I.2 Attributs texturaux usuels
I.2.2 Attributs issus d'une transformation orthogonale de l'image
I.2.2.1 Transformée de Fourier
La texture, comme cela a été indiqué au début de ce chapitre, peut être :
- soit définie comme un agencement plus ou moins périodique de motifs (textons),
- soit formée de micro-textures de fréquences spatiales élevées comme la texture herbe (Fig. 5).
Dans les deux cas, il est plus efficace d'étudier cette texture dans le domaine spectral (le domaine des fréquences) que dans le domaine spatial (où les coordonnées d'un point précisent simplement sa position).
La transformée de Fourier permet le passage d'un domaine vers l'autre [COQ95] : Soient Lx = 1 2
{
, , ... ,Nx}
et Ly = 1 2{
, , . . . ,N y}
les domaines spatiaux verticaux et horizontaux de l'image et G ={
0 1 2, , ,...,Γ−1}
les niveaux de gris.Soient I L: x×Ly→G l'image originale (domaine spatial) et F L: u × Lv → la C
transformée de Fourier de I. On a alors : F u v N N I x y j ux N vy N x y y x y N x Nx y ( , )= ( , ).exp − .⎛ + ⎝ ⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ = − = −
∑
∑
1 2 0 1 0 1 π ( 4)La valeur complexe de la réponse fournie par la transformée de Fourier rend délicate son interprétation. La représentation du module ou du carré du module (périodogramme) de F, plus commodes, permettent de visualiser le spectre de l'image. Il est en outre intéressant de noter qu'il s'agit là d'opérateurs se ramenant à des statistiques du second ordre.
Les périodicités de la texture apparaissent alors sous la forme de taches sombres sur cette représentation spectrale.
Fig. 10 : Exemple de texture et le module de sa transformée de Fourier
Les coordonnées polaires de ces pics informent sur la période et l'orientation du motif textural [AZE97] [WAC96]. L'application de cette technique à la mesure de l'orientation et de l'anisotropie d'une texture sera présentée dans les chapitres suivants.
Toutefois, là encore, la transformée de Fourrier est une transformation globale de l'image ou de la texture. Elle nous informe donc globalement sur la présence d'une ou plusieurs orientations privilégiées, mais sans pour autant permettre de savoir si des orientations distinctes correspondent à des zones proches ou éloignées, ce qui est a priori incompatible avec la prise en compte de l'échelle d'observation.
I.2.2.2 Ondelettes
La transformée en ondelettes a été introduite par Jean Morlet en 1983 pour faciliter l'étude des signaux sismiques. Cette transformée permet la représentation de l'évolution temporelle d'un signal mono-dimensionnel. Adaptée au traitement de données bi-dimensionnelles [MAL89], la transformée en ondelettes donne accès à une représentation spectrale multi-résolution de l'image initiale. Cette représentation est utilisée en analyse de textures dans [LOU96] [AYD96] [LU97].
Notion d'ondelette:
Le principe général de la transformée en ondelettes est le suivant.
Lobes décrivant la texture (orientation, et fréquence spatiale)
Une famille de fonctions ψa b, d'ondelettes est construite par translation (paramètre a) et dilatation (paramètre b) d'une fonction mère Ψ.
ψa b, ( )x =b.Ψ( .b x−a) (5)
La fonction mère doit respecter la condition d'admissibilité suivante. ( ) Ψ w w dw 2 −∞ +∞
∫
< ∞ avec Ψ : transformée de Fourier de Ψ. (6)La transformée en ondelettes d'une fonction f est alors le produit de convolution entre la fonction f et les fonctions d'ondelettes ψa b, .
( )
da b, ( )τ = f ⊗ψa b, ( )τ = f x( ).ψa b, (τ−x dx).
−∞ +∞
∫
( 7)Si les coefficients a et b sont de la forme a= −k
2 et b=m −k
.2 , alors la famille de fonctions ψa b, constitue une base de décomposition orthogonale.
Cette propriété permet de calculer les coefficients d'ondelettes da b, et elle autorise également la reconstruction de la fonction f à partir des coefficients da b, .
Fonction d'échelle.
