Modèles Fractals

= − ( , ) ( , ) ( , ) avec x i j a m n x i n j m m n D_QP ∧ ∈ =

∑

En posant n=jxL+i ( avec L : taille horizontale de l'image), le schéma d'identification

du modèle AR 2D pour un processus stochastique 2D x(n) est donné Fig. 16.

Seulement, les algorithmes d'identification de modèle AR peuvent conduire à des modèles instables. En outre, ces modèles AR sont extrêmement sensibles aux erreurs de troncatures et d'arrondis. Néanmoins, les filtres en treillis [STRO90] qui minimisent l'erreur de prédiction de l'équation de prédiction linéaire à l'aide des coefficients de réflexion permettent de palier ces inconvénients. Une autre propriété des filtres en treillis est la modularité sur l'ordre. Cette propriété est particulièrement intéressante lorsque l'ordre du processus à modéliser est inconnu. Ce qui est souvent le cas avec des images "naturelles".

Anisotropie et échelle

• Une application montrant la classification de textures selon leur anisotropie sera présentée au chapitre III. L'appartenance d'une image à une classe de texture y est déterminée par Analyse Factorielle Discriminante (AFD) des coefficients transverses 2D obtenus par la méthode présentée ci-dessus.

• Le caractère global de ce modèle et le nombre de pixel nécessaires à la convergence du filtre de prédiction rendent délicate l'adaptation de ce modèle à une caractérisation multi-échelle des textures.

I.2.3.3 Modèles Fractals

La géométrie fractale [MAN95] [PEN84] a connu un large succès pour la modélisation de systèmes complexes (voir chaotiques) et ce dans de très larges domaines (allant de l'économie à la physique). Certains aspects de la géométrie fractale peuvent également être exploités afin de caractériser les textures présentes dans les images. C'est notamment le cas de la dimension fractale et de la lacunarité. La dimension fractale d’une image ou d’une courbe est l'expression de sa dimension

non entière. Elle mesure sa rugosité et caractérise le désordre qui règne sur cette

image ou sur cette courbe [VOS98]. Intuitivement, une courbe étant considérée comme ayant une dimension intermédiaire entre celle de la droite (dimension 1) et celle du plan (dimension 2), sa dimension fractale sera comprise entre 1 et 2.

Une image peut être assimilée à une surface 3D en utilisant la luminance comme une altitude (axe z). Elle aura donc une dimension fractale comprise entre 2 et 3. Autrement dit, plus la rugosité de cette image sera importante, plus sa dimension fractale sera proche de 3 (Fig. 17). A l'inverse, une image très "régulière" aura une dimension fractale proche de 2 (Fig. 18).

La dimension fractale se formalise de la façon suivante.

Supposons qu'une image I soit composée d'une seule texture et que la surface S décrite par cette texture soit auto-similaire à une échelle r (c'est à dire que cette surface S soit partitionable en N parties disjointes toutes identiques à rS par translation ou rotation). Dans ce cas, la dimension fractale de S est D ^N

r

= ^ln ln¹

.

La simulation d'un mouvement brownien fractionnaire de dimension fractale D quelconque permet de synthétiser des courbes ou des images fractales. On peut donc assimiler les fractales à un modèle textural minimal (un seul paramètre : la dimension fractale).

Les Fig. 17 et Fig. 18 donnent des exemples de textures fractales, et montrent les surfaces 3D associées.

Image de synthèse

dimension fractale D=2.8 ^{Surface 3D correspondante} Fig. 17 : Textures fractales à faible et forte rugosité

Image de synthèse dimension fractale D=2.2

Surface 3D correspondante Fig. 18 : Textures fractales à faible et forte rugosité

Il est évident que, mises à part les surfaces de synthèse créées selon un modèle fractal, les images naturelles ne sont en général pas auto-similaires. On considère toutefois qu'un ensemble est statistiquement auto-similaire si les partitions évoquées plus haut sont statistiquement identiques. En général, on se contente de vérifier cette similarité statistique (moins contraignante) sur les deux premiers moments statistiques.

La dimension fractale D peut être estimée de plusieurs façons. Citons notamment : • Le box-counting [VOS86]. Cette technique consiste, pour une taille donnée L, à

compter le nombre Nbox de boîtes cubiques d'arêtes L contenant au moins un pixel de la surface 3D représentant l'image. Soit L_max la taille (horizontale et verticale) de l'image (supposée carrée). La dimension fractale est alors donnée par la relation : N L ^L

L

box

D

( )=^⎛_⎝⎜ ^max⎞_{⎠⎟ . Cette valeur N}box est calculée pour différentes valeurs de L. Ensuite, une régression linéaire dans le plan logarithmique

[ln(N_box) ,ln(L)] est conduite pour estimer D.

• Mandelbrot [MAN95], Sarkar et Chaudury [SAR92] proposent une méthode un peu différente basée sur le calcul de P(m,L), la probabilité d'avoir m pixels dans une boîte cubique de taille L.

Cette dernière méthode permet également de calculer différents moments basés sur

M^q L m P m L^q m N ( )= ( , ) =

∑

Une dimension multifractale Dq peut alors être définie par :

D q M L L q q = ×¹ ∂ ∂ ln ( ) ln ^{pour q}≠0 D q mP m L L m N 0 1 1 = × ⎛ ⎝ ⎜ ^⎞ ⎠ ⎟ =

∑

Un vecteur d'attributs texturaux peut ainsi être constitué pour différentes valeurs de q pré-définies. Une application de cette méthode à la caractérisation des textures peut être trouvée dans [FIO95]. D'autres méthodes multifractales sont développées dans [COQ95] et [LEV96]

Dans ces deux références bibliographiques, on trouvera également la description d'un autre attribut textural basé sur les fractales : la lacunarité. Cette propriété décrit la dispersion de la mesure de la dimension fractale. La lacunarité Λ[L] peut se définir

de différentes façons, notamment par l'expression :Λ( ) ^{( ) ( )} ( ) L ^{M L M L} M L = ⁻ 2 ² 2 Echelle et orientation

• Une application de la dimension fractale à l'estimation de l'orientation des textures par association avec une méthode de projection angulaire sera présentée dans le chapitre suivant (paragraphe II.1.3).

• Certains auteurs ont introduit la notion de signature fractale multi-échelle d'une texture [RIC95]. Il s'agit d'évaluer (en fonction de l'échelle) les variations d'une mesure permettant l'estimation de la dimension fractale. La notion d'échelle n'est toutefois pas la même que celle définie au début de ce chapitre. Elle représente la taille des boîtes utilisées par la méthode d'estimation choisie (comme le box-counting par exemple). Or cette taille s'exprime autant dans les dimensions habituelles de l'image (axes x et y) que dans l'axe z (niveaux de gris). Cette méthode représente en fait une alternative au spectre multi-fractal.

• La géométrie fractale est, par essence, multi-échelle. En effet, le fondement des fractales est l'autosimilarité c'est à dire la conservation des mesures après toute

opération de dilatation. Cette propriété peut permettre de modéliser des textures qui conservent une anisotropie constante à toute échelle. Elle ne peut évidemment pas être généralisée à toutes les textures directionnelles, qui elles, ne sont pas systématiquement auto-similaires.

I.2.4 Autres attributs texturaux