Transport Overhead (TOH) Error Count

Por m, concluimos dando enfoque aos nossos principais resultados e discutindo as possíveis extensões e aplicações das técnicas que desenvolvemos em problemas físicos de interesse acadêmico e tecnológico. O foco principal da tese foi fornecer meios práticos de controle de interfaces instáveis e de forças de adesão de uidos complexos, sempre bus- cando uma simplicidade que permitisse implementações experimentais e possíveis aplica- ções práticas sem grandes diculdades. Dessa maneira, comprovamos experimentalmente dois de nossos protocolos de controle deduzidos no Cap. 3. Por outro lado, para desenvol- ver tais mecanismos de modo ecaz, devemos compreender bem os fenômenos físicos que estão por trás do problema. Ao longo da tese, focamos em alguns aspectos físicos funda- mentais dos sistemas aqui estudados: o número de onda dominante (número de dedos) dos padrões, os efeitos de molhamento, as tensões normais viscosas e os efeitos da inércia do uido em interfaces hidrodinâmicas e forças de adesão.

Antes de qualquer tentativa de controlar as instabilidades de Saman-Taylor, devemos compreender bem seus aspectos morfológicos. No Cap. 2 visamos resolver um problema que já tinha sido proposto décadas atrás por Chuoke et. al. [126], mas que só foi deta- lhadamente exposto nos experimentos de Maxworthy em 1989 [35]. Esse problema está relacionado com a determinação do número de onda dominante na interface uido-uido no uxo de injeção radial na célula de Hele-Shaw. O procedimento padrão para estimar o número de dedos em uma interface instável é dado pelo cálculo do modo de Fourier de

máxima taxa de crescimento, porém Maxworthy ilustrou uma clara discrepância entre os resultados experimentais e as predições teóricas realizadas até aquele momento. Vários autores analisaram esse problema e alguns deles associaram essa discordância a efeitos físicos que não estavam sendo considerados no modelo teórico, como por exemplo, efeitos tridimensionais, contribuições não-lineares e etc.

Em contraste aos argumentos precedentes, assumimos que a incompatibilidade da te- oria com o experimento estava não só em alguns efeitos físicos que não estavam sendo considerados, mas também na própria maneira de contagem do número de dedos na interface. No Cap. 2 nós propusemos uma maneira alternativa para determinar o número de dedos de uma interface instável de crescimento radial. Consideramos que o número de onda dominante está associado ao modo de Fourier de máxima amplitude. Para o problema de injeção em Hele-Shaw, juntamente com esse novo método de contagem, ad- mitimos os efeitos conjuntos de molhamento e dos estresses viscosos normais. Mostramos que essa abordagem fornece uma grande melhora na concordância entre as previsões teó- ricas e os experimentos de Maxworthy. Ainda no Cap. 2, aplicamos o método de máxima amplitude nas instabilidades de interface geradas na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável. Situação na qual a placa inferior é mantida xa, enquanto a placa superior é levantada com velociade uniforme. Também nesse sistema, experimentos recentes realiza- dos por Nase et. al. [60] mostraram uma signicante discordância com a teoria usual dada pelo máximo da taxa de crescimento. Mais uma vez, o método de máxima amplitude nos levou a uma excelente concordância teórica com esses recentes experimentos.

O Cap. 3 apresentou um dos resultados mais importante desta tese. O deslocamento de líquidos em geometrias connadas por meio de um uido de menor viscosidade é um problema importante para muitos processos tecnológicos. Nesse contexto, instabilidades hidrodinâmicas causam a formação de dedos viscosos que geralmente tornam o processo de deslocamento de uidos ineciente e antieconômico, como por exemplo, na recuperação de petróleo pela injeção de água. Portanto, é necessário desenvolver formas de reduzir ou eliminar os efeitos prejudiciais dessas instabilidades viscosas. A procura de um protocolo de estabilização é primeiramente abordada no problema de injeção na célula de Hele-Shaw radial. Propusemos um tipo de injeção composta por dois estágios de bombeamento

constante, de modo que a quantidade média de uido injetada fosse a mesma quando comparada com o método de injeção constante usual. Esse processo de fácil adaptação experimental mostrou ser bastante ecaz na inibição do crescimento dos dedos viscosos na célula de Hele-Shaw. Comprovamos nossas previsões teóricas por sucessivas análises experimentais. Além disso, esse método não necessitou de propriedades não usuais dos uidos nem de modicações da geometria tradicional da célula de Hele-Shaw.

