1.4 Démarches méthodologiques usuelles
1.4.2 Traitement de la zone de choc
1.4.2.1 Méthodes analytiques de traitement des chocs mous
Dans la littérature, on peut classer les méthodes analytiques traitant des chocs en deux catégories.
En premier lieu, on peut retrouver les formules permettant de quantifier de manière prédictive certains phénomènes locaux, pouvant intervenir sur cible en béton armé, comme la pénétration avec la méthode McMahon, Meyers et Sen ou encore l’écaillage en suivant la méthode bayésienne de Rotz. Ces formules, répertoriées de manière non exhaustive dans [Bangash, 1993], découlent généralement de campagnes expérimentales.
En parallèle, il existe d’autres méthodes permettant de considérer le caractère plus global de la zone d’impact endommagée. L’une d’elles est la méthode développée dans [CEB, 1988] permettant un calcul simplifié du choc d’un avion sur un voile ou un plan-cher. Cette approche a trois degrés de liberté.
La modélisation est décrite par un modèle simplifié d’oscillateur élasto-plastique (voir la Figure 1.20) et repose sur deux hypothèses majeures :
– la structure est modélisable par trois masses, reliées entre elles par trois ressorts élasto-plastiques, munis d’amortissement,
– les lois de comportement des associations de matériaux acier et béton sont homo-généisées pour être adaptées en lois effort-déplacement aux ressorts modélisés sous forme de lois linéaires, bi-linéaires voire même "multi-linéaires".
� �1 �1 �2 � �2 �1 � �2 �1 – � � �2 �1 = �1�1 � � = �2− � �2 = �1− �2 �1 = −�1 Ressort �1 Ressort �2 Ressort �
FIGURE 1.20: Méthode analytique CEB de calcul d’impact d’avion, d’après [CEB, 1988].
L’oscillateur comporte trois masses et trois ressorts représentant respectivement :
– la masse et la rigidité élasto-plastique (masse m3 et ressort R3) de la partie de la structure directement concernée par l’impact, sous la forme d’un cône de béton cisaillé. Le ressort R3correspond à la superposition des 3 contributions suivantes : – résistance du béton au poinçonnement,
– résistance des armatures transversales,
– résistance des armatures longitudinales en "filet".
– la masse et la rigidité élastique non linéaire (masse m2et ressort R2) d’une zone de la structure qui est plastifiée en flexion sous l’effet de la force appliquée ;
– la masse et la rigidité du reste de la structure supposées demeurer dans le domaine élastique linéaire (masse m1et ressort R1).
De plus, le comportement des oscillateurs prend en compte les hypothèses complémen-taires suivantes :
– l’amortissement est pris en compte en ce qui concerne le ressort R1mais est négligé pour deux autres ressorts non linéaires ;
– le critère de rupture est intégré dans la loi de comportement des ressorts R2et R3; – les lois de comportement des ressorts R2et R3 sont supposées symétriques (en cas
de déplacements dans le sens opposé de l’impact) ;
– la loi de comportement du ressort R3est élasto-plastique pour la part due aux arma-tures transversales. Elle tient donc compte du retour élastique après plastification des épingles et du déplacement résiduel qui peut en découler. Les autres lois sont élastiques linéaires (R1) ou non linéaires (R2 et R3 pour les parts dues au béton et aux armatures longitudinales).
correspon-Démarches méthodologiques usuelles 41
dant à la courbe d’effort d’écrasement sur cible rigide de l’avion. Le modèle permet de calculer l’effort vu par chacun des trois ressorts. Il permet également de vérifier la tenue du cône d’impact (non rupture des armatures longitudinales ou non rupture des armatures transversales) et de la paroi impactée.
Cette méthode "simplifiée" permet d’obtenir des résultats au niveau de la zone d’im-pact, cependant, de par ces nombreuses hypothèses fortes, elle n’autorise pas une appli-cation précise à la chute d’avion.
De manière plus générale l’ensemble de ces approches ne permettent pas une appli-cation dans un processus complet de chute d’avion. L’étude de la zone endommagée doit ainsi être effectuée au travers de méthodes numériques.
