Les FBES (H1) font la somme des utilités transformées des ménages. La comparabilité de l’utilité transformée est nécessaire pour faire émerger ce type de FBES.
La définition implicite des ensembles d’information qui formalise le postulat de comparabilité des niveaux d’utilité transformée s’écrit comme suit :
(G[CN ]) : ∀U, V ∈UH : V ∈S (U, G[CN]) ⇐⇒ ∀x, y ∈ Ω, ∀k, h ∈H : g (uk(x)) > g (uh(y)) ⇐⇒ g (vk(x)) > g (vh(y)) .
Un ensemble S (U, G[CN]) contient tous les profils d’utilité dont les niveaux des éléments transformés par la fonction g sont comparables à U . Puisque g est strictement croissante par définition, on a :
g (uk(x)) > g (uh(y)) ⇐⇒ uk(x) > uh(y). (2) De plus,
g (vk(x)) > g (vh(y)) ⇐⇒ vk(x) > vh(y). (3) Etant données les équivalences (2) et (3), les partitionnements de UH en S (·, G[CN]) et celui en S (·, CN) sont identiques. Les postulats de comparabilité des niveaux d’utilité et de comparabilité des niveaux d’utilité transformée sont équivalents.
3. Les cadres informationnels Chapitre II
La définition implicite des ensembles d’information qui formalise le postulat de comparabilité des différences faibles d’utilité transformée s’écrit comme suit :
(G[CDf]) : ∀U, V ∈UH : V ∈S (U, G[CDf]) ⇐⇒ ∀x, y, z, t ∈ Ω, ∀k, h ∈H :
g(uk(x)) − g(uk(y)) > g(uh(z)) − g(uh(t)) ⇐⇒ g(vk(x)) − g(vk(y)) > g(vh(z)) − g(vh(t)) .
Une différence faible d’utilité transformée est une différence entre deux niveaux d’utilité trans-formée de ménages de même type (ou du même ménage). Un ensemble S (U, G[CDf]) contient tous les profils d’utilité dont les différences faibles des éléments transformés par g sont com-parables au profil U . En outre, on ne peut déterminer explicitement qu’un sous-ensemble de S (U, G[CDf]), pour tout U ∈UH :
Sexp(U, G[CDf]) :=
V ∈UH | ∀y ∈ Ω, ∀h ∈H ,
vh(y) = g−1(ag (uh(y)) + bh) avec a ∈ R++ et bh ∈ R .
Proposition 1. Les inclusions suivantes sont vraies pour tout U ∈UH : (i) S (U, G[CDf]) ⊇Sexp(U, G[CDf]) ;
(ii) S (U, G[CDf]) ⊃Sexp(U, G[CDf]) si |D| > 2.
Démonstration. (i) Démontrons que, pour tout U ∈UH,
S (U, G[CDf]) ⊇Sexp(U, G[CDf]).
Pour cela, il suffit de montrer que, pour tout U ∈UH, les profils dans
Sexp(U, G[CDf]) sont tels que leurs éléments sont comparables en différences faibles au profil U lorsqu’ils sont transformés par g. Pour tout x ∈ Ω et pour tout h ∈ H , posons : vh(x) = g−1(ag (uh(y)) + bh) avec a ∈ R++ et bh ∈ R, nous avons :
g(vh(y)) = g g−1(ag (uh(y)) + bh) = ag (uh(y)) + bh.
Pour tous x, y, z, t ∈ Ω et pour tous k, h ∈H , on a :
g (vk(x)) − g (vk(y)) > g (vh(z)) − g (vh(t))
⇐⇒ ag (uk(x)) + bk− ag (uk(y)) − bk > ag (uh(z)) + bh− ag (uh(t)) − bh
3. Les cadres informationnels Chapitre II
Ce qui prouve que S (U, G[CDf]) ⊇Sexp(U, G[CDf]).
