2. Background
2.5. Test Configurations for SONET
ente de abertura pode ser utilizado para inibir ou promover a formação dos dedos viscosos na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável. Para isso, enfatizamos que os parâme- tros adimensionais usados no problema estão consistentes com os valores das grandezas físicas utilizadas em experimentos relacionados aos sistemas de levantamento e compres- são [44,4756,59,60,75,132,135,137146,149,174,189,195,211,212].
Controle das instabilidades no levantamento
Primeiramente, vamos examinar o uxo gerado pelo levantamento da placa superior na célula de Hele-Shaw, que corresponde a um sistema instável no limite em que as placas são paralelas. A Fig. 7.2 ilustra a taxa de crescimento linear λ(n) em função do número de onda n em t = 0, para valores do gradiente de abertura b0 positivos [Fig. 7.2(a)] e
negativos [Fig. 7.2(b)], assim como para o caso paralelo b0 = 0. A escolha de t = 0 é
justi cada pelo fato de que a situação mais instável no problema do levantamento ocorre logo no início da dinâmica. Isso é verdade devido ao decaimento monotônio de λ(n) com o passar do tempo para todos os modos de Fourier. De fato, suprimindo a instabilidade do sistema em t = 0, garantimos a estabilidade da interface para t > 0. Além disso, assumimos Ca = 1.1 × 10−4 e δ = 250. Analisando a Fig. 7.2(a) vemos claramente uma
larga banda de modos de Fourier com λ(n) > 0, indicando como esperado que o sistema é instável quando consideramos a situação convencional em que as placas são paralelas (b0 = 0, curva tracejada). A Fig. 7.2(a) também ilustra que a introdução de um pequeno
gradiente positivo (b0 = 0.002, curva cinza) tende a estabilizar a interface: a banda de
7.2 O controle das instabilidades na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável 0 5 10 15 20 25 30 n -2 0 2 4 Λ Hn L HaL b'=0 b'=0.002 bc '= 0.0039 0 10 20 30 n 0 2 4 6 8 Λ Hn L HbL b'=0 b'=-0.0017
Figura 7.2: Taxa de crescimento linear λ(n) como função de n, para Ca = 1.1 × 10−4 e
δ = 250: (a) b0 = 0 (curva tracejada), b0 = 0.002 (curva cinza clara) e b0 = b0c = 0.0039 (curva cinza escura); (b) b0 = 0 (curva tracejada), b0 = −0.0017 (curva cinza).
O mecanismo físico por trás desse processo de estabilização é bem simples [81,82,213]: quando a interface se deforma em uma célula de Hele-Shaw com b0 > 0, a extremidade
da perturbação encontra uma região de maior abertura entre as placas, ou seja, de menor curvatura transversal. Como βc= π, isso resulta em um aumento da pressão de resistência
devido à tensão super cial [ver Eq. (7.11)], amortecendo o crescimento da perturbação. Esse sistema físico está representado na Fig. 7.1(a).
Como queremos estabilizar o máximo possível a interface, prosseguimos aumentando o valor do gradiente de abertura na Fig. 7.2(a). Fazendo isso, eventualmente um valor crítico de b0 (de nido como b0
c) é atingido, de modo que as instabilidades dos modos de
Fourier são completamente suprimidas. A Fig. 7.2(a) mostra que a adição de um pequeno gradiente na abertura entre as placas (b0
c= 0.0039) fornece um meio geométrico simples de
inibir a formação dos dedos viscosos. Além disso, da Fig. 7.2(a) é evidente que a transição de uma situação instável para uma situação estável é determinada pelas condições abaixo
λ(n)|t=0= 0 e
∂λ(n)
∂n |t=0= 0. (7.14)
Isso de ne um gradiente de abertura b0 no qual a interface se torna estável. Da Eq. (7.13),
7.2 O controle das instabilidades na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável
Figura 7.3: Padrões gerados pela dinâmica linear de levantamento em t = 0.7 para: (a) uma pequena inclinação negativa (b0 = −0.0017); (b) placas paralelas e (c) inclinação
crítica (b0
c = 0.0039). Essas simulações lineares incluem 40 modos de Fourier e a mesma
fase aleatória. O uido viscoso está representado em cinza. Essas interfaces resultantes referem-se às situações ilustradas na Fig. 7.2.
à situação mais instável possível de λ(n). Esse limite é conveniente pois permite o acesso ao comportamento de b0
c em termos dos parâmetros adimensionais Ca e δ.
A Fig. 7.2(b) plota λ(n) em função de n para b0 = 0 (curva tracejada) e b0 = −0.0017
(curva cinza) em t = 0. É interessante notar que para um valor negativo su cientemente pequeno do gradiente de abertura (b0 = −0.0017), a interface se torna extremamente
mais instável comparada com a situação de placas paralelas (b0 = 0). A e cácia de nosso
processo de controle via adição de um gradiente na abertura das placas é ainda mais claro na Fig. 7.3, onde ilustra uma simulação linear para a situação representada na Fig. 7.2. O mecanismo físico que induz a desestabilização é bastante similar ao discutido no caso do gradiente positivo: quando a interface se deforma, a extremidade da perturbação encontra uma região de menor abertura entre as placas, ou seja, de maior curvatura transversal pois b0 < 0. Como β
c = π, isso resulta em um decaimento da pressão de resistência
devido à tensão super cial [ver Eq. (7.11)], favorecendo o crescimento da perturbação. Esse argumento pode ser utilizado daqui em diante para justi car efeitos estabilizantes e desestabilizantes da interface devido ao gradiente de abertura. Observe que esse sistema físico está representado na Fig. 7.1(b).