1.4.2.2 Méthodes numériques de traitement des impacts
Le traitement de la problématique d’impact peut être effectué en s’appuyant sur diffé-rents modèles de calculs en dynamique rapide. Aujourd’hui, deux types d’approches sont utilisées : les approches dites "continues" correspondant aux éléments finis et celles dites "discrètes". Le premier type d’approches est largement répandu et de nombreux modèles de comportement des matériaux ont été développés. Basée sur l’hypothèse des milieux continus elle peut néanmoins avoir des difficultés à traiter les fortes discontinuités pou-vant apparaître lors d’un impact. Les méthodes discrètes, quant à elles, ne se fondent pas sur l’hypothèse d’un champ de déplacement continu. Elles sont ainsi de plus en plus utili-sées dans le traitement des problèmes de dynamique rapide en particulier en cas d’érosion de l’impacteur ou de la cible, et projection d’éclats.
1.4.2.2.1 Méthode basée sur les éléments discrets
Les approches discrètes, comme la méthode des éléments discrets ([Cundall et Strack, 1979]) reposent sur une description du milieu en un réseau de points mobiles munis de masses associées et des géométries simples, par exemple des sphères. Les lois d’interac-tions entre les points dépendent du milieu modélisé (contact, loi cohésive, ...). Elles sont particulièrement adaptées aux milieux granulaires mais peuvent également être utilisées pour traiter des milieux continu ; l’apparition des discontinuités, fissuration par exemple, dans ces milieux est alors aisée à mettre en œuvre car il suffit de supprimer l’interaction entre les points concernés. A l’échelle macroscopique, une structure peut être supposée homogène et continue, mais son comportement à la rupture résulte de phénomènes dis-continus. Dans de tels cas, les méthodes discrètes sont plus adéquates que les approches continues classiques pour modéliser et reproduire ces phénomènes ([Rousseau, 2009]).
Les approches par éléments discrets ont initialement été introduites dans [Cundall et Strack, 1979], pour les matériaux granulaires. Les développements qui ont suivi ont eu pour but d’adapter ce type de méthodes aux matériaux cohésifs et en particulier aux géomatériaux ([D’addetta et al., 2001]).
Ces méthodes sont par ailleurs difficiles à mettre en œuvre pour traiter des structures de grande taille. En effet, pour prédire finement le comportement local, ces méthodes
doivent utiliser un nombre important d’éléments discrets ce qui conduit, à l’échelle de l’ouvrage, à un nombre excessif d’éléments et ainsi à des temps de calculs prohibitifs. 1.4.2.2.2 Méthode des éléments finis
La méthode des éléments finis est largement utilisée pour les calculs d’ouvrages et de structures du génie civil ([Dung Vu, 2013]). Elle est fondée, contrairement aux approches discrètes, sur la mécanique des milieux continus. En considérant que le comportement du matériau est homogène, cette approche permet d’étudier la réponse globale de la struc-ture et la réponse locale du matériau. Néanmoins, le béton armé étant un matériau par définition hétérogène, il existe des lois d’homogénéisation de ce matériau sous la forme de macro-élément. On peut ainsi présenter l’exemple de la loi GLRC_DAMAGE (Glo-bal Reinforced Concrete Models) développée pour [Code-Aster, 2001] dans [Kœchlin et Moulin, 2002] ou encore la loi Mat_Concrete_EC2 implémentée dans [Ls-Dyna, 1976] pour les éléments coques multi-feuillets. Ces lois présentent l’intérêt d’avoir un faible coût numérique par rapport à une modélisation complète 3-D. Pour modéliser le compor-tement à la rupture du béton, deux types de modèles ont été développés :
– approche continue de l’endommagement : les phénomènes non-linéaires sont traités à travers des variables d’endommagement, qui varient de 0 (pour le matériau sain) à 1 (pour le matériau complètement endommagé) ([Mazars, 1984]).
– théorie de la plasticité : le comportement non-linéaire est pris en compte par le biais de déformations plastiques qui respectent des lois d’écoulement et des critères en contrainte.