La décomposition en ondelettes repose également sur le principe de l'analyse multi-résolution dyadique. Il s'agit de décomposer l'espace vectoriel des fonctions de carré intégrable L²(R) en une suite croissante de sous-espaces vectoriels fermés et emboîtés Vj vérifiant : • ∩Vj j Z = ∈ 0 , ∪ j Z j V L ∈ = 2 (R) • S t( )∈Vj ⇔S( )2t ∈Vj+1
• Il existe une fonction φ( )t ∈V0 telle que
{
φ(t−k)}
k Z∈ constitue une base orthonormée de V0.On définit une famille de fonction d'échelles φj k j φ j
t T k
,
/
( )=2 2 (2 . − ). Les φj,k
constituent une base orthonormale pour chaque sous espace Vj.
La notion de fonction d'échelle et celle de fonction d'ondelette sont ensuite liées par les relations suivantes :
Ψ( )t gk ( t k)
k
= 2
∑
φ 2 − avec gk = −( 1)kh1−k ( 8)Les hk sont les coefficients d'un filtre H(ω) défini par :
H h ek ik k (ω ) = − ω = −∞ +∞
∑
( 9)Les gk sont les coefficients d'un filtre G(ω) définit par :
G( )ω = H*(ω π+ ).e−iω ( 10)
La décomposition orthogonale d'un signal S(t) sera donc obtenue par la projection de ce signal sur les bases orthonormales des fonctions d'échelles φi j, et d'ondelettesψi j, .
Décomposition en ondelettes dyadiques.
La transformée en ondelettes discrètes suit le principe suivant. On considère le signal
Sn comme étant la suite des coefficients s0,n de la fonction d'échelle au niveau 0. Les coefficients d'ondelette si−1,n et dj−1,n sont alors définis par :
si n hk n i ks
k
−1, =
∑
−2 , et di n gk n i ksk
−1, =
∑
−2 , (11)Ces coefficients peuvent être calculés par l'application d'un banc de filtres miroirs en quadrature (QMF). H sera un filtre passe bas et G un passe haut.
On aboutit au schéma suivant:
H(k) G(k) ↑2 ↑2 Sk G(-k) H(-k) ↓2 ↓2 Sk sj-1,k dj-1,k Reconstruction Décomposition Décimation Interpolation
Fig. 11 : Décomposition en ondelettes et reconstruction
Chaque itération de l'algorithme de décomposition fournit un jeu de coefficients d'ondelettes pour une résolution donnée j-1. Les sj-1,k refléteront la composante basse fréquence du signal à l'échelle j-1 et les coefficients d j-1,k représenteront sa composante haute fréquence.
L'adaptation de cette méthode au cas bidimensionnel est immédiate. Les filtres H et
obtenues, HH, HG, GH, GG. Cela revient donc à appliquer quatre filtres. Le filtre
HH extraira la composante basse fréquence de l'image. Le filtre HG accentuera les
détails dans la direction 0°, GH privilégiera la direction 90° et GG la direction 45°. Les coefficients obtenus par l'application à différentes échelles des filtres HG, GH et
GG constitueront alors un vecteur d'attributs texturaux. Orientation et échelle
L'application croisée des filtres H et G permet d'obtenir des informations pertinentes sur l'orientation des textures présentes dans l'image. Des détails sur la façon d'en extraire l'orientation seront présentés au chapitre suivant (paragraphe II.1.3.2). De plus, certains auteurs ajoutent la rotation au couple {dilatation, translation} pour générer les fonctions d'ondelettes. On parle alors d'ondelettes directionnelles [ANT96]. Ces ondelettes permettent de mieux identifier les mélanges d'ondulations ayant des directions différentes.
La transformée en ondelettes est fréquemment qualifiée d'opérateur multi-échelle, en raison de la décomposition spectrale à différentes résolutions qu'elle réalise.
Par exemple, la transformée en ondelettes peut être efficacement utilisée pour étudier la granulométrie d'une image, les attributs texturaux issus des différents niveaux de résolutions, chacun étant caractéristique d'une taille de primitive différente.
Mais cette application est difficilement transposable à l'étude de l'orientation de la texture à différentes échelles d'observation. En effet, dans le cas d'une texture longiforme de fréquence spatiale fixe, l'ensemble des propriétés liées aux différentes orientations présentes dans l'image apparaîtront à un seul et même niveau de résolution du fait de l'unicité de la fréquence spatiale de la texture. En diminuant la résolution (échelle plus grossière), la texture disparaît et les variations angulaires aussi.
Dans ce cas, des variations angulaires rapides (petite échelle) ou lentes (grande échelle) ne seront pas différenciées.