2.5 Pi`ege pour une ´equipe d’automates
2.5.1 Transformation d’un graphe en un squelette de pi`ege
Supposons qu’un automate irr´eductible Ab= (S, sinit, f, λ) est plac´e en un sommet x0 d’un graphe homog`ene planaire Gdans son ´etat initial sinit. Nous voulons cr´eer un sque-lette de pi`ege pour Ab en ´etendant G au niveau d’une arˆete {v, v′}. De plus, l’extension doit ˆetre de tailleO(K). Voir Figure 2.7. L’extension s’op`ere en coupant{v, v′}pour cr´eer
0 x v v' x0 v v' e e' 0 x v v' e e' (a) (b) (c) G H H G' 1 1
Fig. 2.7 – Etendre un graphe `a partir d’une arˆete en un squelette de pi`ege
deux arˆetes pendantes (cf. Figure 2.7(b)). Le sommet v, resp. v′, est incident `a la demi-arˆete pendante e, resp. e′. Soit H1 le graphe r´esultant. Un graphe partiel G′ de O(K) sommets est attach´e `a e et `a e′ (cf Figure 2.7(c)) de telle fa¸con que le graphe r´esultant
H soit un squelette de pi`ege pour Ab. Si l’automate Ab ne traverse jamais l’arˆete {v, v′}
lorsqu’il d´emarre de x0 dans G, alors on pose H = H1. Autrement, l’extension ajout´ee `a G est assez simple : soit on ajoute un chemin connect´e `a un cycle (bas´es sur ¯G(Ab)) comme illustr´e dans la figure 2.7(c), soit on connecte e et e′ par un chemin (´etiquet´e de fa¸con appropri´ee).
2.5. PI `EGE POUR UNE ´EQUIPE D’AUTOMATES 57 Plus pr´ecis´ement, consid´erons l’empreinte de Ab, emp(Ab) = W0W∗, |W0W| = K, o`u
pi est la i-`eme lettre de emp(Ab). Consid´erons la suite de configurations de Ab (x0, s0)→(x1, s1)→. . .
o`us0 =sinitest l’´etat initial deAb. Soitpi+1 =λ(si). Supposons queAbtraverse{v, v′}pour la premi`ere fois `a l’´etape i, i≥1, c’est-`a-dire en passant de la configuration (xi−1, si−1) `a la configuration (xi, si). Supposons, sans perte de g´en´eralit´e, qu’il la traverse `a ce moment de v vers v′. Donc xi−1 =v et xi =v′. pi est l’´etiquette de {v, v′}. En d’autres termes, si nous coupons l’arˆete pour obtenir deux demi-arˆetes pendantes e ete′, alors Abtraverse e. Nous consid´erons deux cas, d´ependant du moment o`u Abtraverse e, dans un ´etat du chemin ou dans un ´etat du cycle de G(Ab).
Cas 1. Supposons que Ab traverse e `a l’´etape i ≤ |W0|. Donc pi appartient `a W0. Dans ce cas, nous utilisons le graphe non orient´e de Ab, ¯G(Ab), et nous construisons la version sans arˆete multiple ni boucle, ¯G1(Ab), comme dans la sous-section 2.3.1 en ajoutant au plus trois sommets. Nous collons la partie de ¯G1(Ab) qui commence apr`es pi `a e. Plus pr´ecis´ement, nous connectons `a e le chemin de longueur |W0| − i dont l’extr´emit´e est not´ee w. Les arˆetes de ce chemin sont ´etiquet´ees pi+1, . . . , p|W0|. En w, nous ajoutons le cycle de ¯G1(Ab). Parmi les sommets ajout´es, seul w est de degr´e 3. Nous compl´etons le graphe partiel par des demi-arˆetes pendantes pour que chaque sommet soit de degr´e 3. SoitH le graphe obtenu. Notons que nous avons ajout´e au plusK+ 2 nouveaux sommets.
Cas 2. Si Abtraverse e`a l’´etapei >|W0|, alors il transite dans l’´etats du cycle de G(Ab) apr`es avoir travers´ee. Supposons que c’est le j-i`eme ´etat du cycle (rappelons que le cycle est suppos´e commencer dans le dernier ´etat du chemin de G(Ab)). Cela veut dire que, apr`es avoir travers´e e,Abtraversera les arˆetes ´etiquet´ees p|W0|+j, p|W0|+j+1, . . .
