CHAPITRE 5 : Transferts de chaleur et de masse
2. Transferts de chaleur et de masse dans les milieux poreux
Il n’existe pas une unique façon de décrire les transferts de chaleur et de masse au sein d’un matériau poreux. L’équation mathématique de conservation va dépendre des potentiels moteurs choisis et des hypothèses de simplification.
Le paragraphe suivant propose une rapide description des transferts de chaleur et de masse dans les milieux poreux et se focalise sur les équations proposées par le modèle Delphin 5 que nous utilisons dans cette étude.
La plupart des auteurs en Physique du Bâtiment s’appuient sur les équations de conservation de masse et d’énergie dont les principes thermodynamiques en milieu poreux ont été définis par (Luikov 1975; De Vries 1958). Ces modèles macroscopiques, qui permettent de relier les forces thermodynamiques à des coefficients de transport, ont servi de référence pour des modèles développés plus tard (Grunewald 1997; H. M. Künzel and Kiessl 1996; Mendes, Philippi, and Lamberts 2002; Pedersen 1990). En effet, de nombreux travaux s’appuient sur une description des lois de transfert à l’échelle microscopique pour les transposer à l’échelle macroscopique.
Même si, comme vu Chapitre 3, la majorité des propriétés hygrothermiques dépend de la porosité (tortuosité, distribution de taille de pores), cette approximation est justifiée car la détermination des propriétés d’un matériau repose sur la mesure de grandeurs macroscopiques résultant de la combinaison de phénomènes à l’échelle microscopique.
Les transferts HAM sont régis par des lois de conservation écrites sous la forme d’équations aux dérivées partielles. Dans ce formalisme, on utilise l’approximation des milieux continus : les propriétés sont moyennées sur des Volumes Élémentaires Représentatifs (VER) représentant le
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milieu poreux à l’échelle macroscopique. Cette approche présente donc l’avantage de ne pas nécessiter une description exacte de la configuration des pores (distribution de tailles de pores, tortuosité), difficile à obtenir de façon précise.
Figure 60: Section d'un Volume Elémentaire Représentatif (VER) contenant les trois phases
La forme générale d’une équation de conservation s’écrit de la façon suivante :
𝜕𝑆𝑡𝑜𝑐𝑘𝑎𝑔𝑒
𝜕𝑡 = ∇. qA + s (29)
avec qA la densité de flux relative à la quantité A et s un terme source.
En se plaçant à l’échelle du VER, l’équation traduit la variation temporelle d’une quantité A, lorsqu’un flux qA entre dans le volume, plus un terme source s, le flux étant généré par une différence de densité entre deux VER.
L’ensemble des transferts de masse et de chaleur et leur potentiel moteur sont résumés dans le tableau suivant. Selon les modèles, certains phénomènes sont négligés ou pris en compte de façon simplifiée. Les paragraphes suivants présentent plus en détail les mécanismes de transfert les plus communs, en particulier ceux utilisés dans le logiciel Delphin 5.
TRANSFERT MECANISME FORCE MOTRICE
Flux enthalpique Diffusion de vapeur avec changement d’état et transport liquide avec changement de température Transfert d’eau sous forme
vapeur
Diffusion de gaz Pression de vapeur Transport moléculaire Pression de vapeur Diffusion en solution Pression de vapeur
Convection/advection Gradient de pression totale
Tableau 16 : Mécanismes de transport de chaleur et d’humidité et leur potentiel moteur d’après (H. Künzel 1995)
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2.1. Mécanismes de transfert d’humidité et de stockage dans les matériaux poreux
2.1.1. Transfert de vapeur d’eau et d’eau liquide
Au sein d’un matériau poreux, à l’échelle microscopique, l’humidité peut être transportée sous forme de vapeur par diffusion et sous forme liquide par capillarité.
La diffusion de vapeur d’eau est décrite par la loi de Fick, selon la perméabilité à la vapeur du matériau Dv.
𝑔𝑑𝑖𝑓𝑓 = −𝐷𝑣 (𝜙)𝛻𝑝𝑣(𝑇, 𝜙) (30)
Avec Dv(ϕ) =Dµ(ϕ)v,air , μ le facteur de résistance à la vapeur d’eau (-), Dv,air la perméabilité à la vapeur de l’air (kg.m-1.s-1.Pa-1), étant habituellement définie selon l’équation de (Schirmer 1938)
Cette relation exprime la densité de flux diffusif de vapeur gdiff (kg/s) en fonction du gradient de pression partielle de vapeur d’eau Δpv (Pa) (lui-même fonction de la température T (K) et l’humidité relative Ф (-)). La diffusion de vapeur dans le matériau est influencée par la structure poreuse du matériau et la quantité d’eau présente. La dépendance entre le coefficient de résistance à la diffusion de vapeur et la teneur en eau s’explique par la réduction de l’espace disponible au fur et à mesure du remplissage des pores.
Les différents domaines hygriques caractéristiques des milieux poreux ont déjà été présentés Chapitre 3. Dans le domaine hygroscopique, le transfert d’humidité est en fait une combinaison de diffusion de vapeur dans les pores, de transfert d’eau liquide par diffusion de surface, qui selon (Krus 1996) apparait bien avant que la condensation capillaire ne se produise, et d’un transfert par capillarité dans les plus petits pores remplis d’eau.
Néanmoins le phénomène de diffusion de vapeur reste prépondérant. Le transfert global est décrit par un phénomène de diffusion régi par la loi de Fick. La perméabilité à la vapeur tend vers zéro à partir de ϕ = 0.95 à 0.98, selon les modèles, lorsque la majorité des pores est remplie d’eau.
Dans le domaine de condensation capillaire (0.95 à 0.98 ≤ ϕ ≤ 1), l’humidité est transportée majoritairement par capillarité. La capacité d’un matériau poreux à absorber l’eau liquide dépend donc notamment de la taille de ses pores.
