Chapitre IV. Aspect thermique de l’écoulement dans un joint à rainures hélicoïdales
IV.2 MODELE THERMIQUE GLOBAL DANS UN JOINT A RAINURES
La méthode du bilan thermique global consiste à déterminer une température moyenne du film fluide. Cette température est obtenue en équilibrant, de façon graduelle, le flux de chaleur produit au sein du fluide par dissipation visqueuse avec celui évacué à travers les constituants du joint vers le milieu extérieur.
Chapitre IV. Aspect thermique de l’é
Pour se rapprocher de la s configuration pour laquelle le cylindriques coaxiales et creus le jeu radial.
L’arbre est sous forme d’un intérieur (coté air) et extérieur matériau que l’arbre, son rayo rayon extérieur est noté Rext.
Figure IV.1 Schéma de T’1 : température de la surf supérieure du coussinet T1 : température de la surfac inférieure du coussinet T : température du fluide T2 : températurede la surfac supérieure de l’arbre T’2 : température de la surfa inférieure de l’arbre
l’écoulement dans un joint à rainures hélicoïdales
situation de fonctionnement réel du joint, le joint est formé par l’assemblage de deux p uses. On suppose que le fluide occupe le vide a
un cylindre creux parfaitement lisse. Rint et
eur de l’arbre (coté fluide). Le coussinet est réa ayon intérieur est sensiblement égal au rayon
de configuration typique d’un joint à rainures h Rint R Rext T0 urface rface face rface Cous Fluid Arbr T0 99 int, on considère la parties parfaitement e annulaire formé par
et R sont les rayons réalisé dans le même on du joint (R). Son
es hélicoïdales oussinet
uide
Chapitre IV. Aspect thermique de l’écoulement dans un joint à rainures hélicoïdales 100
Pour pouvoir appliquer la méthode du bilan thermique global à notre cas d’étude, nous devons faire un certain nombre d’hypothèses au préalable. Ces hypothèses doivent nous permettre de simplifier l’écriture des différents flux de chaleur qui peuvent intervenir au cours du fonctionnement.
IV.2.1 Hypothèses du modèle Thermique Global
Pour la formulation du modèle thermique global d’un joint à rainures hélicoïdales nous avons émis les hypothèses suivantes :
- De par la nature du fonctionnement du joint, l’étanchéité est satisfaite lorsque le débit axial est nul, ce qui signifie alors que le joint devient parfaitement étanche. En réalité, ce débit s’annule en moyenne sur la circonférence du joint et, notamment, du côté où la pression à étancher est appliquée. Cette considération induit l’existence d’un débit de recyclage axiale du fluide dans le joint. Les deux écoulements (entrant et sortant) n’ont pas forcément la même température moyenne, on peut dire qu’il peut y avoir un échange thermique lié à la capacité calorifique du fluide. Pour éviter cette situation, nous admettons que les températures du fluide des deux côtés s’équilibrent après un certain temps de fonctionnement.
- La température ambiante est une des données du problème et ne subit aucun changement. Ceci implique que l’environnement du joint est suffisamment ventilé avec de l’air conditionné en température et qu’il est maintenu à une valeur de température fixe T0 de 20°C.
- Les surfaces transversales de l’arbre et du coussinet seront considérées comme des surfaces adiabatiques, aucun flux de chaleur n’est envisageable par ces deux surfaces.
- Nous admettons qu’à l’équilibre thermique, la chaleur produite par dissipation visqueuse est entièrement évacuée par la surface latérale interne et externe du joint.
- Le fluide d’étanchéité utilisé dans cette étude thermique est une huile moteur (Total Activa 5000) dont la loi de variation de la viscosité dynamique est donnée par la loi de Reynolds modifiée suivante :
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‚(à) = ‚
<exp (− (à − à
<)) + ‚
[IV-1]T0 = 20°C : La température de référence
µ0 = 0.27064 Pa.s : La viscosité dynamique à 20°C
β = 0,051 °C-1 : Le coefficient de thermoviscosité
µC = 3.5 10-4 Pa.s : Viscosité dynamique critique (T=150°C)
La figure IV-2 représente la courbe de variation de la viscosité dynamique en fonction de la température. La courbe est tracée selon la loi exponentielle exprimée par l’équation (IV-1).
Figure IV.2 Variation de la viscosité dynamique en fonction de la température.
Dans ces conditions, le bilan thermique global du joint traduit l’équilibre des échanges thermiques de trois systèmes distincts. Il s’agit de l’arbre creux, le coussinet et le lubrifiant.