(ii) Démontrons que, pour tout U ∈UH,S (U, G[CDf]) ⊃Sexp(U, G[CDf]) siD comporte au moins deux distributions. Posons Ω = {x, y},H = {k, h}. De plus, g (uk(x)) = 5, g (uk(y)) = 1, g (uh(x)) = 1, g (uh(y)) = 1, g (vk(x)) = 6, g (vk(y)) = 1, g (vh(x)) = 1, g (vh(y)) = 1, tels que V ∈S (U, G[CDf]). En posant a = 1 et bk = 0, nous avons :
g (vk(y)) = ag (uk(y)) + bk = 1,
Cependant, le profil V n’est pas dans l’ensemble Sexp(U, G[CDf]) car :
g (vk(x)) = ag (uk(x)) + bk 6= 1g (uk(x)) + 0.
Ce qui prouve que S (U, G[CDf]) ⊃Sexp(U, G[CDf]).
Le partitionnement de UH en Sexp(·, G[CDf]) n’est qu’une condition suffisante au postulat de comparabilité des différences faibles d’utilité transformée.
La définition implicite des ensembles d’information qui formalise le postulat de comparabilité des niveaux et des différences d’utilité transformée s’écrit comme suit :
(G[CN D]) : ∀U, V ∈UH : V ∈S (U, G[CND]) ⇐⇒ ∀x, y, z, t ∈ Ω, ∀k, h, i, j ∈H : g (uk(x)) − g (uh(y)) > g (ui(z)) − g (uj(t)) ⇐⇒ g (vk(x)) − g (vh(y)) > g (vi(z)) − g (vj(t)) .
Un ensembleS (U, G[CND]) contient tous les profils d’utilité dont les niveaux et les différences des éléments transformés par g sont comparables à U . Comme pour la comparabilité des ni-veaux et des différences d’utilité, un ensemble S (·, G[CND]) est indéterminé explicitement. Cependant, il existe un partitionnement explicite de UH suffisant pour postuler la compara-bilité des niveaux et des différences d’utilité transformée. Il partitionne UH en sous-ensembles Sexp(U, G[CN D]) pour tout U ∈UH tels que :
Sexp (U, G[CN D]) := V ∈UH | ∀y ∈ Ω, ∀h ∈ H ,
vh(y) = g−1(ag (uh(y)) + b) avec a ∈ R++ et b ∈ R .
Proposition 2. Les inclusions suivantes sont vraies pour tout U ∈UH : (i) S (U, G[CND]) ⊇ Sexp(U, G[CN D]) ;
3. Les cadres informationnels Chapitre II
(ii) S (U, G[CND]) ⊃ Sexp(U, G[CN D]) si |H | > 3 ; (iii) S (U, G[CND]) ⊃ Sexp(U, G[CN D]) si |D| > 2. Démonstration. (i) Démontrons que, pour tout U ∈UH,
S (U, G[CND]) ⊇ Sexp
(U, G[CN D]).
Pour cela, il suffit de montrer que les profils dansSexp(U, G[CN D]) sont tels que les niveaux et les différences de leurs éléments transformés par g sont comparables à U , pour tout U ∈ UH. Pour tout x ∈ Ω et pour tout h ∈ H , posons : vh(x) = g−1(ag (uh(y)) + b) avec a ∈ R++ et b ∈ R, nous avons :
g(vh(y)) = g g−1(ag (uh(y)) + b) = ag (uh(y)) + b.
Pour tous x, y, z, t ∈ Ω et pour tous k, h, i, j ∈H , on a :
g (vk(x)) > g (vh(y)) ⇐⇒ ag (uk(x)) + b > ag (uh(y)) + b ⇐⇒ g (uk(x)) > g (uh(y)) . (5)
De plus,
g (vk(x)) − g (vh(y)) > g (vi(z)) − g (vj(t))
⇐⇒ ag (uk(x)) + b − ag (uh(y)) − b > ag (ui(z)) + b − ag (uj(t)) − b
⇐⇒ g (uk(x)) − g (uh(y)) > g (ui(z)) − g (uj(t)) . (6)
Ce qui prouve que S (U, G[CND]) ⊇ Sexp(U, G[CN D]).
