Transition générique

Pour tous les points de la ligne de transition différents de l’extrémité du lobe, le termeV_A,kω² est non pertinent par rapport àZ_C,kω. L’exposant critique dynamique est z = 2 et une analyse dimensionnelle montre que d+

c = 2. La transition est donc contrôlée par le point fixe gaussien (avec des corrections logarithmiques pour d = 2) défini par ˜n^∗₀ = ˜λ^∗ = ˜V_A^∗ = 0letη^∗_A= η^∗_C = 0 où

η_C,k =−∂lln Z_C,k(n_0,k). (3.73)

Les variables adimensionnées à utiliser dans ce cas sont données en table III.2. Dé-terminant l’exposant critique dynamique comme en section 3.3.1, nous trouvons

z_k= 2− ηA,k+ η_C,k. (3.74)

À trois dimensions, la linéarisation des équations de flot autour du point fixe gaussien donne (voir F.3.2) ∂_ln˜_0,k =−3˜n0,k+ ⁴ 3π2_V˜_A ∂_l^˜λ_k= ˜λ_k, ∂_lV^˜_A,k= 2 ˜V_A,k, (3.75)

etη_A,k= η_C,k = 0. Nous en déduisons que ˜λ_k∼ k, ˜V_A,k∼ k² au point fixe, en accord avec la résolution numérique des équations de flot (Fig. 3.13). La figure3.13montre

k. Dans le formalisme du NPRG, on peut montrer, en tout cas numériquement et pour une théorie φ4 (qui donne des équations similaires à celles du point multicritique) que pour tout k non nul, le potentiel sur la surface critique possède un minimum non nul, même en dimensions supérieures ou égales à la dimension critique supérieure. Cela est reminiscent du fait qu’en faisant un développement en4− , le terme de masse r et le terme d’interaction λ sont d’ordre , de sorte que le minimum du potentiel semble se trouver en −r/λ ∼ 1, même pour  = 0. Bien entendu, exactement au point fixe gaussien, i.e. à k = 0, le potentiel est nul et ne possède donc plus à proprement parler de minimum.

l. La valeur de point fixe de ˜n0,k est nulle au point fixe gaussien de la transition générique, contrairement au cas du point multicritique, voir notek. Cela est dû à l’anisotropie entre espace et temps imaginaire (i.e. dérivée première en temps à opposer aux dérivées secondes en espace).

Figure 3.11 – Pareil qu’en figure 3.8mais pour d = 3.

Figure 3.12 – Raideur superfluide ρs, compressibilité κ et vitesse du mode de Goldstonec en fonction de t− tc (d = 3).

Les transitions de phase isolant-superfluide 77

Figure 3.13 – Flot de RG à la transition générique (d = 3). Les pointillés montrent des fits n˜_0,k ∼ k, ˜λk ∼ k, ˜V_A,k ∼ k2 etη_A,k, η_C,k ∼ k3.

Figure 3.14 – Raideur superfluide ρs, compressibilité κ et vitesse du mode de Goldstonec =p

ρ_s/κ en fonction de t− tc(µ) près de la transi-tion générique(t_c(µ), µ) [µ = 0.7, t_c(µ) = 0.0219 et d = 3]. Les pointillés montrent le comportement critique champ moyen, voir équation (3.76).

Figure 3.15 – Pareil qu’en figure ^{3.14 mais à la dimension critique} supérieured⁺_c = 2. La compressibilité diverge pour t→ tc(µ).

Z_A,k V_A,k Z_C,k λ_k n_0,k

superfluide Z_A^∗ V_A^∗ k k n^∗₀

point multicritique k^−η k^−η k k^1−2η k1+η

transition générique Z_A^∗ V_A^∗ Z_C^∗ | ln k|−1 k²| ln k|−1

isolant Z_A^∗ V_A^∗ Z_C^∗ λ^∗ 0

Table III.3 – Comportement infrarouge du modèle de Bose-Hubbard à deux dimensions. Les quantités avec des étoiles représente des valeurs non nulles de point fixe etη est la dimension anormale du point critique XY tridimensionnel. Z_C,k signifieZ_C,k(n_0,k).

aussi que η_A,k, η_V,k ∼ k3 tandis que la variable pertinente n˜_0,k s’annule commek au point critique.

Quand un point de la transition générique (t_c(µ), µ) est approché le long d’un chemin à potentiel chimique constant µ en variant t− tc(µ), nous observons le com-portement champ moyen

ρ_s ∼ t − tc(µ),

κ∼ const, ^(3.76)

pour t→ tc(µ) (Fig.3.14). La compressibilitéκ reste finie à la transition tandis que la vitesse c s’annule.

À la dimension critique supérieure (d = d⁺_c = 2), il y a des corrections logarith-miques au champ moyen. La variable marginalement pertinente ˜λ_k s’annule comme | ln k|−1_{, tandis que la variable pertinente}˜n_0,k s’annule comme| ln k|−1 _{au point} cri-tique. Nous observons une divergence de la compressibilité κ quand on s’approche de la transition(t→ tc(µ)) (Fig. 3.15).

Il est intéressant de comparer le comportement infrarouge dans la phase super-fluide ou dans la phase de Mott avec le comportement critique à la transition entre les deux phases (TableIII.3). Dans la phase superfluide et aux points multicritiques, le comportement infrarouge est caractérisé par une invariance relativiste.

Chapitre IV

Thermodynamique universelle à

proximité de la transition de Mott

The most exciting phrase to hear in science, the one that heralds new discoveries, is not “Eureka !” but “That’s funny...”.

I. Asimov

Nous discutons dans ce chapitre la thermodynamique d’un gaz de Bose avec le point de vue des transitions de phase quantiques. En particulier, nous montrons comment l’existence du point critique quantique de la transition vide-superfluide implique que les fonctions thermodynamiques s’écrivent sous forme de fonctions d’échelle. Celles-ci sont des fonctions universelles (ne dépendant pas du système), mais dont les arguments sont non-universels et dont les paramètres caractérisent les excitations au point quantique critique, ici la masse m des bosons et leur longueur de diffusion en onde-s a.

Nous avons vu au cours des chapitres précédents que la transition de Mott avec changement de densité est décrite par le même point fixe (gaussien en dimension d≥ 2) que la transition vide-superfluide. Cela implique en particulier que la thermo-dynamique universelle de la phase superfluide près de la transition de Mott générique doit être donnée par les fonctions d’échelle, universelles, du gaz de Bose dilué, mais avec des arguments dépendant des caractéristiques du point quantique critique : la masse effective m^∗ des quasi-particules et la ‘longueur de diffusion’ effective a^∗a. En utilisant le NPRG sur réseau, nous calculons ces paramètres et montrons que la thermodynamique de la phase superfluide près de la transition de Mott générique est bien donnée par celle d’un gaz de Bose dilué. La généralisation du NPRG au cas à température finie, dont nous aurons besoin, est discutée en annexe G. Nous survolons en annexeH les lois d’échelle dans le cas du point multicritique.

a. Le même genre d’approche a été utilisé pour comprendre la ‘condensation’ de triplon (se comportant comme des bosons de cœur dur) dans certains systèmes magnétiques quantiques, voir par exemple [116].

4.1 Thermodynamique du gaz de Bose dilué via les

tran-sitions de phase quantiques