IV.2.2 Système thermique 1 - Arbre creux
Le noyau du joint étant supposé sous forme d’un cylindre isochore creux dont la surface supérieure est en contact direct avec le lubrifiant, la surface inférieure du rayon Rint est supposée suffisamment ventilée par l’air ambiant. A l’équilibre, le flux reçu par convection (contact lubrifiant/surface interne arbre creux) qui se fait à travers la surface latérale d’air
2ÉX Š ,
est totalement transféré par conduction dans l’épaisseur de l’arbre vers la surface externe en contact, ce qui permet d’écrire :0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 V is co si té ( P a .s ) Température (°C)
Chapitre IV. Aspect thermique de l’écoulement dans un joint à rainures hélicoïdales 102
2ÉX Š ℎ
C(à − à
5) = 2 É á Š
äå (â ;âã·Mæ
ç ) [IV-2]
Le flux émis par convection (contact surface externe arbre creux /air ambiant) est donné par :
2 É á Š
à2−à′2ln (X Xç Ÿ•‹)
= 2 É X¥W• Š ℎ5(àã5− à<) [IV-3]
avec :
h1 : le coefficient de convection thermique lubrifiant/joint
h2 : le coefficient de convection thermique arbre/air ambiant
λ : Le coefficient de conductivité thermique du matériau du joint
L : longueur utile du joint
T2 : La température de la surface supérieure de l’arbre (côté fluide)
T’2 : La température de la surface inférieure de l’arbre (côté air ambiant)
T0 : Température de l’air ambiant
T : La température du fluide
IV.2.3 Système thermique 2 - Coussinet
Le flux reçu par convection (contact lubrifiant/surface interne coussinet) transféré par conduction dans la masse du coussinet vers la surface externe s’écrit pour le coussinet :
2ÉX Š ℎ
C(à − à
C) = 2 É á Š
äå pâe;âãX‘R‹eé s
[IV-4]
Le flux émis par convection (contact surface externe arbre creux /air ambiant) est donné par :
2 É á Š
âe;âãeäå pX‘R‹é s
= 2 É
X‘R‹Š ℎ
5(à
ãC− à
<)
[IV-5]Avec :
T1 : La température de la surface inférieure du coussinet (côté fluide)
T’1 : La température de la surface supérieure du coussinet (côté air)
IV.2.4 Système thermique 3 – Lubrifiant
L’équilibre du flux généré par frottement visqueux au sein du fluide et des flux transférés par convection « fluide/surface externe de l’arbre » et « fluide/surface interne du coussinet » s’écrit:
Chapitre IV. Aspect thermique de l’écoulement dans un joint à rainures hélicoïdales 103
où :
c : le couple du frottement sur l’arbre
ω : la vitesse angulaire de rotation de l’arbre
IV.2.5 Equilibre thermique global
Le bilan fait ressortir cinq équations linéaires à cinq inconnues que nous écrivons sous la forme matricielle suivante :
ê ë ë ë ë ë ë ë ìíîïðñò ó ó −íîïðñò− íîôð õö p ïï÷øùs íîôð õö p ïï÷øùs íîïðñò ó ó −íîïðñò −íîï÷øùðñí íîïðñò −íîïðñò− íîôð/õö (ïûüùï ) íîôð/õö (ïûüùï ) ó ó íîïðñò −íîïðñò −íîïûüùðñí ó ó ýîïðñò −íîïðñò ó −íîïðñò ó þ ê ë ë ë ë ë ë ë ì ò ′ò í ′íþ = ê ë ë ë ë ë ë ë ì ó −íîï÷øù ðñí ó ó −íîïûüù ðñí ó ω þ [IV-7] La résolution de ce système permet de retrouver les 5 températures. La première inconnue T correspond à la température du fluide d’étanchéité. Cette nouvelle température permet de calculer une nouvelle viscosité (équation [IV-1] ).
IV.2.6 Algorithme de résolution du modèle thermique global
Afin d’aboutir à un processus convergent, nous procédons aux calculs en boucle de la température et de la longueur d’étanchéité correspondante. Pour chaque boucle un pourcentage sera retenu de la température calculée et sera utilisé pour l’actualisation de la viscosité jusqu’à la stabilisation de la température du fluide.
ॠC = à¥;C+ %ॠ[IV-8] avec :
Ti+1 : Température retenue pour l’itération i+1
Ti : Température calculée
Ti-1 : Température de l’itération d’avant
Chapitre IV. Aspect thermique de l’écoulement dans un joint à rainures hélicoïdales 104
Figure IV.3 Algorithme du calcul thermique global