(ii) Démontrons que, pour tout U ∈UH,S (U, G[CND]) ⊃ Sexp(U, G[CN D]) si H comporte au moins trois types différents. Posons Ω = {y}, H = {k, h, i}. De plus, g (uk(y)) = 5, g (uh(y)) = 1, g (ui(y)) = 1, g (vk(y)) = 6, g (vh(y)) = 1, g (vi(y)) = 1. On a U = (uk, uh, ui) et V = (vk, vh, vi) tels que V ∈S (U, G[CND]). En posant a = 1 et b = 0, nous avons :
g (vh(y)) = ag (uh(y)) + b = 1,
Cependant, le profil V n’est pas dans l’ensemble Sexp(U, G[CN D]) car :
g (vk(y)) = ag (uk(y)) + b 6= 1g (uk(y)) + 0.
3. Les cadres informationnels Chapitre II
(iii) Démontrons que, pour tout U ∈ UH, S (U, G[CND]) ⊃ Sexp(U, G[CN D]) si D com-porte au moins deux distributions. Posons Ω = {x, y}, H = {k, h}. De plus, g (uk(x)) = 5, g (uk(y)) = 1, g (uh(x)) = 1, g (uh(y)) = 1, g (vk(x)) = 6, g (vk(y)) = 1, g (vh(x)) = 1, g (vh(y)) = 1, tels que V ∈S (U, G[CND]). En posant a = 1 et b = 0, nous avons :
g (vk(y)) = ag (uk(y)) + b = 1,
Cependant, le profil V n’est pas dans l’ensemble Sexp(U, G[CN D]) car :
g (vk(x)) = ag (uk(x)) + b 6= 1g (uk(x)) + 0.
Ce qui prouve que S (U, G[CND]) ⊃ Sexp(U, G[CN D]).
Le partitionnement de UH en Sexp(·, G[CN D]) n’est donc qu’une condition suffisante au postulat de comparabilité des niveaux et des différences d’utilité transformée. De plus, le parti-tionnement de UH enSexp(·, G[CN D]) est plus fin que celui enSexp(·, G[CDf]). Cependant, ce cadre informationnel n’est pas suffisant pour postuler la comparabilité des niveaux et des différences d’utilité. Puisque le partitionnement de UH en Sexp(·, CN D) n’est pas non plus suffisant pour postuler la comparabilité des niveaux et des différences d’utilité transformée, les deux cadres informationnels sont différents.
Proposition 3. Les deux résultats suivants sont vrais pour tout U ∈UH : (i) Sexp(U, G[CN D]) 6⊂S (U, CND) ;
(ii) Sexp(U, CN D) 6⊂S (U, G[CND]).
Démonstration. (i) Pour tout U ∈UH,Sexp(U, G[CN D]) 6⊂S (U, CND). Soit V ∈ Sexp(·, G[CN D]). Ainsi, pour tout y ∈ Ω et pour tout h ∈H , on a :
vh(y) = g−1(ag(uh(y)) + b) avec a ∈ R++ et b ∈ R.
Posons g(τ ) = ln(τ ), g−1(τ ) = eτ avec τ ∈ R++; a = 2 ; b = 1 ; x, y, z, t ∈ Ω et k, h, i ∈H tels que :
uk(x) = 1, 1; uh(y) = 1, 3; uh(z) = 10; ui(t) = 10, 1. Nous avons :
uk(x) − uh(y) < uh(z) − ui(t); alors que vk(x) − vh(y) > vh(z) − vi(t).
3. Les cadres informationnels Chapitre II
(ii) Pour tout U ∈ UH, Sexp(U, CN D) 6⊂ S (U, G[CND]). Soit V ∈ Sexp(U, CN D). Ainsi, pour tout y ∈ Ω et pour tout h ∈H , on a :
vh(y) = auh(y) + b avec a ∈ R++ et b ∈ R.
Posons g(τ ) = ln(τ ) avec τ ∈ R++; a = 3 ; b = 1 ; x, y, t ∈ Ω et k, h, i ∈H tels que :
uk(x) = 3; uh(y) = 4; ui(t) = 5, 1.
