4.1.1 Transferts d’utilité
Le chapitre introduit des transferts de fractions de population qui impliquent des change-ments dans la distribution de revenus et des niveaux d’utilité des ménages directement concer-nés. Ces transferts sont issus des travaux de Fishburn et Willig [1984], auxquels on a ajouté des conditions d’existence aux transferts. Un transfert positif d’utilité d’ordre 1 noté T1(α, uk(y), δ) postule qu’une fraction α ∈]0, f (y, k)] de la population composée de ménages de type k, passe d’un niveau d’utilité uk(y) à un niveau d’utilité uk(y)+δ avec δ > 0.29Pour toutes distributions da, db ∈D, pour tout y ∈ Ω et pour tout k ∈ H , db est obtenue à partir de da au moyen de T1(α, uk(y), δ) si et seulement si : fb(y, k) =
fa(y, k) − α au niveau uk(y) , fa(y, k) + α au niveau uk(y) + δ , fa(y, k) partout ailleurs.
(18)
Un transfert négatif d’utilité d’ordre 1 noté −T1(α, uk(y) − δ, δ) postule qu’une fraction α ∈]0, f (y, k)] composée de ménages de type k, passe d’un niveau d’utilité uk(y) à un niveau d’utilité uk(y) − δ avec δ > 0. Pour toutes distributions da, dc ∈ D, pour tout y ∈ Ω et pour tout k ∈H , dc est obtenue à partir de da au moyen de −T1(α, uk(y) − δ, δ) si et seulement si :
fc(y, k) =
fa(y, k) + α au niveau uk(y) − δ , fa(y, k) − α au niveau uk(y) , fa(y, k) partout ailleurs.
(19)
Un transfert d’utilité d’ordre 2 positif entre différents types de ménages noté T2(α, u{k,h}(y), δ) implique deux fractions α. Une des deux est constituée de ménages de type k aux revenus y et l’autre comprend des ménages de type h dont les besoins sont inférieurs et qui sont mieux lotis.30 Précisément, ce transfert postule qu’une fraction α passe d’un niveau d’utilité uk(y) à uk(y) + δ, tandis qu’un autre α passe d’un niveau d’utilité uh(y) + 2δ à uh(y) + δ. Un transfert d’utilité d’ordre 2 se définit comme la différence entre deux transferts d’utilité d’ordre 1.
29. La condition d’existence énonce que la fraction de la population qui se déplace d’un niveau d’utilité doit être, au plus, aussi importante que la part de la population dotée de ce niveau d’utilité, pour un type de ménage donné. En effet, pour qu’un transfert soit opérationnel, il ne faut pas considérer un déplacement de plus de ménages au niveau uk(y) qu’il n’y en a dans la population.
30. Les transferts d’utilité (d’ordre supérieur à 1) entre différents types de ménages contiennent une condition sur les besoins plutôt que sur les utilités. On pourrait s’interroger sur cette restriction mais, en fait, elle n’a pour objet que d’assurer au donneur d’être au moins aussi bien loti que le receveur après transfert en vertu de (H2b).
4. Fonctions de bien-être social, besoins et principes de transfert Chapitre II
Figure II.2 – Transfert positif d’utilité d’ordre 2 entre ménages de types différents
Un transfert d’utilité d’ordre 3 positif entre ménages de types différents noté T3(α, u{k,h}(y), δ) est la somme de deux transferts d’utilité d’ordre 2 entre ménages de même type. Le transfert (i) égalise les niveaux d’utilité de deux fractions de ménages de type k, de grandeur α de la population afin que toutes deux aient un niveau d’utilité uk(y) + δ, et (ii) inégalise les niveaux d’utilité de deux fractions α de ménages de besoins h inférieurs à k, afin qu’une fraction ait un niveau d’utilité uh(y) + δ et l’autre soit dotée d’un niveau d’utilité uh(y) + 3δ.
Figure II.3 – Transfert positif d’utilité d’ordre 3 entre ménages de types différents La définition 3 ci-dessous englobe les transferts d’utilité d’ordres 2 et 3 positifs entre ménages de types différents.
Définition 3. Transfert d’utilité d’ordre s positif entre différents types de ménages. Pour toute distribution d ∈ D et pour tout y ∈ Ω, étant donnés deux types de ménages k et h ∈ H tels que k < h ; un transfert d’utilité d’ordre s entre différents types de ménages est
4. Fonctions de bien-être social, besoins et principes de transfert Chapitre II
défini comme :
Ts(α, u{k,h}(y), δ) := Ts−1(α, uk(y), δ) − Ts−1(α, uh(y) + δ, δ), s ∈ {2, 3}, (20)
tel que, pour ur(y) + tδ avec r = {k, h} et t ∈ {1, . . . , s} pair, s t α ∈]0, f (y, r)], δ > 0. La définition 4 ci-dessous englobe les transferts d’utilité d’ordre 2 et 3 positifs entre ménages de même type.
