Point multicritique

Le comportement critique à la pointe du lobe de Mott peut être compris en linéarisant les équations de flot. Si nous posons ZC,k(n) = 0, nous retrouvons les équations de flot du modèle XY en d + 1 dimensions (avec un régulateur anisotrope, voir annexe F.3.1) avec une direction pertinente dans l’espace des paramètres de l’action effective. Le flot du paramètre correspondant, que nous noteronsr, détermine l’exposant ν. Puisque Z_C,k(n) est toujours au carré dans les équations de flot (sauf la sienne), il n’entre pas dans les équations de flot linéarisées (sauf la sienne). Donc Z_C,k(n_0,k) correspond à la seconde direction pertinente, qui est orthogonale (dans l’espace des paramètres de l’action) à la surface critique.

Le comportement du système près du point multicritique(t_c, µ_c) est mieux com-pris en considérant la partie singulière du potentiel effectifVs(r, Z_C) (Z_C ≡ ZC(n0))

Les transitions de phase isolant-superfluide 71

point multicritique transition générique ˜ q q/k q/k ˜ ω  _V A,k ZA,kk 1/2 ω  _Z C,k ZA,kk  ω ˜ n k^−d(V_A,kZ_A,k_k)^1/2n k^−dZ_C,kn ˜ V_k(˜n) k^−d _V A,k ZA,kk 1/2 V_k(n) k^−d _Z C,k ZA,kk  V_k(n) ˜ δ_k (Z_A,k_k)⁻¹δ_k (Z_A,k_k)⁻¹δ_k ˜

λ_k k^dV_A,k^−1/2(Z_A,k_k)^−3/2λ_k k^d(Z_C,kZ_A,k_k)⁻¹λ_k ˜

Z_C,k(˜n) (V_A,kZ_A,k_k)^−1/2Z_C,k(n) ˜

V_A,k Z_A,k_kZ_C,k⁻²V_A,k

Table III.2 – Variables adimensionnées (ZC,k ≡ ZC,k(n_0,k)).

[3]. À petitr et ZC, etd < 3 :

Vs(r, ZC) = s^−d−zVs(s^1/νr, sZC)

=|r|^ν(d+z)V^˜_s(|r|^−νZ_C). (3.66) Nous anticipons ici que la valeur propre associée àZ_C est égale à un (voir plus bas). Vsétant fini et non nul dans la limiter → 0 et ZC → 0, ˜Vs(x) doit être constant pour x→ 0 et se comporter comme xd+z pourx→ ∞. De plus, r et ZC sont supposés être des fonctions analytiques de t− tc et µ− µc, et doivent s’annuler linéairement avec t− tc quand on s’approche du point multicritique sur un chemin typique, i.e. non vertical dans le plan(t/U, µ/U ). Puisque l’exposant ν du modèle XY est inférieur à un pour toutd + 1≥ 3, l’argument de ˜V_s dans (3.66) s’annule commet− tc→ 0. Vu que ˜V_s(x)→ const pour x → 0, nous en concluons que ZC disparait de la relation d’échelle (3.66) et le point multicritique ressemble à un point critique XY ordinaire, comme nous le montrerons explicitement plus bas. Nous donnons en annexe H une analyse plus poussée des lois d’échelle au point multicritique, en particulier le long d’une trajectoire parallèle à l’axe des µ.

Pour rendre le point fixe explicite quand le système est critique, nous utilisons des variables adimensionnées, définies en table III.2. Notons qu’il faut un adimen-sionnement différent dans le cas de la transition générique, l’exposantz n’étant pas le mêmeⁱ. Les dimensions anormales sont données par

η_A,k=−∂lln Z_A,k,

η_V,k =−∂lln V_A,k. ^(3.67)

i. Dans le cas du point multicritique, on veut queω˜2+ ˜q2 reste constant (z = 1), tandis que dans le cas de la transition générique, c’est−i˜ω + ˜q2 qui ne varie pas (z = 2).

La fréquence adimensionnée ω (Table˜ III.2) nous permet de définir un exposant dy-namique critique (dépendant de l’échellek, mais aussi du type d’adimensionnement) z_k= [ω] à partir de [Z_A,k] =−ηA,k,[V_A,k] =−ηV,k, et[˜ω] = 0, ce qui donne

z_k= 1−^{ηA,k− ηV,k}

2 ^{. (3.68)}

Ici [X] représente la dimension d’échelle de la variable X (les impulsions ayant la dimension 1). Au point multicritique, nous nous attendons à avoirη_A= η_V etz = 1. Il est cependant possible que le régulateur R_k(q), qui ne respecte pas l’invariance relativiste de l’action effective au point multicritique, modifie le comportement cri-tique attendu. En posant Z_C,k(n) = 0 dans les équations de flot on trouve (annexe F)

η_V,k = η_A,k− ^η 2 A,k

d + 2^{. (3.69)}

Étant donné la faible valeur de la dimension anormale du modèle XY en (d + 1) dimension (d = 2, 3), les résultats ηA = ηV etz = 1 sont néanmoins respectés avec une bonne précision, voir plus bas.

Point multicritique d = 2

Nous commençons par discuter le cas bidimensionnel. Nous trouvons queZ_C(n) s’annule pour µ = 0.382, soit une valeur légèrement différente que la position du bout du lobe, situé à µ = 0.387 (nous nous concentrons sur l’étude du lobe ¯n = 1). Cette petite erreur provient vraisemblablement du fait que l’invariance de jauge locale, (voir section3.1.2), qui donne l’identité de Ward (3.65), n’est pas strictement satisfaite dans notre approche, car violée à la fois par l’approximation BMW et par le développement en dérivées. D’un autre coté, le fait que le point multicritique se trouve très proche de la pointe du lobe montre que la violation est faible et sans grandes conséquences.