Cependant, lorsque la propagation des fissures joue un rôle prépondérant, les lois de com-portement ne peuvent pas reproduire correctement les réponses des structures et les en-dommagements des matériaux. Pour résoudre ce problème de discontinuité, différentes solutions ont alors été proposées, [Wœstyn et al., 2006] :
– pour suivre l’évolution d’une fissure, [Ortiz et Pandolfi, 1999] introduit une dis-continuité sur l’interface reliant deux éléments finis couplée à un algorithme de maillage adaptatif. Cette méthode introduit néanmoins une dépendance au maillage utilisé ;
– une autre technique consiste à introduire la discontinuité en déplacement directe-ment à l’intérieur des élédirecte-ments finis (X-FEM (Extended Finite Eledirecte-ment Method)) ([Sukumar et Belytschko, 2000]). La propagation d’une fissure en quasi-statique est bien modélisée par cette méthode mais des problématiques interviennent dès lors que l’on traite la multi-fissuration, de la dynamique ou encore des structures à grande échelle ;
– le processus d’érosion est une autre méthode souvent utilisée pour le traitement des problèmes dynamiques d’impact. Un élément fini de la structure sera supprimé lorsqu’un critère est atteint. Différents critères d’érosion peuvent être utilisés, sou-vent le seuil de déformation plastique de Von-Mises, [Ågårdh et Laine, 1999] ou de Tresca, sont retenus. Certains modèles élasto-endommageables utilisent soit un seuil de déformation principale en traction, soit le critère du modèle de Mazars,
Démarches méthodologiques usuelles 43
[Mazars, 1984].
D’autres part deux aspects sont également important à noter pour les méthodes élé-ments finis. Au niveau dynamique, certaines lois de comportement permettent d’intégrer des effets de vitesse liés à un matériau tel que le béton. Le second aspect concerne la re-présentation des armatures qui peuvent être pris en compte au travers de macro-éléments de béton armé ou alors de manière explicite via des éléments représentant les armatures et liés aux éléments de béton par des lois de contact.
Deux méthodes d’intégration temporelle sont utilisées dans les codes éléments finis, la méthode d’intégration implicite (de type Newmark) et la méthode d’intégration explicite (généralement des différences centrées d’ordre 2). Si l’algorithme implicite est souvent utilisé pour modéliser les problèmes quasi-statiques et ceux de dynamique lente, les pro-blèmes de dynamique rapide sont généralement traités avec une méthode explicite qui nécessite d’utiliser un très petit pas de temps d’intégration mais qui est plus efficace en termes de temps de calculs pour des chargements courts comme les impacts.
1.4.2.3 Conclusions des méthodologies actuelles de traitement de la zone d’impact Pour illustrer ce paragraphe et les observations associées, le benchmark international IRIS (Improving Robustness Assessment Methodologies for structures impacted by mis-siles), [IRIS, 2010] et [IRIS, 2012], peut être mis en avant. Ce projet a été lancé dans le but d’obtenir un retour d’expérience sur la modélisation de projectiles impactant une dalle en béton armé. Il s’appuie sur des essais d’impact sur des dalles en béton armé, avec des projectiles cylindriques déformables (50 kg avec une vitesse variant de 100 à 200 m/s), réalisés en Finlande par le centre de recherche VTT (Technical research center of Finland) dans le cadre d’un Workshop international. C’est un projet organisé par un groupe de travail international OECD-NEA (Organisation for Economic Cooperation and Development - Nuclear Energy Agency) et piloté par l’IRSN. Réunissant près d’une ving-taine d’équipes venant des quatre coins du monde, ce benchmark a fait apparaitre qu’il existe beaucoup de possibilités pour simuler l’impact sur une structure en béton armé. Les méthodes continues, quoique très bien connues, semblent avoir encore des difficultés à modéliser correctement la fragmentation ou encore les impacts amenant à une perfora-tion de la cible.
Les méthodes discrètes plus récentes et encore peu utilisées sont attractives car leur essence même est de modéliser les discontinuités. Parmi elles, les méthodes issues de la méthode des éléments distincts semblent faciles à mettre en œuvre (par l’utilisation de sphères) et sont prometteuses. Cependant le coût de calcul, dû à la fois à la recherche des contacts et à une discrétisation souvent fine, en contraint l’utilisation à de relativement petites applications.
Pour généraliser notre approche dans le cadre de problèmes proches , il est possible également de citer les méthodes d’analyse de dimensionnement de galeries pare-blocs, comme décrites dans [Zhang, 2006], ou encore la chute de charges et de conteneurs, [Ser-combe, 1997]. Néanmoins ces méthodologies traitant dans ces deux cas de choc "dur" caractérisé par des phénomènes engendrés bien spécifiques ne sont pas applicable
globa-lement à la chute d’avion.
Dans notre cas de la chute d’avion, il semble donc plus efficace d’utiliser les élé-ments finis pour représenter la zone endommagée dès lors que l’objectif est d’obtenir la réponse globale de la structure comme cela peut être le cas dans une étude visant à qua-lifier l’ébranlement. Par ailleurs, le dimensionnement même des structures vise justement à assurer l’absence d’endommagement trop important.