Familles contenant les r´eseaux Γ(p, t) de Mostow

On va maintenant se concentrer sur les groupes introduits par Mostow dans son article de 1980 ([M1]), groupes qu’il a not´es Γ(p, t) (o`u p = 3, 4, 5 et t est un param`etre r´eel); notons cependant que cette description contient aussi, pour des valeurs sup´erieures de p, 22 des 27 r´eseaux de Picard (ou r´eseaux de Deligne-Mostow de dimension 2), comme il est d´ecrit en d´etail dans l’article ult´erieur [M2].

On ne va d´ecrire ici que tr`es bri`evement la construction de ces groupes, pour laquelle le lecteur pourra se reporter (`a l’article original ou) auchapitre 3 (voir [DFP]). Le groupe Γ(p, t) est engendr´e par trois r´eflexions complexes d’ordre p (R1,R2, et R3) qui sont permut´ees cy-

cliquement par un ´el´ement J et satisfont deux `a deux une relation de tresse. On consid`ere comme dans [DFP] le groupe ˜Γ(p, t) engendr´e par J et R1, qui contient Γ(p, t) avec indice 1

ou 3 selon les cas. On a remarqu´e que ces deux g´en´erateurs se d´ecomposent simultan´ement en produit de R-r´eflexions de la fa¸con suivante, avec les notations de [DFP]:



J = σ12σ23

R1 = σ23τ

Les transformations elliptiques R1 et J ont pour paire d’angle {0,2π_p } et {2π₃ ,−2π₃ } respec-

tivement. Un calcul utilisant la forme matricielle explicite nous dit alors que JR1 = σ12τ est

diagonalisable avec valeurs propres−ηiφ = eiπ(1+1/p+1/2−t/3)_et±√_{−ηiφ = ±e}iπ(1+1/p+1/2+t/3)/2_,

o`u η = eiπ/p _{et φ = e}iπt/3_{. Le produit est donc elliptique, et ses angles sont obtenus en divisant}

les deux valeurs propres de type positif par celle de type n´egatif, qui est ici par un autre calcul

−eiπ(1+1/p+1/2+t/3)/2_{. On obtient ainsi la paire d’angles suivante pour JR}

1: {π,π₂(1_p − 1₂ − t)}

(notons que (JR1)2 est une r´eflexion complexe). Les angles entre les trois lagrangiens sont

t 0 ₃₀1 ₁₈1 ₁₂1 ₄₂5 1_{6 30}7 1₃ −π1·Angle de JR1 1 12 1 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 −1 π·Angle de R1J−1 1 12 1 15 1 18 1 24 1 42 0 − 1 30 − 1 12

Figure 5.21: Les groupes discrets Γ(3, t) le polygone du moment associ´e aux paires {0,2π

p } et { 2π

3 ,−

2π

3 }. Ceci nous donne le segment

de la figure 5.13, que l’on agrandit sur la figure 5.22 pour voir les points correspondant `a des r´eseaux. Notons que ce segment est caract´eris´e par le fait que R1 et ses deux conjugu´es R2

et R3 satisfont une relation de tresse d’ordre 3 (`a savoir RiRjRi = RjRiRj). On obtient des

r´eseaux pour 8 valeurs du param`etre t, dont la liste se trouve dans la figure 5.21 avec les valeurs correspondantes de l’angle de rotation (non trivial) de JR1.

Une chose importante `a noter est que cet angle est intimement li´e `a l’une des deux condi- tions suffisantes de discr´etude du groupe (les conditions d’int´egralit´e de Picard, voir [DFP]). Rappelons que ces deux conditions proviennent de l’analyse de seulement deux classes de con- jugaison de C-r´eflexions dans la groupe, `a savoir celles de R2R1J et J−1R1R2; il se trouve que

demander que les deux angles de rotation correspondants soient des fractions enti`eres de 2π suffit `a garantir la discr´etude du groupe. Or la premi`ere de ces classes de conjugaison contient (R1J−1)2 et la deuxi`eme (JR1)2, parce que R2 = JR1J−1 et donc:

R2R1J = JR1J−1R1J = J(R1J−1R1J−1)J−1 et J−1R1R2 = J−1R1JR1J−1 = J(JR1JR1)J−1

Ceci signifie qu’une des deux conditions de discr´etude est imm´ediatement visible sur notre image: l’angle de JR1 qui varie avec le param`etre doit ˆetre une fraction enti`ere paire de 2π.

