Il faut postuler la comparabilité d’utilité (ou d’utilité transformée) entre différents types de ménages pour qu’un ensemble non-vide de FBES éligibles soit à la disposition des délibérateurs. Pour ne pas alourdir la notation, la comparabilité entre différents types de ménages est simple-ment notée « comparabilité » dans ce chapitre. Deux profils d’utilité ont des élésimple-ments dont les niveaux (différences ou autre) sont comparables si et seulement si l’information véhiculée par ces profils est la même lorsqu’on compare les niveaux (resp. différences ou autre) des éléments d’un profil ou de l’autre. Formellement, U, V ∈ UH ont des éléments dont les niveaux sont comparables si et seulement si ∀x, y ∈ Ω, ∀k, h ∈H , on a :
uk(x) > uh(y) ⇐⇒ vk(x) > vh(y).15
13. Cette restriction est très discutée par Blackorby et Donaldson [1982] dans la mesure où la nullité de l’utilité permet d’établir un point de référence à partir duquel les ratios d’utilité sont comparables. Adler [2012] nomme ce point le « point zéro ». Il semble tout-de-même possible de poser deux hypothèses : (i) un délibérateur peut concevoir un point zéro tel que ue(0) = 0, avec e le type de ménage lorsque celui-ci est inexistant, e /∈ H , mais (ii) tous les ménages de la population étudiée retirent des utilités strictement positives de n’importe quelle distribution d ∈D.
14. Précisément, g(1)(uh(y)) := ∂g(uh(y)) ∂uh(y) .
3. Les cadres informationnels Chapitre II
Les deux profils forment un sous-ensemble informationnellement équivalent de UH selon la comparabilité des niveaux d’utilité. A un degré donné, un sous-ensemble est informationnelle-ment équivalent si et seuleinformationnelle-ment s’il regroupe des profils dont tous les éléinformationnelle-ments sont comparables selon le degré en question. On postule la comparabilité d’utilité à un degré donné si l’on parti-tionne l’ensemble des profils UH en sous-ensembles informationnellement équivalents selon le degré en question. Le partitionnement en sous-ensembles informationnellement équivalents est aussi appelé le cadre informationnel.
La définition implicite des ensembles d’information qui formalise le postulat de comparabilité des niveaux d’utilité s’écrit comme suit :
(CN ) : ∀U, V ∈UH
: V ∈S (U, CN) ⇐⇒
[∀x, y ∈ Ω, ∀k, h ∈H : uk(x) > uh(y) ⇐⇒ vk(x) > vh(y)].
Un ensemble S (U, CN) contient tous les profils d’utilité dont les niveaux des éléments sont comparables au profil U . Le postulat de comparabilité des niveaux d’utilité se traduit explicite-ment par un partitionneexplicite-ment deUH en sous-ensembles regroupant des profils dont les éléments sont définis à une même transformation strictement croissante près. Pour tout U ∈UH :
S (U, CN) =
V ∈UH | ∀y ∈ Ω, ∀h ∈H ,
vh(y) = φ (uh(y)) avec φ(1)(τ ) > 0, τ ∈ R .
Bossert [1991] fait remarquer que les partitionnements implicite et explicite de UH en en sous-ensembles informationnellement équivelents selon la comparabilité des niveaux d’utilité sont identiques. On peut donc représenter la définition du postulat de comparabilité des niveaux d’utilité de manière explicite, i.e. par des sous-ensembles de profils dont les éléments sont définis à une transformation près. Ce cas de figure n’est pas toujours possible selon le degré de comparabilité que l’on postule.
La définition implicite des ensembles d’information qui formalise le postulat de comparabilité des différences faibles d’utilité s’écrit comme suit :
(CDf) : ∀U, V ∈UH : V ∈S (U, CDf) ⇐⇒ ∀x, y, z, t ∈ Ω, ∀k, h ∈H : uk(x) − uk(y) > uh(z) − uh(t) ⇐⇒ vk(x) − vk(y) > vh(z) − vh(t) .
Une différence faible d’utilité est une différence entre deux niveaux d’utilité de ménages de même type (ou du même ménage). Un ensemble S (U, CDf) contient tous les profils dont les
3. Les cadres informationnels Chapitre II
différences faibles d’utilité sont comparables au profil U . Selon Bossert [1991], cet ensemble ne peut être déterminé explicitement. Cependant, il existe un partitionnement explicite de UH
suffisant pour postuler la comparabilité des différences faibles d’utilité. Il partitionne UH en sous-ensembles S (·, CDf) définis comme suit. Pour tout U ∈ UH :
S (U, CDf) ⊇Sexp(U, CDf) :=
V ∈UH | ∀y ∈ Ω, ∀h ∈ H ,
vh(y) = auh(y) + bh avec a ∈ R++ et bh ∈ R .