Soit x le sommet de H1 atteint par Ab apr`es |W0| ´etapes, soit W−1 la suite W ´ecrite en sens inverse, et soit Ab−1 l’automate traversant les arˆetes ´etiquet´ees (W−1)∗. Donc, quand Ab−1 d´emarre en x, Ab−1 proc`ede comme Ablorsque ce dernier atteint x apr`es |W0| ´etapes, mais `a l’envers. SoitAb∗ l’automate traversant les arˆetes ´etiquet´esW∗, c’est-`a-dire l’automate d´eriv´e de Abpar la suppression des ´etats et des transitions impliqu´es dansW0.
Assertion 2.1 En d´emarrant en x, Ab−1 finit par traverser l’une des demi-arˆetes pen-dantes en v ou en v′.
Preuve. Supposons par contradiction queAb−1 ne traverse aucune des demi-arˆetes eete′. Soit s l’´etat dans lequel d´emarre Ab−1 en x. Nous montrons d’abord que Ab−1 finit par retourner en x dans le mˆeme ´etat s. Pour ce faire, consid´erons la suite de configurations commen¸cant par (x, s)
(x0, s0)→(x1, s1)→ · · ·
o`u (x, s) = (x0, s0). La suite contient n´ecessairement deux configurations ´egales, disons (xi, si) = (xi+k, si+k), pour un i ≥ 0 et un k ≥ 1, car H1 et Ab−1 sont tous deux finis. Supposons que k est le plus petit possible. Sii= 0, le lemme est prouv´e, donc supposons
58 CHAPITRE 2. EXPLORATION DES GRAPHES NON ORIENT ´ES
i > 0. Nous allons prouver que (xi−1, si−1) = (xi+k−1, si+k−1), ce qui implique (x0, s0) = (xk, sk).
Notons que Ab−1 se d´eplace de xi−1 `a xi le long d’une arˆete ´etiquet´ee λ(si−1). Quand b
A−1 retourne finalement dans la mˆeme configuration (xi+k, si+k), l’´etat si+k−1 est ´egal `a
si−1 (tous les ´etats consid´er´es sont dans le cycle deG(Ab−1) car l’´etats est lui-mˆeme dans ce cycle). On a donc λ(si−1) = λ(si+k−1). Il s’ensuit que l’arˆete {xi+k−1, xi+k} a aussi l’´etiquette λ(si−1). Finalement xi+k−1 = xi−1 puisque xi+k = xi et que G est `a arˆetes color´ees.
Donc Ab−1 finit par retourner en x dans le mˆeme ´etat, et donc le parcours dans H1
est un parcours ferm´e. Ce chemin parcouru `a l’envers est exactement ce que Ab∗ parcourt depuis x. Donc Ab∗ ne traverse aucune des deux demi-arˆetes e et e′. En cons´equence, Ab
non plus ne les traverse pas, une contradiction.
D’apr`es l’assertion 2.1 nous pouvons consid´erer l’´etat atteint par Ab−1 apr`es qu’il ait travers´e une des demi-arˆetes pendantes. Supposons que c’est le k-i`eme ´etat du cycle de
G(Ab). Nous consid´erons deux sous-cas, selon que Ab−1 traverse la mˆeme demi-arˆete que b
A ou non.
Cas 2.1. L’automate Ab−1 traverse la demi-arˆete e, c’est-`a-dire la mˆeme que Ab. Cela implique que la k-i`eme ´etiquette de W est ´egale `a la (j−1)-i`eme, qui est aussi l’´etiquette de e. Nous consid´erons la section du cycle de G(Ab) du j-i`eme auk-i`eme ´etat. Les arˆetes extr´emales de cette section ont l’´etiquette de e. Nous consid´erons maintenant le mot suivant :W′ =W(j−1)W(j)W(j+1). . . W(k−1)W(k)W(k+1). . . W(j−1)W(j)W(j+ 1). . . W(k−1)W(k)W(k+ 1). . . W(j−1)W(j)W(j+ 1). . . W(k−1)W(k). (Notons que
W(j−1) =W(k) et|W′| ≥2× |W|+ 2). Les deux robotsAbetAb−1 ne peuvent pas suivre ind´efiniment le mˆeme chemin apr`es avoir travers´ee: autrement, cela signifierait qu’en les d´epla¸cant tous deux `a l’envers, ils suivraient aussi ind´efiniment le mˆeme chemin, ce qui est impossible car les deux robots ont pris des chemins diff´erents au sommet x dans le pass´e. De plus, les deux robots doivent se s´eparer apr`es au plus |W| ´etapes, et puisque
|W′| ≥2·|W|+2, ils doivent se s´eparer apr`es au moins une ´etape et au plus|W|−1 ´etapes. Maintenant, si les deux automates se s´eparent l’un de l’autre `a un certain moment apr`es avoir travers´e l’arˆete e, consid´erons le plus petit entier l tel queW(j+l)6=W(k−1−l), c’est-`a-dire l’endroit le plus proche de e o`u les deux automates se sont s´epar´es. Puisque