Motivados pelo sucesso da estabilização pelo método de injeção de dois estágios, perce- bemos que uma questão fundamental relacionada à inibição de irregularidades de interface ainda estava em aberto: se você deseja injetar uma certa quantidade de uido em um dado intervalo de tempo, qual seria a taxa de injeção ótima Q(t) que proporcionaria o cresci- mento radial da interface porém minimizando as amplitudes de perturbação? Note que anteriormente nós impusemos um tipo de injeção dada por um bombeamento composto de dois estágios. O questionamento acima é bem mais fundamental diante da innidade de possibilidades de uma taxa de injeção Q(t) dependente do tempo cuja quantidade média de fuido injetada permaneça xa. No Cap. 3, tentamos responder a tal questão utilizando a análise de establidade linear e, através de um cálculo variacional, minimizar as amplitudes de Fourier. Desse processo, encontramos, a partir de primeiros princípios, a dependência temporal da taxa de injeção ótima que deve ser utilizada a m de minimizar a formação dos dedos viscosos. Encontramos uma solução surpreendentemente simples no qual a injeção ideal deve crescer linearmente no tempo. Além disso, mais uma vez ela não depende de nenhuma característica geométrica da célula de Hele-Shaw e nem das propriedades materiais dos uidos. Realizamos experimentos e simulações numéricas que comprovaram nossas previsões de estabilidade linear, apoiando a ecácia e utilidade do processo proposto de controle dos dedos viscosos.

É bem conhecido que as propriedades reológicas do uido deslocado pode ter uma inuência signicativa sobre os padrões de dedos viscosos e, portanto, na eciência de processos destinados a controlá-los. Uma melhor compreensão da relação entre as pro- priedades do uxo não newtoniano e as instabilidades da interface certamente melhora as diretrizes para selecionar protocolos de controle a nível cientíco e, com isso, fornecer uma base para futuras aplicações tecnológicas. Motivados por esses fatos, ainda no Cap. 3

consideramos o deslocamento de um uido viscoso não newtoniano (descrito por uma lei de potência) por um uido invíscido em uma célula de Hele-Shaw radial. Utilizamos nosso método variacional a m de minimizar as perturbações da interface e obtivemos uma so- lução analítica para evolução temporal da taxa de injeção ótima, na qual observamos uma dependência apenas no índice da lei de potência que descreve o caráter não newtoniano do uido. Diferentemente do caso newtoniano, nosso modelo teórico fez previsões especí- cas que ainda não foram submetidas a vericações numéricas e experimentais em regimes totalmente não lineares da dinâmica. Portanto, seria interessante analisar a robustez e validade do controle não newtoniano proposto para tempos mais avançados. Outra possí- vel extensão desse trabalho seria a aplicação do método variacional de minimização para outros uidos complexos, como viscoelástico e uidos yield-stress [9294, 106, 176, 177], onde efeitos como a elasticidade e plasticidade devem ser levados em consideração.

Apesar da motivação inicial do processo de estabilização ter sido a minimização dos dedos viscosos na interface uido-uido, o método de minimização variacional pode ser aplicado a qualquer interface radialmente crescente cuja a dinâmica linear das perturba- ções sejam governadas por uma equação do tipo ˙ζn= Λ(n)ζn. Através de uma equação de

Euler-Lagrange para de Λ(n), esse protocolo nos fornece como o raio não perturbado R(t) da interface deve evoluir no tempo de modo a minimizar as amplitudes de perturbação. Uma diferença fundamental da aplicação desse método em diferentes problemas físicos é dada pelo parâmetro de controle experimental que deve ser manipulado a m de impor o crescimento ótimo de R(t). No caso da injeção em Hele-Shaw, através da conservação de volume podemos controlar a evolução de R(t) através da taxa de injeção de uido.

No Cap. 4 decidimos aplicar o método variacional em outros sistemas físicos. Sabemos que a possibilidade de inibir os dedos viscosos tem fundamental relevância para indústrias de extração de petróleo. Com o objetivo de fornecer um protocolo de estabilização para um processo mais realístico em relação ao procedimento de recuperação de petróleo, dedu- zimos uma taxa de crescimento linear para as amplitudes de perturbação de uma interface que separa dois uidos em um meio poroso tridimensional uniforme. Ao utilizar o método de minimização variacional nesse sistema, vericamos que as perturbações são de fato contidas se a taxa de injeção evolui no tempo em uma especíca função quadrática. Para