Il se trouve que l’on peut mˆeme voir la deuxi`eme condition sur le mˆeme dessin, parce que J−1 <sub>est conjugu´e `a J, et donc les angles de R</sub>

1J−1 apparaissent ´egalement sur ce dessin (mais

correspondent `a des points diff´erents). Les valeurs de l’angle de rotation (non trivial) de R1J−1

apparaissent ´egalement dans le tableau de la figure 5.21; les points correspondants sont sur le mˆeme segment que les pr´ec´edents, mais plus `a droite. Ceci nous fournit un exemple de points distincts d’un mˆeme polygone image qui correspondent `a des sous-groupes conjugu´es dans P U (2, 1); cette situation ne fait qu’empirer si l’on s’int´eresse seulement aux classes de commensurabilit´e de tels sous-groupes. Cette id´ee simple d’´echanger deux des quatre classes fondamentales de C-r´eflexions est en fait derri`ere les isomorphismes et commensurabilit´es entre r´eseaux d´ecouverts par Sauter (voir [Sa]) et ´etudi´ees plus en d´etail dans le livre de Deligne et Mostow (voir [DM]).

Avant d’entrer dans les aspects exp´erimentaux, on rappelle la description compl`ete du polygone image du moment (voir Proposition 5.4.1). Dans le cas pr´esent (angles {0,2π

3 } et

{2π

3 ,−

2π

3 }), le polygone en question est le triangle des figures 5.13 et 5.22, born´e par un seg-

ment r´eductible sph´erique, un segment r´eductible hyperbolique, et le segment ”au bord” [2π, θ] pour θ ∈ [2π

3 , 5π

3 ] qui est donc compos´e de classes de conjugaison paraboliques (sauf `a ses

extr´emit´es).

Afin d’´etudier explicitement d’autres points de l’image, on utilise le param´etrage de la partie 5.3 en tandem avec la formule pour la trace de la fin de la mˆeme section. Cette formule

PSfrag replacements 2π 3 4π 3 4π 3 5π 3 π 2π

Figure 5.22: Les groupes ˜Γ(p, t) de Mostow dans le polygone du moment

se simplifie particuli`erement dans le cas pr´esent grˆace aux valeurs des angles; on obtient apr`es simplifications, avec les notations de la section 5.3 (et notant τ la trace de A2):

( ₂ 3Re(τ ) = 1 + 2 y2 r2 − ( y rcos ϕ− sin ϕ) 2 2 √ 3Im(τ ) = (cos 2_{ϕ− sin}2_ϕ)(1 − yr22) + 6 cos ϕ sin ϕ y r

Ceci permet en principe de param´etrer explicitement les points de l’image, ce dont on n’a pas besoin pour l’instant (il nous faudra bien sˆur des expressions alg´ebriques pour d´eterminer les propri´et´es arithm´etiques de chaque groupe). On a choisi comme premier point `a tester un point proche du centre du triangle avec des coordonn´ees favorables, `a savoir (5π₃ ,4π₃ ). On a examin´e dans ce groupe les mots de longueur maximale 5; aucune nouvelle classe d’elliptiques n’est apparue. On a ´egalement fait tourner la proc´edure Dirichlet de Deraux avec ces g´en´erateurs; apr`es 5 ´etapes (quelques jours de calcul) celle-ci a produit deux bisecteurs cospinaux, `a savoir ceux d´efinis par les paires de mots {433121, 434421} et {434433434, 343443121} (utilisant la notation en chiffres 1 = A, 2 = B, 3 = B−1_{, 4 = A}−1_{). L’occurrence de bisecteurs cospinaux}

dans la construction de Dirichlet est sp´eciale. Les mots eux-mˆemes n’ont pas d’int´erˆet particulier (on v´erifie ici que trois de ces mots sont dans les classes de conjugaison de A, B et AB et que le quatri`eme est loxodromique). Par contre l’intersection des deux bisecteurs correspondants (une partie d’un C-plan) donne une transformation de cycle dans le cadre de Poincar´e, et cette transformation de cycle (une r´eflexion complexe) pourrait ˆetre tr`es int´eressante; dans les exemples de Mostow les conditions de discr´etude proviennent de deux telles transformations. Malheureusement, on n’a pas encore ´ecrit les cycles correspondants pour l’instant, mais cela

Figure 5.23: Le polygone image pour _{π 2,− π 2},{ π 2,− π 2}: familles R-fuchsiennes