Seja A um conjunto n˜ao vazio e R ⊆ A2 uma rela¸c˜ao bin´aria qualquer definida em A. Para indicar que o par ordenado (a, b) ∈ A2 pertence `a rela¸c˜ao R escreve-se tamb´em frequentemente aRb, ou seja,
aRb ⇔ (a, b) ∈ R quaisquer que sejam a, b ∈ A.
Exemplo 1.34 Se A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ⊂ IN e R for a rela¸c˜ao ≤ usual em IN, ent˜ao ≤ = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (1, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5)} e escreve-se a ≤ b ⇔ (a, b) ∈ ≤
quaisquer que sejam a, b ∈ A.
Defini¸c˜ao 1.35 Chama-se rela¸c˜ao de ordem definida no conjunto A a uma rela¸c˜ao bin´aria R ⊆ A2 com as seguintes propriedades:
(1) reflexividade: ∀a[ a ∈ A ⇒ aRa ],
(2) anti-simetria: ∀a,b∈A[ [ aRb ∧ bRa ] ⇒ a = b ]
(3) transitividade: ∀a,b,c∈A [ [ aRb ∧ bRc ] ⇒ aRc ]
Se, adicionalmente, R satisfizer a proposi¸c˜ao
(4) dicotomia: ∀a,b[ a, b ∈ A ⇒ [ aRb ∨ bRa ] ]
dir-se-´a uma rela¸c˜ao de ordem total. Se R n˜ao for uma rela¸c˜ao de ordem total tamb´em se designa, por vezes, rela¸c˜ao de ordem parcial.
Exemplo 1.36
1. Seja A uma fam´ılia de conjuntos. A rela¸c˜ao em A definida por “A ´e um subconjunto de B” ´e uma ordem parcial.
2. Seja A um subconjunto qualquer de n´umeros reais. A rela¸c˜ao ≤ em A ´e uma rela¸c˜ao de ordem total – ´e a chamada ordem natural.
3. A rela¸c˜ao R definida em IN por “xRy se e s´o se x ´e m´ultiplo de y” ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial em IN.
Defini¸c˜ao 1.37 Seja R uma rela¸c˜ao de ordem definida em A; a rela¸c˜ao R∗ ⊂ A2 definida por
∀a,b∈A[ aR∗b ⇔ [ aRb ∧ a 6= b ] ] (1.12) diz-se uma rela¸c˜ao de ordem estrita definida em A.
Defini¸c˜ao 1.38 Chama-se conjunto ordenado a um par ordenado (A, R) onde A ´e um conjunto n˜ao vazio e R ´e uma rela¸c˜ao de ordem (parcial ou total) em A.
Se, para a, b ∈ A se tiver aRb dir-se-´a que b domina a ou que a precede b. Seja R uma rela¸c˜ao de ordem num conjunto A. Ent˜ao a rela¸c˜ao inversa R−1, definida por
aR−1b ⇔ bRa
quaisquer que sejam os elementos a, b ∈ A, ´e tamb´em uma rela¸c˜ao de ordem (verificar!). As ordens parciais mais familiares s˜ao as rela¸c˜oes ≤ ou ≥ em ZZ ou IR (que s˜ao inversas uma da outra). Por isso, muitas vezes se denota um conjunto ordenado simplesmente por
(A, ≤) ou (A, ≥)
embora as ordens ≤ ou ≥ possam n˜ao corresponder `as rela¸c˜oes usuais em ZZ ou IR denotadas por aqueles s´ımbolos.
Elementos extremais de um conjunto ordenado. Sendo (A, ≤) um conjunto (total ou parcialmente) ordenado d´a-se o nome de m´aximo de A ao elemento de a ∈ A, se existir, tal que
∀x [ x ∈ A ⇒ x ≤ a ]
ou seja, a ´e o m´aximo de A se dominar todos os outros elementos de A. Note-se que se a ordem ≤ n˜ao for total pode acontecer que n˜ao exista um
elemento a ∈ A compar´avel com todos os elementos x ∈ A nos termos acima indicados: neste caso A n˜ao possuir´a m´aximo.
Um elemento a ∈ A diz-se maximal de (A, ≤) se se verificar a condi¸c˜ao ∀x∈A[ a ≤ x ⇒ x = a ]
ou, equivalentemente,
¬ ∃x∈A[ a ≤ x ∧ x 6= a ]
Isto ´e, a ∈ A ´e um elemento maximal de (A, ≤) se n˜ao existir nenhum outro elemento em A que o domine estritamente.
De modo semelhante, chama-se m´ınimo de A ao elemento b ∈ A, se existir, que satisfaz a condi¸c˜ao
∀x [ x ∈ A ⇒ b ≤ x ]
ou seja, b ´e o m´ınimo de A se preceder todos os outros elementos de A. Tal como no caso anterior um conjunto ordenado pode n˜ao possuir m´ınimo.