Définition 4. Transfert positif d’utilité d’ordre s entre ménages de type k. Pour toute distribution d ∈ D et pour tout y ∈ Ω, étant donné un type de ménage k ∈ H ; un transfert positif d’utilité d’ordre s entre ménages de même type est défini comme :
Ts(α, uk(y), δ) := Ts−1(α, uk(y), δ) + −Ts−1(α, uk(y) + δ, δ) , s ∈ {2, 3}, (21)
tel que, pour uk(y) + tδ avec t ∈ {1, . . . , s} pair, s t α ∈]0, f (y, k)], δ > 0.
4.1.2 Transferts proportionnels d’utilité
En ayant postulé la comparabilité des ratios d’utilité, on peut tout-à-fait comparer 100 × δ% de l’utilité d’une fraction de ménages de type k à 100 × δ% de l’utilité d’une fraction égale de ménages de type h. Un transfert proportionnel tel qu’introduit par Fleurbaey et Michel [2001] implique qu’une fraction α ∈]0, min{f (y, k), f (t, h)}] de ménages de type k passe d’un niveau d’utilité uk(y) à uk(y) + δuk(y), tandis qu’une autre fraction α de ménages de type h, mieux lotis, passe d’un niveau d’utilité uh(t) à uh(t) + δuh(t), avec δ > 0. Autrement dit, un transfert proportionnel postule qu’une fraction de ménages bénéficie d’une augmentation de 100 × δ% de son niveau d’utilité alors qu’une fraction égale de ménages mieux lotis subit une diminution de 100×δ% de son niveau d’utilité. Puisque l’augmentation et la diminution sont de même grandeur relative, mais sont rattachées à des grandeurs de référence différentes, i.e. uk(y) < uh(t), alors le transfert engendre une perte d’utilité totale.
Définition 5. Transferts proportionnels d’utilité : Soient k, h ∈ H et fb, fa associées aux distributions db, da ∈ D. La distribution db est obtenue à partir de da par un transfert proportionnel d’utilité si et seulement si : fa(x, m) = fb(x, m) ∀x ∈ Ω et ∀m ∈ H \ {k, h} ;
4. Fonctions de bien-être social, besoins et principes de transfert Chapitre II
pour tous y, z, t, r ∈ Ω et δ > 0,
fb(y, k) − fa(y, k) = fa(z, k) − fb(z, k) = fb(t, h) − fa(t, h) = fa(r, h) − fb(r, h) > 0 avec uk(z) = uk(y)[1 + δ] 6 uh(r) = uh(t)[1 − δ].
Fleurbaey et Michel [2001] introduisent aussi un transfert proportionnel qui postule qu’une fraction de ménages α passe d’un niveau d’utilité uk(y) − δuk(z) à uk(z), tandis qu’une autre fraction α de ménages de type h, mieux lotis, passe d’un niveau d’utilité uh(t) − δuh(r) à uh(r), avec δ > 0. L’évolution relative des niveaux d’utilité des ménages a pour point de référence les niveaux d’utilité post-transfert, pour cette raison ce transfert est dit ex post.
Définition 6. Transferts proportionnels d’utilité ex post : Soient k, h ∈ H et fb, fa associées aux distributions db, da ∈ D. La distribution db est obtenue à partir de da par un transfert proportionnel d’utilité ex post si et seulement si : fa(x, m) = fb(x, m), ∀x ∈ Ω et ∀m ∈H \ {k, h} ; pour tous y, z, t, r ∈ Ω et δ > 0,
fb(y, k) − fa(y, k) = fa(z, k) − fb(z, k) = fb(t, h) − fa(t, h) = fa(r, h) − fb(r, h) > 0 avec uk(z) = uk(x) + δuk(z) 6 uh(r) = uh(t) − δuh(r).
Les auteurs démontrent qu’un transfert proportionnel d’utilité ex post engendre une perte d’utilité maximale de 1 −uk(z)
uh(r), alors qu’un transfert proportionnel d’utilité implique une perte maximale de 1 −uk(y) uh(t). A δ > 0 donné, uh(t) > uh(r) et uk(z) > uk(y), on a : 1 −uk(y) uh(t) > 1 − uk(z) uh(r).