A m de veri car o poder de estabilização dessa suave mudança geométrica em situa- ções físicas ainda mais instáveis, a Fig. 7.4 representa a variação do gradiente de abertura crítico b0 em função do número de capilaridade Ca, para três valores do parâmetro de
7.2 O controle das instabilidades na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável 0 0.5 1 1.5 2 Ca´10-4 1 2 3 4 bc ' ´ 10 - 3 ∆=250 ∆=200 ∆=150
Figura 7.4: Gradiente de abertura crítico b0
c em função do número de capilaridade Ca
para três valores de δ: 150, 200 e 250. Esse grá co funciona como um diagrama de fase para a estabilidade da interface.
con namento: δ = 150, 200 e 250. Esse grá co funciona como um diagrama de fase para a estabilidade do sistema: para um dado valor de δ, a região acima (abaixo) da curva corresponde a uma situação estável (instável) da interface. É evidente que para eliminar- mos os dedos viscosos, maiores valores de b0
c são necessários quando aumentamos Ca, ou
seja, quando tornamos o sistema mais instável. Além disso, veri camos que quando o sistema se encontra mais con nado, devemos adicionar um gradiente b0 maior para estabi-
lizar a interface. Observe que todos esses valores de b0
c ainda são muito menores que 1 (da
ordem de 10−3). Essa é a magnitude máxima de b0 utilizada nos experimentos que ten-
tam controlar e suprimir as instabilidades no processo de injeção na célula de Hele-Shaw de geometria retangular [81, 206]. Portanto, ajustando adequadamente os parâmetros b0,
Ca e δ é possível regular a instabilidade que ocorre durante o processo de levantamento quando b0 = 0 [44,4756,59,60,75].
Controle das instabilidades na compressão
Nesta seção, analisamos a situação na qual a placa superior é deslocada em direção à placa inferior, comprimindo o uido. A Fig. 7.5 plota λ(n) em t = 0 em função de n, para três valores de b0. Como esperado, vemos que na situação usual em que as placas
7.2 O controle das instabilidades na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável 0 1 2 3 4 5 6 7 n -3 0 3 6 9 12 Λ Hn L b'=0 b'=-0.004 b'=-0.006
Figura 7.5: Taxa de crescimento linear λ(n) em função de n, para Ca = 4×10−5 e δ = 60:
(a) b0 = 0 (curva tracejada), b0 = −0.004 (curva cinza clara) e b0 = −0.006 (curva cinza
escura).
uido mais viscoso desloca o uido menos viscoso. No entanto, podemos tornar o sistema instável adicionando um pequeno gradiente negativo na abertura entre as placas. Na Fig. 7.5 identi camos situações instáveis para b0 = −0.004 (curva cinza clara) e para
b0 = −0.006 (curva cinza escura). Todos esses fatores são reforçados pelas simulações lineares representadas na Fig. 7.6.
Como a taxa de crescimento (7.13) varia no tempo, sabemos do Cap. 2 que para estimar o número de dedos em um dado tempo t devemos obter o modo de Fourier nmax
que maximiza a amplitude ζn(t). Além disso, sabemos que a solução da Eq. (7.12) é dada
por ζn(t) = ζn(0) exp Z t 0 λ(n, t0)dt0 . (7.15)
A Fig. 7.7 ilustra nmax em função de b0 para Ca = 4 × 10−5, δ = 60 e 100. Intuitivamente
esperado, são necessários valores negativos de b0 com maiores magnitudes para obter um
maior valor de nmax. Por outro lado, um aumento do con namento (maior δ) favorece
o crescimento do número de dedos. Portanto, a manipulação adequada do gradiente b0 e
do parâmetro de con namento δ serve não somente para tornar o sistema instável, mas também permite controlar convenientemente o número de dedos emergentes na interface.
7.2 O controle das instabilidades na célula de Hele-Shaw de espaçamento variável
Figura 7.6: Representação dos padrões no uxo devido à compressão do uido em t = 0.27 para: (a) placas paralelas (b0 = 0); (b) um pequeno gradiente (b0 = −0.004) e (c) um
gradiente de abertura com ganitude ligeiramente maior (b0 = −0.006). A Fig. 7.6(d)
ilustra uma sequência de padrões gerados no intervalo 0 ≤ t ≤ 0.27, cuja a interface nal corresponde à Fig. 7.6(c). Essas simulações lineares incluem 10 modos de Fourier e as mesmas fases aleatórias. O uido viscoso está representado em cinza. Essas interfaces referem-se às situações mostradas na Fig. 7.5.
-10 -8 -6 -4 -2 b'´10-3 2 4 6 8 10 nmax ∆=100 ∆=60
Figura 7.7: Modo de Fourier que maxima a amplitude de perturbação ζn(t) em t = 0.3
(nmax) em função do gradiente de abertura b0, para Ca = 4 × 10−5 e dois valores de δ: 60
7.3 O controle dos dedos viscosos na célula de Hele-Shaw girante