Chapitre II. Modélisation hydrodynamique et méthode de résolution numérique de
II.2. MODELE THEORIQUE GENERAL
II.2.2 Equation de Reynolds pour les écoulements des films minces
II.2.2.2 Traitement des termes d’inertie
Dans les équations [II-1] les termes d’inertie sont négligés (hypothèse n°6). Cette hypothèse trouve sa justification au niveau de l’adimensionnement des équations de la dynamique qui a été fait au préalable pour l’obtention des Equations [II-1]. Les termes d’inertie étant multipliés dans les équations adimensionnées par le facteur εR. On peut dire, de façon générale, que l’hypothèse n°6 est satisfaite lorsque le produit εR est très inférieur à l’unité.
Or, les joints à rainures hélicoïdales présentent des discontinuités d’épaisseur sur les lignes séparant les parties dites « crêtes » où l’épaisseur est minimale et vaut ‘c’ et les parties dites « rainures » où l’épaisseur est maximale et vaut ‘c+h’. La présence des discontinuités implique un changement brutal de l’épaisseur aussi bien dans le sens circonférentiel que dans le sens axial. Ces lignes singulières ont tendance à provoquer des accélérations ponctuelles du fluide en fonction de la vitesse de rotation du joint, de la valeur du jeu radial, de la viscosité de fluide, mais aussi selon la position des discontinuités par rapport à la couche limite laminaire. Les accélérations modifient la structure de l’écoulement et, notamment des lignes de courant et, par suite, remettent en cause l’hypothèse d’un écoulement laminaire.
Chapitre II. Modélisation hydrodynamique et méthode de résolution numérique de l’étanchéité dans un joint à rainures hélicoïdales
47 Il est d’une importance majeure de fixer la limite aussi bien au niveau de la géométrie qu’au niveau des conditions de fonctionnement qui permettent de négliger les effets d’inertie.
On peut se référer à l’ouvrage de Shlichting [SHL79] et aussi aux travaux de Mihae [MIH2003]. Ces travaux traitent le cas de présence de singularité périodique (Macro- textures). Ils ont montré que l’écoulement dans ce cas peut être caractérisé par le ratio de l’épaisseur du film à la largeur du motif périodique (longueur d’onde) de la singularité. Les effets d’inertie peuvent alors être négligés si le rapport est très inférieur à 1.
Dans le cas d’un joint à rainures hélicoïdales, la largeur du motif périodique est égale à la largeur cumulée d’une crête et d’une rainure. La condition pour satisfaire l’hypothèse n°6 peut s’écrire alors comme suit :
4
@
≪ 1
[II-3]Dans ce cas, les effets d’inertie sont négligeables et l’écoulement peut être décrit par le nombre de Reynolds.
Figure II.4 Différence relative de pression calculée par les deux méthodes Navier Stokes et la théorie des films minces de Reynolds [DOB08]
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48 En 2008, Dobrica et Fillon [DOB2008] ont présenté une charte qui permet de mieux caractériser la nature de l’écoulement en film mince, en présence de singularités géométriques. L’écoulement est caractérisé alors dans cette étude à travers le nombre de Reynolds et aussi par le rapport de la largeur d’une singularité sur sa profondeur, ou plus précisément le rapport : b/h. Dans la figure (II.4), ∆C représente l’écart relatif de deux champs de pression simulés numériquement, d’une part, par les équations de Navier-Stokes, et d’autre part, par la théorie des films minces. L’expression de ∆C est donnée par la formule suivante :
∆
C= D E
F8GH(();8IJ(()F
8=KLHMMH NOP
Q 7R
( [II-4]
Où STU*VWWV NO est la valeur moyenne des pressions positives de Navier-Stokes.
Selon cette étude, la zone de validité de la théorie de Reynolds dans laquelle on peut négliger les effets d’inertie est la zone 3. En dehors de cette zone (zone 1 et 2), les forces d’inertie deviennent prépondérantes, auquel cas, il faut recourir à des modèles mathématiques plus complets.
Dans les mêmes conditions, on peut remarquer que la courbure du film peut être négligée pour ce type d’application. Ceci permet de faire une représentation en coordonnées cartésiennes du domaine d’écoulement, et on parle alors de la forme développée du joint.
Dai et al [DAI92] ont présenté une étude comparative pour étudier les effets de la courbure du film. Ils ont donc étudié l’écoulement dans un palier lisse infini et excentré.
Trois modèles sont examinés à ce sujet :
• Le 1er modèle retient aussi bien les effets d’inertie que la courbure du film. Ce modèle est basé sur la résolution des équations de Navier-Stokes.
• Le 2ème modèle tient compte de la courbure du film, la résolution se fait par l’équation de Reynolds en coordonnées polaires.
• Le 3ème modèle est basé sur la résolution de la théorie des films minces (Eq. (II-1)). Le domaine est représenté par une forme développée en coordonnées cartésiennes.
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49 Les auteurs ont comparé les trois modèles en utilisant les conditions aux limites de Sommerfeld et Gümbel [FRE90]. Ils ont conclu que lorsque le rapport du jeu radial au rayon du palier tend vers 0, les solutions obtenues par les deux modèles (1 et 2) tendent vers la solution obtenue par la théorie des films minces de Reynolds.
En conclusion, la théorie des films minces peut être appliquée pour le calcul de l’étanchéité dans un joint à rainures hélicoïdales si les conditions ci-dessous sont réunies :
@4
≪ 1
[II-5]X
V≤ 200
[II-6]X
Y≤ 1
[II-7]≥ 10
[II-8] Les équations [II-1] permettent, après intégration, et compte-tenu de l’hypothèse n° 4, d’obtenir les deux composantes de vitesses comme suit :[(R, ], ^) = '('8_`C−bcdcdef +g ;gdc e`<+ hC [II-9]
i(R, ], ^) = '/'8_`C−bcdcdef +j ;jdc e`< + kC [II-10]
Avec les constantes d’intégrations suivantes :
`W(R, ], ^) = D3*e ((,l,/)lM 7 n=0,1 [II-11] mW(R, ^) = D33e ((,l,/)lM 7 n=0,1 [II-12]
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50 L’équation de conservation de la masse dans le cas stationnaire s’écrit :
'(n-)'(
+
'(no)'*+
'(n0)'/= 0
[II-13] Pour obtenir l’équation de Reynolds, l’équation de conservation de la masse est intégrée au travers de l’épaisseur du film, ce qui permet d’éliminer la différentiation du terme qui porte sur la composante des vitesses suivant l’épaisseur du film.L’équation ainsi obtenue est définie comme étant l’équation des films minces généralisée et s’écrit comme suit :
' '(pq (3 ;3e)r'8 '(s + ' '/pq (3 ;3e)r'8 '/s = 6 ' '(uq(hC+ h5)(v5− vC)w − 12qxC '3 '( + 12qhC'3'(e+ 6'/' uq(kC+ k5)(v5− vC)w − 12qk5'3'/ + 12qkC'3'/e+ 12q(x5+ xC) [II-14]
Cette équation peut se simplifier davantage par un simple changement de repère de façon à ce que la paroi inférieure soit prise comme origine de mesure de l’épaisseur. La paroi supérieure sera prise comme origine des vitesses. Dans ce cas, l’équation (II-4) prend la forme simplifiée de l’équation de Reynolds suivante :