Du squelette au pi`ege

Consid´erons un automate quelconque A et un graphe 3-homog`ene planaire G. Soit

x0 un sommet de G. Soit _Ab _{un automate irr´eductible obtenu `a partir de A. Dans cette</sub> sous-section, nous montrons comment obtenir un pi`ege planaire 3-homog`ene pour A `a partir du squelette de pi`ege H pour <sub>A</sub>b <sub>obtenu `a partir de G par la construction de la} sous-section pr´ec´edente (cf. Lemme 2.6). Nous avons d’abord besoin de deux r´esultats techniques.

Assertion 2.2 Soit H un graphe partiel 3-homog`ene. Pour ℓ = 0,1,2, soit parit´e(ℓ)

la parit´e du nombre de demi-arˆetes pendantes ´etiquet´ees ℓ. Pour tout ℓ, ℓ′ ∈ {0,1,2},

60 CHAPITRE 2. EXPLORATION DES GRAPHES NON ORIENT ´ES Preuve. Une arˆete de H ´etiquet´ee ℓ peut ˆetre consid´er´ee comme deux demi-arˆetes non pendantes ´etiquet´ees ℓ. Pour ℓ ∈ {0,1,2}, soit tℓ le nombre total de demi-arˆetes de H

´etiquet´ees ℓ, et pℓ, resp. npℓ, le nombre de demi-arˆetes de H pendantes, resp. non pen-dantes, ´etiquet´ees ℓ. Tous les sommets deH sont exactement de degr´e 3 et sont incidents `a une demi-arˆete de chaque ´etiquette. D’o`u t0 = t1 = t2 = n, o`u n est le nombre de sommets du graphe. Dans H, si une demi-arˆete n’est pas pendante, elle forme une arˆete compl`ete avec une autre demi-arˆete non pendante de mˆeme ´etiquette. Donc tous les np_ℓ

sont pairs. Puisque tℓ = pℓ +npℓ, tℓ et pℓ ont la mˆeme parit´e et donc tous les pℓ ont la

mˆeme parit´e.

Assertion 2.3 SoitH un graphe partiel3-homog`ene tel qu’il en existe une repr´esentation plane dans laquelle les demi-arˆetes pendantes appartiennent `a une mˆeme face. Soit p le nombre de demi-arˆetes pendantes de H. Alors on peut ´etendre H en un graphe homog`ene planaire en ajoutant au plus 2p sommets.

Preuve. Nous montrons le r´esultat par r´ecurrence sur p. Le r´esultat est trivialement vrai pour p = 0. Supposons le r´esultat vrai pour tout i < p, avec p ≥ 1. Consid´erons un graphe partiel H v´erifiant les hypoth`eses de l’assertion et ayant exactement p demi-arˆetes pendantes. Si H est r´eduit `a un sommet et trois demi-arˆetes pendantes, le sommet peut ˆetre compl´et´e en le graphe complet `a 4 sommets et le r´esultat est vrai. Sinon, pour des raisons de parit´e li´ees `a l’assertion 2.2, il existe au moins deux sommets poss´edant une ou plusieurs demi-arˆetes pendantes. Choisissons deux demi-arˆetes pendantes e et e′

incidentes `a deux sommets distincts v etv′, respectivement, telles que, si on les reliait, le graphe partiel obtenu aurait encore une repr´esentation plane dans laquelle les demi-arˆetes pendantes restantes appartiennent `a une mˆeme face.

Supposons d’abord queeete′ ont des num´eros de port diff´erentsℓetℓ′, respectivement. On ajoute alors un nouveau sommet u. La demi-arˆete e, resp. e′, est prolong´ee en une arˆete d’´etiquette ℓ, resp. ℓ′, reliant v, resp. v′, au nouveau sommet u. Une demi-arˆete pendante de num´ero de port ℓ′′6∈ {ℓ, ℓ′} est ajout´ee `aupour que ce dernier soit de degr´e 3. Clairement, le graphe partiel obtenu H′ est homog`ene et poss`ede une repr´esentation plane dans laquelle ses p−1 demi-arˆetes pendantes appartiennent `a la mˆeme face. Par application de l’hypoth`ese de r´ecurrence, H′ peut ˆetre ´etendu en un graphe homog`ene planaire en ajoutant au plus 2(p−1) sommets. Donc H peut ˆetre ´etendu en un graphe homog`ene planaire en ajoutant au plus 2(p−1) + 1≤2p sommets.

