1.7 Criticalit´e quantique
2.1.1 Transport de chaleur : Phonons et ´electrons
Macroscopiquement, la conductivit´e thermique peut donc ˆetre ´ecrite comme l’´equa-tion (2.7). Le transport de la chaleur fait intervenir plusieurs m´ecanismes microsco-piques distincts. Ceux-ci transportent de l’entropie, d’une zone chaude `a une zone froide du mat´eriau. Toute excitation d´elocalis´ee peut transmettre cette entropie, par exemple les ´electrons, les phonons, les magnons, les spinons, etc. Dans un m´etal clas-sique, seules les deux premi`eres sont pr´esentes et nous nous restreindrons `a celles-ci
§2.1. Conductivit´e thermique dans un m´etal 35 pour la suite.
Electrons´
Dans le mod`ele de Drude des ´electrons libres, ceux-ci se d´eplacent `a une vitesse moyennev dans le solide. Leur probabilit´e de subir une collision apr`es un tempstest P(t) =e−(t/τ) avec τ le temps moyen entre deux collisions. Les plus communes sont entre ´electrons, sur des phonons phonon) ou sur des impuret´es (´electron-impuret´e). Pour calculer la conductivit´e thermique en utilisant ces m´ecanismes de diffusion, il faut tenir compte de la m´ecanique quantique dans la th´eorie cin´etique d’un gaz. Le mod`ele de Sommerfeld r´esout ce probl`eme et donne une ´equation de la conductivit´e thermique faisant intervenir la vitesse des ´electrons `a l’´energie de Fermi vF, la chaleur sp´ecifique ´electroniqueCv ainsi que le temps de vie des ´electronsτ [90].
κ= 1
3Cv,elvF2τel (2.8)
= 1
3Cv,elvFlel (2.9)
On a ici d´efini le libre parcours moyenl =vFτ comme le produit de la vitesse moyenne et du temps de vie d’un ´electron `a l’´energie de Fermi. Les collisions peuvent provenir de diff´erents m´ecanismes qui s’additionnent de fa¸con lin´eaire, tant qu’ils n’ont pas d’influence les uns sur les autres [91].
1 τ = 1
τ1 + 1 τ2 + 1
τ3 +. . . (2.10)
La d´ependance en temp´erature de la conductivit´e thermique est alors le fruit de chacune des d´ependances en temp´erature des composantes de l’´equation (2.9) selon l’´echelle de temp´erature. `A basse temp´erature, on peut supposer que l est constant et la conductivit´e thermique est contrˆol´ee par la chaleur sp´ecifique.
Le gradient thermique dans un m´etal cr´ee une asym´etrie dans la surface de Fermi
`a temp´erature finie. Les zones chaudes et froides de l’´echantillon ont un effet diff´erent en fonction du vecteur d’onde, tel que repr´esent´e `a la figure2.1. Pour une temp´erature moyenne donn´ee, les ´electrons chauds se d´eplacent avec une temp´erature T+δT alors que le signe change pour les ´electrons froids. ´Etant donn´e qu’il s’agit d’un circuit
ouvert, il n’y a pas de flux net de porteurs. Il y a autant de porteurs allant dans les deux directions. C’est la diff´erence de temp´erature du milieu lors de leur derni`ere collision qui cr´ee le flux de chaleur [92].
Fig. 2.1: Distribution de Fermi sous l’effet d’un gradient thermique. Le cˆot´e chaud est `a droite alors que le froid est `a gauche. La ligne pleine pr´esente la distribution `a l’´equilibre thermique alors que le pointill´e de la zone hachur´ee donne la distribution sous l’effet du gradient thermique. [92]
Toujours dans le cadre de la th´eorie de Sommerfeld, la chaleur sp´ecifique ´electronique
`a tr`es basse temp´erature ne fait intervenir que les ´electrons `a l’´energie de Fermi. Elle s’´ecrit
Cv,el = π2
3 N(EF)kB2T. (2.11)
La conductivit´e thermique ´electronique devient alors κel = π2
9 N(EF)kB2vFlelT. (2.12) Il est important de remarquer que la conductivit´e thermique ´electronique est lin´eaire en temp´erature `a basse temp´erature et proportionnelle `a la densit´e d’´etats au niveau de Fermi.
Phonons
Pour les phonons, le concept est sensiblement le mˆeme que pour les ´electrons. La conductivit´e thermique est aussi r´egie par l’´equation de la cin´etique des gaz
κph = 1
3Cv,phvphlph. (2.13)
§2.1. Conductivit´e thermique dans un m´etal 37 Puisque les phonons sont des bosons, la statistique de Fermi-Dirac est remplac´ee par celle de Bose-Einstein et l’ensemble des phonons peut participer au transport. Dans le r´egime des tr`es basses temp´eratures T →0, la chaleur sp´ecifique des phonons est donn´ee par
Cv,ph ≈ 2π2 5 kB
kBT
~vph 3
(2.14)
⇒ κph = 2π2 15 kB
kBT
~vph
3
vphlph. (2.15)
La d´ependance en temp´erature des phonons est donc cubique contrairement `a la d´ependance lin´eaire des les ´electrons. Ceci est vrai tant que le libre parcours moyen est ind´ependant de la temp´erature. `A basse temp´erature, la limitation provient de la dimension de l’´echantillon et est donc constante.
Conductivit´e thermique totale
En somme, la conductivit´e thermique totale se r´esume `a l’addition des conduc-tivit´es ´electronique et phononique. Leurs diff´erentes d´ependances en temp´erature permettent de diff´erencier l’apport des deux m´ecanismes, `a tr`es basse temp´erature.
κ=κel+κph (2.16)
=AT +BT3 (2.17)
Puisqu’on s’int´eresse au transport ´electronique, il est commode de diviser la conduc-tivit´e thermique par la temp´erature et la tracer en fonction de T2.
κ/T =A+BT2 (2.18)
L’ordonn´ee `a l’origine, soit le terme lin´eaire r´esiduel de la conductivit´e thermique, est alors une quantit´e physique uniquement attribuables aux ´electrons. PourT →0, on a alors κ(T = 0)/T ≡ κ0/T = A. Dans un mat´eriau o`u d’autres excitations fermioniques non gapp´ees sont pr´esentes, elles pourraient avoir un impact sur le terme lin´eaire r´esiduel. Par exemple, les spinons sont r´eput´es ˆetre responsables d’un terme lin´eaire r´esiduel non nul dans le compos´e dmit-131, alors que le mat´eriau est
un isolant ´electrique [93].