Bossert [1991] énonce qu’en règle générale, les sous-ensembles Sexp(·, CDf) sont au moins aussi restreints que S (·, CDf). De plus, il démontre que les sous-ensembles Sexp(·, CDf) sont strictement plus restreints que S (·, CDf) si l’on considère que D contient au moins deux distributions. Le partitionnement de UH en Sexp(·, CDf) est plus fin que le partitionnement deUH en S (·, CDf). Les sous-ensembles
Sexp(·, CDf) regroupent les profils selon l’information des différences faibles d’utilité mais aussi selon un autre critère. En effet, il existe des profils de UH dont les différences faibles d’utilité sont comparables avec le profil U ∈UH mais qui sont exclus du sous-ensemble Sexp(U, CDf) .16Bossert [1991] considère que ce partitionnement est arbitraire pour cette raison. Cependant, ce cadre informationnel a deux avantages : il est suffisant pour postuler la comparabilité des différences faibles d’utilité et il est explicite.
La définition implicite des ensembles d’information qui formalise le postulat de comparabilité des niveaux et des différences d’utilité s’écrit comme suit :
(CN D) : ∀U, V ∈UH : V ∈S (U, CND) ⇐⇒ ∀x, y, z, t ∈ Ω, ∀k, h, i, j ∈H : uk(x) − uh(y) > ui(z) − uj(t) ⇐⇒ vk(x) − vh(y) > vi(z) − vj(t) .
Pour tout U ∈UH, un ensemble S (U, CND) est un sous-ensemble de S (U, CN). Il contient tous les profils d’utilité dont les niveaux et les différences des éléments sont comparables à U . D’après Bossert [1991], on ne peut pas représenter la définition du postulat de comparabilité des niveaux et des différences d’utilité de manière explicite. Cependant, il existe un partitionnement explicite de UH suffisant pour postuler ce degré comparabilité. Il partitionne UH en
sous-16. Mathématiquement, Roberts [1979] et Basu [1983] ont démontré que la définition de fonctions à une trans-formation affine croissante près n’est pas, en général, équivalente au postulat de comparabilité en différences.
3. Les cadres informationnels Chapitre II
ensembles Sexp(·, CN D) définis comme suit. Pour tout U ∈UH :
S (U, CND) ⊇ Sexp(U, CN D) :=
V ∈UH | ∀y ∈ Ω, ∀h ∈H ,
vh(y) = auh(y) + b avec a ∈ R++ et b ∈ R .
Bossert [1991] énonce qu’en règle générale, les sous-ensembles Sexp(·, CN D) sont au moins aussi restreints que S (·, CND). De plus, il démontre que Sexp(·, CN D) sont strictement plus restreints que S (·, CND) si l’on considère qu’il y a au moins trois types de ménages différents dansH ou si D contient au moins deux distributions. Pour tout U ∈ UH, le partitionnement de H en Sexp(U, CN D) est suffisant pour postuler la comparabilité des niveaux et des différences d’utilité, et il est explicite.
La définition implicite des ensembles d’information qui formalise le postulat de comparabilité des niveaux, des différences et des ratios d’utilité s’écrit comme suit :
(CN DR) : ∀U, V ∈UH : V ∈S (U, CNDR) ⇐⇒ ∀x, y, z, t ∈ Ω, ∀k, h, i, j ∈H : uk(x) − uh(y) > ui(z) − uj(t) ⇐⇒ vk(x) − vh(y) > vi(z) − vj(t) uk(x) uh(y) > ui(z) uj(t) ⇐⇒ vk(x) vh(y) > vi(z) vj(t) .
Un ensembleS (U, CNDR) contient tous les profils dont les niveaux, les différences et les ratios d’utilité sont comparables au profil U . Cet ensemble ne peut pas être déterminé explicitement. Cependant, il existe un partitionnement explicite deUH (en sous-ensemblesSexp(U, CN DR)) suffisant pour postuler ce degré comparabilité.17 Pour tout U ∈UH :
S (U, CNDR) ⊇ Sexp(U, CN DR) :=
V ∈UH | ∀y ∈ Ω, ∀h ∈H , vh(y) = auh(y) avec a ∈ R++
.
17. En règle générale, S (U, CNDR) ⊇ Sexp(U, CN DR). Cependant, si au moins deux ménages de types différents ont des niveaux de revenus différents, alors S (U, CNDR) ⊃ Sexp(U, CN DR). En effet, supposons deux ménages tels que :
w1(x) = 5; w2(x) = 1; w1(y) = 1; w2(y) = 1;
v1(x) = 6; v2(x) = 1; v1(y) = 1; v2(y) = 1; (1)
Nous avons W, V ∈S (U, CNDR) mais si W ∈ Sexp(U, CN DR), alors V /∈ Sexp(U, CN DR) car : v1(x) = 1, 2w1(x) et v1(y) = 1w1(y).
3. Les cadres informationnels Chapitre II
Les relations d’inclusions suivantes peuvent donc être émises. Pour tout U ∈UH : Sexp (U, CN DR) ⊇Sexp (U, CN D) ⊇Sexp (U, CN ) et Sexp (U, CN DR) ⊇Sexp (U, CN D) ⊇Sexp (U, CDf).
Cependant, les partitionnements deUH enSexp(·, CN ) et celui enSexp(·, CDf) sont différents car pour tout U ∈UH : Sexp(U, CN ) 6⊂Sexp(U, CDf) et
Sexp(U, CN ) 6⊃Sexp(U, CDf).