Um elemento b ∈ A diz-se minimal se se verificar a condi¸c˜ao ∀x∈A [ x ≤ b ⇒ x = b ]
ou, equivalentemente,
¬ ∃x∈A[ x ≤ b ⇒ x 6= b ]
Isto ´e, b ∈ A ´e um elemento minimal de (A, ≤) se n˜ao existir nenhum outro elemento em A que o preceda estritamente.
Exemplo 1.39 (Diagramas de Hasse.) Seja A um conjunto finito com uma ordem parcial ≤ e considere-se o digrafo desta rela¸c˜ao. Visto que ≤ ´e uma rela¸c˜ao de ordem ent˜ao ´e reflexiva e, portanto, em todos os v´ertices aparecer´a um lacete. Para simplificar o diagrama neste caso suprimam-se todos os lacetes. Eliminando tamb´em todos os arcos que se obtˆem por transitividade o digrafo resultante ´e o que se designa por diagrama de Hasse correspondente `a ordem parcial ≤.
1. Seja A = {2, 3, 4, 6, 8, 12} e defina-se a rela¸c˜ao ≤ pondo “x ≤ y se e s´o se x divide y”. Ent˜ao 2 e 3 s˜ao elementos minimais e 8 e 12 s˜ao elementos maximais. O conjunto ordenado (A, ≤) n˜ao possui m´ınimo nem m´aximo. Esta situa¸c˜ao pode representar-se pelo diagrama de Hasse
4 8 6 2 @ @ @ @ I 6 12 6 * 3 @ @ @ @ I
2. Seja agora B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} (= A ∪ {1, 24}) com a ordem ≤ tal como foi definida no exemplo anterior. Ent˜ao 1 ´e o m´ınimo de B e 24 ´e o m´aximo de B. 1 ´e o ´unico elemento minimal de B e 24 ´e o ´unico elemento maximal de B. O diagrama de Hasse agora tem o seguinte aspecto:
4 8 6 2 @ @ @ @ I 6 12 6 * 24 @ @ @ @ I 3 @ @ @ @ I 1 @ @ @ @ I
3. Seja C = {1, 2, 3} e considere-se o conjunto D das partes pr´oprias de C ordenado pela rela¸c˜ao ⊆. Ent˜ao Ø ´e o m´ınimo de D e h´a trˆes elementos maximais, {2, 3}, {3, 1} e {1, 2}. {1} Ø @ @ @ @ I {2} 6 {3} {2, 3} @ @ @ @ I H H H H H H H H Y {3, 1} @ @ @ @ I {1, 2} *
Contra-exemplo 1.40 O conjunto A = {x ∈ IR : 0 < x < 1} n˜ao possui m´aximo nem m´ınimo nem possui elementos maximais nem minimais.
Teorema 1.41 Seja A um conjunto ordenado pela rela¸c˜ao de ordem (parcial ou total) ≤. Se a ∈ A ´e m´aximo ent˜ao a ´e um elemento maximal e ´e o ´unico elemento maximal de A. Se b ∈ A ´e m´ınimo ent˜ao b ´e um elemento minimal e ´e o ´unico elemento minimal de A.
Demonstra¸c˜ao: Seja a o m´aximo de A e seja x ∈ A tal que a ≤ x. Pela defini¸c˜ao de m´aximo de A tem-se tamb´em x ≤ a e, portanto, pela antisimetria da rela¸c˜ao ≤ obter-se-´a x = a, o que mostra que a ´e um elemento maximal de A.
Para provar que aquele elemento maximal ´e ´unico suponha-se agora que a0 ´e
outro elemento maximal. Visto que a ´e, por hip´otese, o m´aximo de A ent˜ao ter- se-´a a0 ≤ a o que, pela defini¸c˜ao de elemento maximal, implica que seja a = a0. Consequentemente, n˜ao pode haver outro elemento maximal.
A demonstra¸c˜ao para o caso do m´ınimo ´e semelhante, sugerindo-se que seja feita a t´ıtulo de exerc´ıcio. 2
Defini¸c˜ao 1.42 Seja (A, ≤) um conjunto ordenado. Chama-se cadeia de A a um subconjunto de A que ´e totalmente ordenado por ≤.
No exemplo 1 acima, o conjunto {2, 4, 12} ´e uma cadeia; no exemplo 2, o con- junto {1, 2, 6, 12, 24} ´e uma cadeia e no exemplo 3, o conjunto {Ø, {1}, {1, 2}} ´e uma cadeia.
Defini¸c˜ao 1.43 Seja A um conjunto totalmente ordenado pela rela¸c˜ao ≤. Dir-se-´a que ≤ ´e uma boa ordem ou que A ´e bem ordenado por ≤ se todo o subconjunto n˜ao vazio de A possuir m´ınimo.
O exemplo t´ıpico de um conjunto bem ordenado ´e dado por IN provido com a rela¸c˜ao de ordem ≤ usual, enquanto que ZZ com a ordena¸c˜ao usual n˜ao ´e bem ordenado. Por raz˜oes an´alogas tamb´em Q ou IR com as suas ordena¸c˜oes usuais tamb´em n˜ao s˜ao conjuntos bem ordenados.