Supposons maintenant queeete′ ont le mˆeme num´ero de portℓ. S’il n’existe pas encore d’arˆete{v, v′}, alors nous formons une arˆete d’´etiquetteℓavec les deux demi-arˆeteseete′. Sinon, pour ´eviter les arˆetes multiples, nous relions eete′ par le gadget `a quatre sommets d´ecrit dans la figure 2.8, dans laquelle ℓ = 0. Dans les deux cas, le graphe partiel obtenu

H′ est clairement homog`ene et poss`ede une repr´esentation plane dans laquelle ses p−2 demi-arˆetes pendantes appartiennent `a la mˆeme face. Par application de l’hypoth`ese de r´ecurrence, H′ peut ˆetre ´etendu en un graphe homog`ene planaire en ajoutant au plus 2(p−2) sommets. Donc H peut ˆetre ´etendu en un graphe homog`ene planaire en ajoutant au plus 2(p−2) + 4 = 2psommets, ce qui conclut la preuve de l’assertion.

2.5. PI `EGE POUR UNE ´EQUIPE D’AUTOMATES 61 0 2 ¹ H 0 _{1 2} 0

Fig. 2.8 – Le gadget reliant deux demi-arˆetes

Revenons au squelette de pi`egeH construit dans la sous-section pr´ec´edente. Seuls les sommets ajout´es `a G et les deux sommets v et v′ de G sont ´eventuellement incidents `a des demi-arˆetes pendantes. H ´etant connexe, chacun de ces sommets a au plus deux demi-arˆetes pendantes incidentes. En fait, notre fa¸con de construire H implique qu’il y a au plus une demi-arˆete pendante incidente `a chaque sommet. H a donc au plus (2K+ 1) + 2 = 2K+ 3 demi-arˆetes pendantes. D’apr`es l’assertion 2.3,H peut ˆetre ´etendu en un graphe homog`ene planaire H^hom ayant au plus 4K+ 6 sommets de plus que H, et donc au plus 6K+ 7 sommets de plus que G.

La paire (Hhom, x0) est un pi`ege pour <sub>A</sub>b <sub>mais pas n´ecessairement pour A. Pour</sub> construire un pi`ege pour A, nous ajoutons une “tour” `a Hhom. Plus pr´ecis´ement, soit

{w, w′} une arˆete de Hhom mais pas de H. L’automate r´eduit _Ab_{ne traverse jamais cette} arˆete lorsqu’il d´emarre dex0 dansHhom. Coupons l’arˆete pour produire deux demi-arˆetes pendantesf etf′. Ajoutons une “tour” de hauteurK+1 connect´ee `af etf′, et un gadget fermant la tour, comme l’illustre la figure 2.9. Les deux sommets internes du gadget au sommet de la tour sont not´es v1 etv′

1. Ajoutons des ´etiquettes `a la tour et au gadget pour

v v’ K+ w w’ f H^hom f’ 1 1 1

Fig. 2.9 – La tour surmont´ee du gadget

rendre le graphe `a arˆetes color´ees. SoitH(G,A) le graphe obtenu. H(G,A) est homog`ene.

Lemme 2.7 Soit G un graphe planaire 3-homog`ene quelconque. Soit x0 un sommet et

{v, v′} une arˆete de G. Consid´erons un automate arbitraire A ayant K ´etats. Alors il est possible d’´etendre G en l’ouvrant au niveau de l’arˆete {v, v′} pour obtenir un graphe homog`ene planaire H(G,A) tel que ce graphe a au plus 8K+ 13 sommets de plus que G

62 CHAPITRE 2. EXPLORATION DES GRAPHES NON ORIENT ´ES Preuve. Consid´erons le graphe H(G,A) construit pr´ec´edemment `a partir de Hhom par l’ajout d’une tour en lieu et place de l’arˆete {w, w′}. L’automate r´eduit Ab ne traverse jamais l’arˆete{w, w<sup>′</sup>}, et donc n’entre pas dans la tour. D’apr`es le lemme 2.3, la trajectoire de A n’est jamais `a une distance plus grande que K de la trajectoire de _Ab_{. Puisque la} tour est de hauteur K+ 1, A n’atteint jamais le sommet de la tour. En cons´equence, A

n’explore jamais les sommets v₁ et v′

1, et (H(G,A), x₀) est un pi`ege pour A.

Il reste `a compter le nombre de sommets deH(G,A). Le grapheHhoma au plus 6K+7 sommets de plus que G. La tour a 2K+ 6 sommets, et donc H(G,A) a au plus 8K+ 13

sommets.