Au cours de ces travaux réalisés sur la TVRC, de nombreux développements ont été mis en place afin de pouvoir appliquer cette méthode fréquentielle pour des réponses tem-porelles de structures du génie civil nucléaire. Pour cela, je suis parti du code développé dans [Kovalevsky, 2011] pour des problèmes d’acoustique dans les habitacles automo-biles. Le code que j’ai implémenté permet de prendre en compte dans le domaine de la mécanique quatre types de structures (plaques, plaques circulaires, coques cylindriques et sphériques), deux types de déformation (membranaire et flexion), des interfaces pouvant être rigides ou souples, coplanaires ou non, et enfin des conditions limites classiques et de type ressort. Le paragraphe 2.2.5 présente la validation sur deux exemples de traite-ment de problèmes de vibrations forcées au travers de la TVRC. Le tableau 2.9 récapitule l’ensemble des développements mis en place.
Développements TVRC effectués
1. Adaptation des coques cylindriques [Riou et al., 2004] aux coques sphériques 2. Couplage des déformations de membrane et de flexion
3. Généralisation de la formulation variationnelle à n sous-domaines pouvant être coplanaires ou non
4. Mise en place des conditions aux limites de types ressorts et de symétrie 5. Implémentation d’une méthode de résolution adaptée aux systèmes mal
conditionnés de la TVRC
6. Développement de l’analyse multi-fréquentielle via les approximants de Padé sur des structures plaques
TABLE2.9: Récapitulatif des développements TVRC mis en place pour le traitement des vibrations induites par un impact d’avion.
Suite à tout cela, nous avons pu observer que la TVRC n’échappait pas à une des caractéristiques associées aux méthodes de Trefftz, le mauvais conditionnement du sys-tème à résoudre. Pour corriger cela, nous proposons ici une méthode de résolution adaptée à notre problématique basée sur une approche multi-grille de l’espace d’approximation. Cette méthode de résolution permet ainsi de diminuer considérablement le mauvais condi-tionnement du système permettant ainsi une meilleure approximation de la solution. De plus, cette méthode, étant parallélisable, permet de résoudre des problèmes de grandes tailles comme cela pourrait être le cas sur des structures complexes du génie civil nu-cléaire.
En ce qui concerne l’analyse multi-fréquentielle au travers des approximants de Padé, le paragraphe 2.4.4 permet de comparer cette approche vis-à-vis d’une résolution fré-quence par fréfré-quence sur un cas simple d’une plaque d’acier en flexion. On remarquera que cette méthode de résolution large bande est efficace sur des domaines de type plaque, néanmoins l’application pour des coques semble être plus problématique. En effet, la méthode nécessite le calcul de dérivées successives qui est alors plus difficile à mettre
en œuvre numériquement pour la partie coque. Des développements complémentaires doivent ainsi être étudiés afin d’adapter efficacement l’approche des approximants de Padé aux structures comprenant des éléments coques. Cette approche de résolution multi-fréquentielle ne peut donc en l’état être appliquée à une structure du génie civil nucléaire d’une manière plus efficace qu’une résolution fréquence par fréquence.
Les conditions d’efficacité de la méthode peuvent perçues en plusieurs termes di-mensionnels, énergétiques ou encore physiques. En effet tout d’abord la modélisation en coques "minces" semble pertinente par rapport aux modèles globaux éléments finis trai-tant de la chute d’avion utilisés usuellement.
Pour résumer, tous ces développements de la TVRC ont été mis en place avec l’ob-jectif de permettre une résolution efficace du cas de charge d’impact d’avion. Néanmoins avant son application et sa confrontation aux méthodes industrielles de traitement de cette problématique, le chapitre suivant doit permettre de valider l’application de la TVRC aux structures mécaniques.