A l’échelle microscopique, l’eau due à la condensation capillaire dans les pores se déplace sous l’effet d’un gradient de pression de liquide capillaire. Le débit massique ql (kg.s-1) d’un
avec η la viscosité dynamique (N.s.m-2) et Pl la pression liquide capillaire (Pa)
Si l’on se place à l’échelle du pore, l’équilibre entre les phases liquide et vapeur est décrit par la loi de Kelvin. Cette loi relie la pression de succion Psuc (Pa) à la température T (K) et l’humidité relative Ф (-) en faisant l’hypothèse d’un réseau de pores cylindriques :
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A l’échelle macroscopique, le flux d’eau liquide peut être exprimé par la loi de Darcy. Le terme de gravité est fréquemment négligé au vu de la taille de pores de la majorité des matériaux du génie civil et la pression de succion est considérée comme le seul potentiel moteur, selon une approche conductive en fonction de Kl la conductivité liquide du matériau en (s).
Selon les modèles, le flux d’eau liquide est également exprimé en prenant la teneur en eau ou l’humidité comme potentiel moteur, selon une approche diffusive en fonction de la diffusivité hygrique du matériau en (m²/s).
Parmi les modèles HAM les plus connus, différents potentiels moteurs sont utilisés : nous pourrons citer la teneur en eau pour le modèle de (H. M. Künzel and Kiessl 1996), la pression capillaire pour (Janssen, Blocken, and Carmeliet 2007) et l’humidité relative pour (Tariku, Kumaran, and Fazio 2010).
Chaque potentiel moteur présente des limites. Dans le cas des parois multicouches, la variation de la teneur en humidité utilisée dans le modèle de (De Vries and Philip 1957) présente l’inconvénient de générer une discontinuité entre les différents matériaux qui composent la paroi. Le gradient d’humidité relative ne présente pas cet inconvénient, mais sa définition à travers l’isotherme de sorption présente des limites, car la représentation du domaine super-hygroscopique est alors très limitée (Nicolai 2007).
Dans le logiciel Delphin, le gradient de pression capillaire est donc préféré. Le choix de ce potentiel permet au modèle de converger plus rapidement (Janssen 2014) et de travailler avec la courbe de stockage d’humidité θl = θl (pc). La définition de cette courbe et son dimensionnement à partir des données expérimentales sont décrits par (A. G. Scheffler, Grunewald, and Häupl n.d.).
Pour modéliser le transfert d’eau liquide dans des matériaux, les deux approches fréquemment utilisées dans les modèles sont donc l’approche diffusive (33) et l’approche conductive (34).
Chacune de ces approches ayant ses limites, le logiciel Delphin propose les deux.
𝑗𝑘𝑚𝑙= −𝐷𝑙 .𝜕𝑚𝑤+𝑣
Afin de s’affranchir de la dépendance du maillage, les coefficients de transport sont transformés en potentiel de Kirchhoff ψ (Arfvidsson 1999).
𝑗𝑘𝑚𝑙 = −𝜕𝜓𝑙
𝜕𝑥 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜓𝑙= 𝜓𝑙(𝜃𝑙) (35) Concernant les autres mécanismes de transfert de masse sous forme liquide présentés Tableau 16, les phénomènes liés au drainage, flux hydraulique, électrocinétique et osmose sont tous négligés, car ce sont des phénomènes rares ou analysés dans des cas particuliers dans le domaine du bâtiment.
114 2.1.2. Stockage d’humidité
Les matériaux poreux comme ceux du bâti ancien ou les isolants bio-sourcés ont la capacité de stocker de l’humidité dans des quantités non négligeables. La teneur en humidité du matériau permet d’évaluer la capacité du matériau à stocker de l’eau en son sein. Cette fonction de stockage peut s’exprimer de différentes façons selon les modèles, soit en fonction de la pression capillaire pc, soit en fonction de l’humidité relative φ. Dans le deuxième cas, la fonction de stockage se rapporte à une isotherme de sorption (Figure 61).
Figure 61 : Fonction de stockage d'humidité : dépendant de la pression capillaire (gauche), dépendant de l'humidité relative telle une isotherme de sorption (droite)
2.2. Mécanismes de transfert de chaleur
Le transfert de chaleur à travers la paroi est déterminé par plusieurs flux. Tous, sauf un, dépendent du transfert de masse qui transporte également de l’énergie. Les transferts par convection et rayonnement sont considérés comme des phénomènes de surface (échange entre l’air et la paroi) (H. Künzel 1995).
Parmi ces mécanismes, seront pris en compte :
- la conduction générée par un gradient de température ;
- le changement de phase de l’eau lié au phénomène d’évaporation-condensation ; - le transport enthalpique de chaleur par chaleur sensible ;
- le transport enthalpique de chaleur dû au phénomène de sorption.
Le seul flux indépendant est le flux dû à la conduction de chaleur jk,diff (W/m²). Il est proportionnel au gradient de température et est décrit par la loi de Fourier :
𝑗𝑘,𝑑𝑖𝑓𝑓𝑄 = −𝜆(𝑤, 𝑇) . 𝜕𝑇
𝜕𝑥𝑘 (36)
Avec λ la conductivité thermique en W.m-1.K-1
Selon le type de matériau et la précision du modèle, la conductivité thermique λ peut être fonction de la température et de la teneur en eau, bien que dans la gamme de température utilisée dans la physique du bâtiment, cette dépendance soit négligeable (G. Scheffler 2008).
Comme vu dans le Chapitre 2, la dépendance entre les propriétés des matériaux et la teneur en eau est essentielle pour une simulation fiable des matériaux fortement hygroscopiques.
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