Le premier transfert (ndlr. ex post ) engendre une perte maximale inférieure au second. 4.1.3 Transferts de revenus
A quelques détails près, ce paragraphe est analogue à celui intitulé « Transferts d’utilité ». S’il le souhaite, le lecteur peut se rendre directement au paragraphe suivant (page 103). Un transfert positif de revenus d’ordre 1 noté T1(α, y, δ, k) implique qu’une fraction de ménages de type k, de grandeur α ∈]0, f (y, k)] de la population passe d’un revenu y à y + δ avec δ > 0. Pour toutes distributions da, db ∈D, pour tout y ∈ Ω et pour tout k ∈ H , db est obtenue à
4. Fonctions de bien-être social, besoins et principes de transfert Chapitre II
partir de da au moyen de T1(α, y, δ, k) si et seulement si :
fb(y, k) = fa(y, k) − α au niveau y , fa(y, k) + α au niveau y + δ , fa(y, k) partout ailleurs.
(22)
Un transfert négatif de revenus d’ordre 1 noté −T1(α, y, δ, k) implique qu’une fraction α ∈ ]0, f (y + δ, k)] composée de ménages de type k passe d’un revenu y + δ à y avec δ > 0. Pour toutes distributions da, dc∈ D, pour tout y ∈ Ω et pour tout k ∈ H , dc est obtenue à partir de da au moyen de −T1(α, y, δ, k) si et seulement si : fc(y, k) = fa(y, k) + α au niveau y , fa(y, k) − α au niveau y + δ , fa(y, k) partout ailleurs.
(23)
Un transfert positif de revenus d’ordre 2 entre ménages de types différents est noté T2(α, y, δ, k, q). Il postule qu’une fraction α composée de ménages de type k passe d’un revenu y à y + δ tandis qu’une autre fraction α de ménages de type h, aux besoins inférieurs à k, passe d’un revenu y + 2δ à y + δ, avec δ > 0. Le transfert égalise les niveaux de revenus de deux fractions égales de ménages de types différents.
Figure II.4 – Transfert positif de revenus d’ordre 2 entre ménages de types différents
Un transfert positif de revenus d’ordre 3 entre ménages de types différents est noté T3(α, y, δ, k, h). Il se compose d’un transfert positif d’ordre 2 entre ménages d’un type donné et d’un transfert négatif d’ordre 2 entre ménages d’un type dont les besoins sont inférieurs et les revenus sont supérieurs. Le transfert postule (i) qu’une fraction α de ménages de type k passe de y à y + δ,
4. Fonctions de bien-être social, besoins et principes de transfert Chapitre II
tandis qu’une autre fraction α de ménages de même type passe de y + 2δ à y + δ ; et (ii) qu’une fraction α de ménages de type h, dont les besoins sont inférieurs à k, passe de y + 2δ à y + δ, tandis que l’autre α passe de y + 2δ à y + 3δ.
Figure II.5 – Transfert positif de revenus d’ordre 3 entre ménages de types différents La définition 7 ci-dessous englobe les transferts de revenus d’ordres 2 et 3 positifs entre ménages de types différents.
Définition 7. Transfert positif de revenus d’ordre s positif entre ménages de types différents. Pour toute distribution d ∈D et pour tout y ∈ Ω, étant donnés deux types k, h ∈ H de ménages, tels que k < h ; un transfert positif de revenus d’ordre s entre ménages de types différents est défini comme :
Ts(α, y, δ, k, h) := Ts−1(α, y, δ, k) + −Ts−1(α, y + δ, δ, h) , s ∈ {2, 3}, (24)
tel que, pour t ∈ {1, . . . , s + 1} pair, s t α ∈]0, f (y + tδ, r)], pour r = {k, h}, δ > 0. La définition 8 ci-dessous englobe les transferts de revenus d’ordres 2 et 3 positifs entre ménages de même type.31
Définition 8. Transfert de revenus d’ordre s positif entre ménages de type k. Pour toute distribution d ∈ D et pour tout y ∈ Ω, étant donné un type de ménage k ∈ H ; un transfert d’utilité d’ordre s positif entre ménages de même type est défini comme :
Ts(α, y, δ, k) := Ts−1(α, y, δ, k) + −Ts−1(α, y + δ, δ, k) , s ∈ {2, 3}, (25)
31. Fishburn et Willig [1984] présentent une définition très proche où figurent des transferts d’ordre s ∈ N avec s> 2.
4. Fonctions de bien-être social, besoins et principes de transfert Chapitre II
tel que, pour t ∈ {1, . . . , s} pair, s