Chapitre 3
Mise en œuvre de la TVRC dans un
cadre industriel
A
u vu des difficultés numériques rencontrées lors de l’utilisation des méthodes clas-siques temporelles, la méthode proposée pour l’étude de la chute d’avion est une approche couplée alliant une part temporelle et une part fréquentielle dans la-quelle le large contenu en fréquence dans la réponse transitoire est pris en compte. La transformée de Fourier est appliquée aux quantités qui dépendent du temps dans le pro-blème dynamique de référence, ce qui nous ramène à calculer des fonctions de réponse en fréquence. L’efficacité de la méthode est améliorée en choisissant la technique de résolu-tion adéquate en foncrésolu-tion de la distance avec la zone d’impact : les éléments finis associés à une intégration directe pour la détermination de la zone endommagée et la TVRC pour le calcul des vibrations induites par le choc. Les développements de la transformée de Fourier ont permis de rendre cette association possible. Ce chapitre décrit la mise en œuvre de la stratégie pour le traitement de la chute d’avion, ainsi que l’intégration de la TVRC dans cette dernière.Sommaire
3.1 Une stratégie d’étude dédiée à ce cas de charge . . . 107 3.2 Définition des paramètres pilotant l’étendue de la zone non-linéaire . . 108 3.2.1 Choix de modélisation . . . 109 3.2.2 Pré-analyse empirique de non perforation . . . 112 3.2.3 Analyse de sensibilité . . . 113 3.2.3.1 Etude pour différentes surfaces de chargement . . . 114 3.2.3.2 Etude pour différentes résistances en compression du béton117 3.2.3.3 Etude pour différents taux de ferraillage de la dalle en
3.2.4.1 Définition des plans d’expériences . . . 124 3.2.4.2 Utilisation des plans d’expériences dans notre étude de
sensibilité . . . 127 3.2.4.3 Conclusion du plan d’expérience . . . 130 3.2.5 Conclusion sur la définition des paramètres de la structure pilotant
la zone non-linéaire . . . 131 3.3 Discrétisations et hypothèses liées à la stratégie . . . 131 3.3.1 Discrétisation spatiale . . . 131 3.3.2 Discrétisation fréquentielle . . . 132 3.3.3 Reconstruction de la réponse temporelle . . . 133 3.4 Prise en compte du béton armé et précontraint dans la TVRC . . . 134 3.4.1 Modèles de comportements globaux . . . 134 3.4.2 Homogénéisation du béton armé et précontraint dans un cadre
li-néaire et orthotrope . . . 134 3.4.2.1 Homogénéisation du béton armé d’armatures passives . . 135 3.4.2.1.1 Détermination de l’énergie libre . . . 135 3.4.2.1.2 Paramètres de la loi . . . 135 3.4.2.2 Identification des paramètres de comportement élastique
linéaire . . . 136 3.4.2.3 Homogénéisation du béton précontraint . . . 139 3.4.2.4 Homogénéisation du béton armé et précontraint . . . 141 3.5 Conclusions sur la mise en œuvre de la stratégie de traitement de la
Une stratégie d’étude dédiée à ce cas de charge 107
3.1 Une stratégie d’étude dédiée à ce cas de charge
Pour résoudre notre problématique de vibrations induites par un choc et plus parti-culièrement dans notre cas, l’impact d’avion sur une structure en béton armé, et en sup-posant que la structure est suffisamment bien dimensionnée de manière à résister à ce chargement, la stratégie que l’on propose de mettre en œuvre est définie dans la figure 3.1.
FIGURE3.1: Stratégie globale de calcul.
Dans notre démarche, l’avion est remplacé par sa fonction force-temps équivalente calculée à l’aide de la méthode de Riera présentée dans le paragraphe 1.4.1.2. Cet effort est alors appliqué sur le modèle éléments finis de la partie impactée de la structure, cette étape nous permettant de calculer la réponse non linéaire et ainsi de définir la zone en-dommagée par le choc. Cette zone localisée au niveau du choc est définie par son rayon et l’atténuation induite sur le signal d’entrée aux bornes de cette zone. En complément à cela, une étude paramétrique, présentée dans le paragraphe 3.2, a été menée pour définir les paramètres du problème pilotant l’étendue de cette zone endommagée et pour apporter une estimation de l’étendue de cette zone.
Le signal atténué temporel peut ensuite être appliqué à la frontière de la zone définie dans la première étape sur le modèle linéaire du restant de la structure. Nous poserons l’hypothèse forte de non prise en compte d’une interaction entre les deux zones de la structure. La réponse de la structure est obtenue dans le domaine fréquentiel par un cal-cul via la TVRC. Ce calcal-cul nécessite une transformation préalable du temporel vers le fréquentiel obtenue par transformée rapide de Fourier (FFT, Fast Fourier Transform). Ce changement de domaine nécessite une attention particulière décrite dans le paragraphe 3.3.
Après avoir résolu le problème dans le domaine des fréquences, la recomposition tem-porelle est effectuée par IFFT (transformée de Fourier rapide inverse). La TVRC assure un calcul efficace de la réponse de la structure dans le domaine fréquentiel.
Afin de pouvoir prendre en compte des structures orthotropes et hétérogènes, comme cela peut être le cas pour les enceintes du génie civil nucléaire en béton armé et pré-contraint, nous avons également mis en place une homogénéisation linéaire des lois de comportement (paragraphe 3.4).