)

est la matrice dont les vecteurs-colonnes sont a, b, c (resp. a0_{, b}0_{, c}0_{), alors U}

01 = M0.M−1. On

obtient ainsi:

U01=

  e

iθ1(1/s− x/r) eiθ1(−(cos α)/t − x/r) eiθ1x/r

−eiθ2_{y/r e}iθ2₍

−(sin α)/t − y/r) eiθ2_y/r

1/s− 1/r −1/t − 1/r 1/r   avec r, s, t comme ci-dessus.

C’est ici que se simplifient les expressions faisant intervenir cos α et sin α parce que: −(cos α)/t − x/r = y/(1 − x) et − (sin α)/t − y/r = 1

comme on peut le voir en ´ecrivant l’´equation quadratique pr´ec´edente uniquement en termes de x et y. On obtient ainsi la forme finale de U01:

U01 =

 

eiθ1(1/s− x/r) eiθ1(y/(1− x)) eiθ1x/r

−eiθ2y/r eiθ2 eiθ2y/r

1/s− 1/r y/(1− x) 1/r   p

La matrice unitaire A2(θ1, θ2, θ3, θ4, ϕ, x, y)

L’application U01 nous permet alors de param´etrer la famille de R-plans L2 rencontrant L1 au

point p1 avec les angles fix´es {θ3, θ4}, en transportant simplement la famille pr´ec´edente Lv(ϕ)

par U01. On note U{θ3,θ4}(ϕ) ∈ U(2, 1) la matrice suivante, qui est obtenue en utilisant le

plongement standard de U (2) dans U (2, 1) en tant que stabilisateur de l’origine O: U_{θ3,θ4}(ϕ) =

  e

iθ3cos ϕ −eiθ4sin ϕ 0

eiθ3_{sin ϕ e}iθ4_{cos ϕ 0}

0 0 1

  Notre famille de R-plans L2 est alors:

L2(ϕ) := U01· Lv(ϕ) = U01U{θ3,θ4}(ϕ)· L0

ce qui fait que la matrice A2 qui nous int´eresse (telle que σ2(z) = A2.z) peut s’´ecrire, sachant

que la R-r´eflexion par rapport `a L0 est simplement z 7→ z:

A2 = U01.U{θ3,θ4}(ϕ).U{θ3,θ4}(ϕ)−1.U01−1.

On peut simplifier un peu cette expression, en posant par exemple: ˜

U_{θ3,θ4}(ϕ) := U{θ3,θ4}(ϕ).U{θ3,θ4}(ϕ)−1

=   e

2iθ3_cos2_{ϕ + e}2iθ4_sin2_{ϕ (e}2iθ3 − e2iθ4_{) cos ϕ sin ϕ 0}

(e2iθ3 − e2iθ4) cos ϕ sin ϕ e2iθ3sin2ϕ + e2iθ4cos2ϕ 0

0 0 1   =   k l 0 l m 0 0 0 1   .

De plus, les coefficients de U₀₁−1 s’obtiennent de fa¸con simple `a partir de ceux de U01 ∈ U(2, 1)

(voir [P] p. 9). Si U01 s’´ecrit: U01 =   a b cd e f g h j   alors: U₀₁−1 =   ab de −g_−h −c −f j   On obtient en fin de compte l’expression suivante pour A2:

  a

2_{k + 2abl + b}2_{m− c}2 _{adk + ael + bdl + bem− cf −agk − ahl − bgl − bhm + cj}

adk + ael + bdl + bem_{− cf} d2_{k + 2del + e}2_{m− f}2 _{−dgk − dhl − egl − ehm + fj}

agk + ahl + bgl + bhm_{− cj dgk + dhl + egl + ehm − fj −g}2_{k− 2ghl − h}2_{m + j}2

 

o`u:

a = eiθ1(1/s− x/r)

b = eiθ1_(y/(1

− x)) c = eiθ1_x/r

d =_−eiθ2y/r

e = eiθ2

f = eiθ2_y/r

g = 1/s_{− 1/r} h = y/(1_{− x)} j = 1/r

k = e2iθ3cos2ϕ + e2iθ4sin2ϕ

l = (e2iθ3

− e2iθ4_{) cos ϕ sin ϕ}

m = e2iθ3_sin2_{ϕ + e}2iθ4_cos2_ϕ.

Trace, d´eterminant et angles

Comme on l’a ´evoqu´e pr´ec´edemment, cette expression de A2 est asez indigeste, et en particulier

il ne serait pas raisonnable de calculer formellement ses valeurs propres; par contre on obtient facilement sa trace. Notons que, pour que cette trace ait un sens dans P U (2, 1), il faudrait normaliser A2 (par exemple dans SU (2, 1)), ou au moins garder en tˆete son d´eterminant. Ce

d´eterminant s’exprime facilement `a partir de l’expression multiplicative: A2 = U01. ˜U{θ3,θ4}(ϕ).U

−1 01

On a ainsi:

det A2 = e2iψ. det ˜U{θ3,θ4}(ϕ) si det U01= r.e

iψ _{en coordonn´ees polaires.}

Notant alors que det ˜U_{θ3,θ4}(ϕ) = e

2i(θ3+θ4)_{, on obtient l’expression simple:}

det A2 = e2i(θ1+θ2+θ3+θ4).

La trace de A2 s’obtient `a partir de la forme explicite de A2 par un calcul simple mais

p´enible; on obtient:

T rA2 = (a2+ d2− g2)k + 2(ab + de− gh)l + (b2+ e2− h2)m + j2− c2− f2

= e2i(θ1+θ3)_[(1/s− x/r) cos ϕ + y/(1 − x) sin ϕ]2

+ e2i(θ1+θ4)_[(1/s− x/r) sin ϕ − y/(1 − x) cos ϕ]2

+ e2i(θ2+θ3)_{[y/r cos ϕ}− sin ϕ]2

+ e2i(θ2+θ4)_{[y/r sin ϕ + cos ϕ]}2

− e2iθ1x2/r2

− e2iθ2_y2_/r2

− e2iθ3_[(1/s− 1/r) cos ϕ + y/(1 − x) sin ϕ]2

On utilisera cette formule explicite pour d´eterminer les fibres dans certains cas o`u elle se simplifie un peu, voir section 5.5.

Dans le document Configurations of Lagrangians, fundamental domains and discrete subgroups of PU(2,1). (Page 178-184)