La figure 3.8 montre le flot de RG au point multicritique. Les plateaux de la densité du condensatn˜0,k et de la constante de couplage ˜λkadimensionnées, ainsi que ceux des dimensions anormalesη_A,ketη_V,k, sont caractéristiques d’un comportement critique. Nous voyons clairement l’émergence de l’invariance relativiste à mesure que k décroit : ˜Z_C,k(˜n_0,k)∼ k s’annule tandis que ηA,ketη_V,kdeviennent quasiment égales (impliquant z_k ' 1). Nous trouvons les exposants critiques ν = 0.699, ηA = 0.049, η_V = η_A(1− ηA/4) = 0.049 et z = 1.000, à comparer aux meilleures estimations ν = 0.671 et η = 0.038 pour le modèle XY à trois dimensions [114]. Il serait possible d’améliorer le calcul des exposants critiques en augmentant le caractère fonctionnel de notre ansatz (i.e. garderV_A,k(n) et Z_A,k(n) et non les approximer par leurs valeurs en n_0,k), ou en poussant le développement en dérivées jusqu’à l’ordre 4. Le but de notre travail n’est néanmoins pas de calculer ces exposants critiques, mais de montrer que l’on retrouve bien le comportement critique du modèle XY.

La figure 3.9montre | ˜Z_C,k(˜n_0,k)| près du point multicritique. Il s’annule lors de l’approche du point multicritique avant de croitre comme | ˜Z_C,k(˜n_0,k)| ∼ 1/k ∼ e−l

Les transitions de phase isolant-superfluide 73

Figure 3.8 – (Haut) Densité du condensat ˜n_0,k, constante de couplage ˜

λ_k et ˜Z_C,k(˜n_0,k) adimensionnés vs ln(Λ/k) au point multicritique ¯n = 1 en d = 2. (Bas) Dimensions anormales η_A,k etη_V,k en fonction ln(Λ/k). L’encart montre que l’équation (3.69) est satisfaite pourk→ 0.

Figure 3.9 – (Gauche) ln ˜Z_C,k(˜n_0,k) en fonction de ln(Λ/k) près du point multicritique. (Droite) Dimensions anormales η_A,k et η_V,k. La fin des plateaux détermine la longueur de Josephson ξ_J = k_J⁻¹.d = 2 dans les deux cas.

Figure 3.10 – Densité du condensat n0, raideur superfluide ρ_s, com-pressibilité κ et gap de Mott ∆ en fonction de |t − tc| près du point multicritique(t_c, µ_c) [d = 2]. Les croix montrent les comportements don-nés par les équations (3.70-3.72) avecν ' 0.699 et η ' 0.049.

lorsque le flot s’écarte de la surface critique, de sorte que l’exposant critique associé à ˜Z_C,k(˜n_0,k) est égale à un, comme prédit par des arguments d’échelle [3]. Les pla-teaux des dimensions anormalesη_A,ketη_V,k montrent l’intervalle d’impulsion durant lequel le flot est contrôlé par le point multicritique. La fin des plateaux détermine la longueur de Josephson ξ_J ≡ kJ⁻¹ = k⁻¹ [115]^j, voir figure 3.9.

Nous discutons maintenant le comportement du système pourµ = µ_cett→ t+ c. La densité du condensat s’annule avec l’exposant critique 2β = ν(d + z− 2 + η),

n₀ ∼ (t − tc)^{ν(d+z−2+η)}. (3.70)

À partir de la dimension d’échelle [ρ_s] = d + z− 2 de la raideur superfluide et le fait que la vitesse du mode de Goldstone c = p

ρ_s/κ reste finie à cause de l’invariance relativiste de l’action effectiveΓ_k dans la limitek→ 0, nous avons

ρs∼ (t − tc)^ν(d+z−2),

κ∼ (t − tc)^ν(d+z−2). ^(3.71)

Les équations (3.70,3.71) sont en accord avec les résultats obtenus numériquement avec les équations de flots (figure 3.10). Dans la phase de Mott, nous avons[∆] = z et le gap s’annule comme

∆∼ (tc− t)^νz (3.72)

pour t → t−

c, de nouveau en accord avec les équations de flot (figure 3.10). Les courbes de la figure3.10donnent ν ∼ 0.696 et 2β = ν(1 + η) ∼ 0.7338, ce qui donne

j. La longueur de Josephson n’est définie que dans la phase basse température. Pour des im-pulsions ξ_G⁻¹  |q|  ξ⁻¹J (ξG est la longueur de Ginzburg, voir section 2.1), les fonctions de corrélation sont celles du système critiqueG(q)∝ |q|−2+η, tandis que pour|q|  ξ−1

J , les fonctions de corrélation ne sont plus critiques mais sont dominées par les modes de Goldstone (la fonction de corrélation transverse se comporte commeGt(q)∝ |q|−2et la fonction de corrélation longitudinale commeGl(q)∝ |q|^d−4pour un système classique [30]).

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η = 0.053, en très bon accord avec les exposants déduit à partir des flots de RG, voir ci-dessus.

Point multicritique à d = 3

La dimension critique supérieure étant trois (d + z = 4), la transition au point multicritique est dans ce cas gouvernée par le point fixe gaussien avec des corrections logarithmiques dues à la constante de couplage marginalement non pertinente ˜λ_k. La résolution numérique des équations de flots montre que ˜λ_k ∼ 1/| ln k|, ˜Z_C,k(˜n_0,k) ∼ k/| ln k| et ηA,k, η_V,k ∼ 1/| ln k|2, tandis que n˜_0,k va vers sa valeur de point fixe n˜^∗₀ logarithmiquement (Fig.3.11)^k. La figure3.12montreρ_s,κ et c en fonction de t−tc.