Exerc´ıcios 1.3.1
1. Sendo o par ordenado (a, b) definido em termos de conjuntos por (a, b) = {{a}, {a, b}} mostrar que se verifica a seguinte equivalˆencia:
(a, b) = (c, d) ⇔ [a = c ∧ b = d]
quaisquer que sejam os pares ordenados (a, b) e (c, d).
(a) Descrever em extens˜ao os conjuntos A × B, B × A e A × C.
(b) Dar exemplos de rela¸c˜oes de A para B e de B para A com quatro ele- mentos.
(c) Dar um exemplo de uma rela¸c˜ao sim´etrica em C com trˆes elementos. 3. Seja A = {1, 2, 3}. Para cada uma das rela¸c˜oes R indicadas a seguir, deter-
minar os elementos de R, o dom´ınio e o contradom´ınio de R e, finalmente, indicar as propriedades que possui R.
(a) R ´e a rela¸c˜ao < em A. (b) R ´e a rela¸c˜ao ≥ em A. (c) R ´e a rela¸c˜ao ⊂ em P(A).
4. Sejam A, B, C e D conjuntos dados. Provar ou dar contra-exemplos para as seguintes conjecturas: (a) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) (b) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) (c) (A × B) ∩ (Ac× B) = Ø (d) [A ⊆ B ∧ C ⊆ D] ⇒ A × C ⊆ B × D (e) A ∪ (B × C) = (A ∪ B) × (A ∪ C) (f ) A ∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C) (g) (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) (h) A × (B\C) = (A × B)\(A × C)
5. Sejam A e B dois conjuntos e R e S duas rela¸c˜oes de A para B. Mostrar que (a) D(R ∪ S) = D(R) ∪ D(S)
(b) D(R∩S) ⊆ D(R)∩D(S) e dar um exemplo para mostrar que a igualdade n˜ao se verifica necessariamente.
(c) I(R ∪ S) = I(R) ∪ I(S)
(d) I(R ∩ S) ⊆ I(R) ∩ I(S) e dar um exemplo para mostrar que a igualdade n˜ao se verifica necessariamente.
6. Seja R uma rela¸c˜ao num conjunto n˜ao vazio A. Sendo x ∈ A define-se a classe-R de x, denotada por [x]R, por
[x]R = {y ∈ A : yRx}
(a) Sendo A = {1, 2, 3, 4} e
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (1, 1), (2, 3), (4, 2)} determinar [1]R, [2]R, [3]R e [4]R.
(b) Mostrar que R ´e reflexiva se e s´o se ∀x∈A[x ∈ [x]R].
(c) Mostrar que R ´e sim´etrica se e s´o se
(d) Mostrar que ∀x∈A[ [x]R6= Ø ⇔ I(R) = A ].
(e) Suponha-se que D(R) = A e R ´e sim´etrica e transitiva. Mostrar que
∀x,y∈A[[x]R⊆ [y]R ⇒ xRy]
Mostrar ainda que ∀x,y∈A[[x]R⊆ [y]R ⇒ [x]R= [y]R].
(f ) Suponha-se que R ´e sim´etrica e transitiva. Mostrar que
∀x,y∈A[[x]R∩ [y]R6= Ø ⇒ [x]R= [y]R]
7. Seja R uma rela¸c˜ao de A para B e S uma rela¸c˜ao de B para C. Ent˜ao a rela¸c˜ao composta S ◦R ´e a rela¸c˜ao constitu´ıda por todos os pares ordenados (a, c) tais que (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ S. Sendo A = {p, q, r, s}, B = {a, b}, C = {1, 2, 3, 4}, R = {(p, a), (p, b), (q, b), (r, a), (s, a)} e S = {(a, 1), (a, 2), (b, 4)} determinar S ◦ R.
8. Seja R uma rela¸c˜ao de A para B. Chama-se rela¸c˜ao inversa R−1de B para A ao conjunto de pares ordenados da forma (b, a) com (a, b) ∈ R. Mostrar que uma rela¸c˜ao R num conjunto ´e sim´etrica se e s´o se R = R−1.
9. Mostrar que uma rela¸c˜ao num conjunto ´e reflexiva se e s´o se a sua inversa for reflexiva.
10. Seja R a rela¸c˜ao no conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} definida por (a, b) ∈ R ⇔ (a − b) ´e divis´ıvel por 4
Determinar R e R−1.
11. Seja R a rela¸c˜ao definida em IN1 por
(a, b) ∈ R ⇔ b ´e divis´ıvel por a
Estudar R quanto `a reflexividade, simetria, antisimetria e transitividade. 12. Quais das rela¸c˜oes que se seguem s˜ao equivalˆencias?
(a) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 3), (3, 1)} (b) {(1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}
(c) {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (4, 4)}
13. Seja R = {(x, y) : x, y ∈ ZZ e x − y ´e inteiro}. Mostrar que R ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em ZZ.
14. Seja A = {2, 3, 4, 5, . . .} um conjunto ordenado pela rela¸c˜ao “x divide y. De- terminar todos os elementos minimais e todos os elementos maximais.