W(j −1) =W(k), on a l ≥1. Par d´efinition de l, nous avonsW(j +l−1) = W(k−l). Puisque les automates consid´er´es sont r´eduits, nous avons aussi W(j+l−1)6=W(j+l). Toujours par d´efinition de l, on obtient W(j+l)6=W(k−1−l). Finalement, parce que nous consid´erons des automates r´eduits et que nous avons W(j +l−1) = W(k−l), on obtient W(j+l−1)6=W(k−1−l). En r´esum´e, cela signifie queW(j+l−1),W(j+l), et W(k−1−l) sont disjoints deux `a deux. Nous sommes maintenant prˆets `a construire le graphe suivant : `a partir de e, nous disposons un chemin ´el´ementaire qui se termine en W(j+l−1) au sommet w, et de ce dernier sommet un cycle W′′ va de W(j+l) `a
W(k −l−1). Puisque W(j +l) 6= W(k−1−l) (voir ci-dessus), on a |W′′| > 2. Nous ajoutons `a w un cycle de longueur |W′′|´etiquet´eW′′, commen¸cant et se terminant en w, de telle fa¸con qu’une fois que Abet Ab−1 ont atteint w, chacun traverse ce cycle dans une
2.5. PI `EGE POUR UNE ´EQUIPE D’AUTOMATES 59 direction oppos´ee, et revient en wdans l’´etat appropri´e pour continuer le long du chemin en direction de e. Parmi les sommets ajout´es, seul w est de degr´e 3. Nous compl´etons le graphe partiel par des demi-arˆetes pendantes pour que chaque sommet soit de degr´e 3. SoitHle graphe obtenu. Notons que nous avons ajout´e au plus 2K+1 nouveaux sommets.
Cas 2.2. L’automate Ab−1 traverse la demi-arˆete e′, c’est-`a-dire pas la mˆeme que Ab. Supposons que Ab−1 est dans l’´etat s quand il est en v′. Nous consid´erons de nouveau la section du cycle de G(Ab) du j-i`eme ´etat au k-i`eme ´etat (si la section est de longueur 1, nous l’´etendons avec W pour s’assurer que la section ait au moins un sommet interne). Nous connectons e ete′ par un chemin avec les ´etiquettes de cette section. Donc, quand
b
A traverse la demi-arˆete e, il suit le chemin nouvellement rajout´e, et va en v′ dans l’´etat appropri´e,s, pour continuer le long du chemin deAb−1 mais dans l’autre sens, et finalement retourner enx. Nous compl´etons le graphe partiel par des demi-arˆetes pendantes pour que chaque sommet soit de degr´e 3. Soit H le graphe obtenu. Notons que nous avons ajout´e au plus K nouveaux sommets.
Lemme 2.6 Le grapheH est un graphe partiel homog`ene tel qu’il en existe une repr´esen-tation plane dans laquelle les demi-arˆetes pendantes appartiennent `a une mˆeme face. De plus, H est un squelette de pi`ege pourAbcommen¸cant enx0, avec au plus 2K+ 1 sommets
de plus que G.
Preuve. Il d´ecoule directement de la construction et du fait que G est homog`ene et planaire que H un graphe partiel homog`ene tel qu’il en existe une repr´esentation plane dans laquelle les demi-arˆetes pendantes appartiennent `a une mˆeme face. Le nombre de sommets de H est compt´e dans les trois cas pr´ec´edents et n’exc`ede pas 2K+ 1.
La preuve du cas 1 se d´eroule comme suit, les autres cas sont similaires. Supposons que b
A traverse e`a l’´etape i≤ |W0|. Dans ce cas, Abne traverse pas l’arˆete e′ deH. Observons queAbest pi´eg´e dans la portion de ¯G1(Ab) ajout´ee `ae. Cela vient du fait queAbest dans la configuration (xi−1, si−1) avant de traversere, et dans la configuration (xi, si) apr`es l’avoir travers´ee. A ce moment, il est au d´ebut de la portion de ¯G1(Ab) ajout´ee. Il continuera donc `a parcourir les arˆetes de cette portion sans chercher `a prendre les demi-arˆetes pendantes,
comme dans le lemme 2.4.