Nous avons :
g(uk(x)) − g(uh(y)) > g(uh(y)) − g(ui(t)); alors que
g(vk(x)) − g(vh(y)) < g(vh(y)) − g(vi(t)). Le profil V n’appartient pas au sous-ensemble S (U, G[CND]).
Blackorby, Bossert et Donaldson [2002, p. 567] énoncent que le partitionnement de UH en Sexp(·, G[CDf]) est difficile à justifier à moins que g soit affine. Je ne partage pas leur point de vue parce que les cadres informationnels qui partitionnent UH en Sexp(·, G[CDf]) et en Sexp(·, CDf) sont simplement différents. En effet, le premier cadre n’est pas suffisant pour postuler la comparabilité des différences faibles d’utilité et le second cadre n’est pas suffisant pour postuler la comparabilité des différences faibles d’utilité transformée.
Proposition 4. Les deux résultats suivants sont vrais pour tout U ∈UH : (i) Sexp(U, G[CDf]) 6⊂S (U, CDf) ;
(ii) Sexp(U, CDf) 6⊂S (U, G[CDf]).
Démonstration. En posant bh = bk = 1, (i) et (ii) sont vérifiés par la démonstration de la Proposition 3.
Il semblerait que Blackorby, Bossert et Donaldson [2002] justifient le partitionnement deUH
enSexp(·, G[CDf]) en imposant que la fonction g soit affine. Si les partitionnements deUH en Sexp(U, G[CDf]) et en Sexp(U, CDf) sont identiques pour tout U ∈UH, alors les arguments défendant le second cadre justifient aussi le premier. Or les deux cadres informationnels sont identiques si et seulement si la fonction g est linéaire (donc affine).18
18. Blackorby, Bossert et Donaldson [2002] énoncent que si la fonction g est affine, alors le partitionnement deUH enSexp(·, G[CDf]) est défendable. En fait, la fonction g est affine si et seulement si le partitionnement de UH enSexp(·, G[CDf]) est justifiable avec des arguments défendant la mesurabilité et comparabilité des niveaux et des différences d’utilité, un postulat que nous n’avons pas présenté dans ce chapitre.
3. Les cadres informationnels Chapitre II
Proposition 5. Les deux assertions suivantes sont équivalentes : (i) Sexp(U, G[CDf]) =Sexp(U, CDf) ∀U ∈UH;
(ii) g :U → R est une fonction linéaire strictement croissante. Démonstration. [(i) =⇒ (ii)]
Soient U, V ∈UH. Le profil V appartient à Sexp(U, G[CDf]) tel que
Sexp(U, G[CDf]) =Sexp(U, CDf) ∀U ∈UH si et seulement si ∀h ∈H et ∀x ∈ Ω :
vh(x) = g−1(ag(uh(x)) + bh)
= Auh(x) + Bh avec a, A ∈ R++, bh, Bh ∈ R. (7)
En posant g(uh(x)) =: X, nous avons uh(x) = g−1(X). L’équation (7) devient :
g−1(aX + bh) = Ag−1(X) + Bh,
g−1 est donc linéaire et sa réciproque, g, l’est aussi. [(ii) =⇒ (i)]
Supposons que la fonction de transformation de l’utilité soit linéaire, nous avons g(τ ) = γτ avec γ ∈ R++ car, par définition, la fonction g est strictement croissante. Cela implique que g−1(τ ) = τγ. Pour tout U ∈UH, l’ensemble Sexp(U, G[CDf]) est alors défini comme suit :
Sexp(U, G[CDf]) = V ∈UH | ∀y ∈ Ω, ∀h ∈H , vh(y) = auh(y) +bh γ avec a ∈ R++ et bh γ ∈ R .
On obtient donc Sexp(U, G[CDf]) = Sexp(U, CDf) ∀U ∈UH.
La justification du partitionnement de UH enSexp(·, G[CDf]) se fait à un prix : les FBES (H1) doivent être neutres vis-à-vis des inégalités, car la fonction de transformation de l’utilité ne peut être ni strictement convexe ni strictement concave.