Dans cette partie, nous considérons le traitement eectif du couplage entre le uide et la structure. Ce couplage a les mêmes caractéristiques, qu'il s'agisse d'un problème aéroélastique, hydroélastique, ou toute autre interaction uide-structure. Nous revien drons d'abord sur les aspects physiques de ce couplage, puis nous présenterons l'en semble des méthodes numériques disponibles. En n, un algorithme simple et général sera présenté en détail.
2.3.1 Aspects physiques de l'interaction
Le couplage peut être vu comme un cycle d'interaction ou d'échanges entre le uide et la structure. Ces échanges de quantité de mouvement et d'énergie ont lieu à chaque instant et sans délai. Les déplacements de l'interface uide-structure induisent immédiatement une modi cation de l'écoulement. Réciproquement, une variation de la pression du uide entraîne une variation dans les forces appliquées à la structure, ce qui modi e sont mouvement. On dit que le uide et la structure sont couplés. On comprend aussi que ce couplage est particulier, car il intervient au bord des deux sous-sytèmes. Ce n'est pas le cas par exemple de l'écoulement d'un mélange de gaz (non réactifs): dans ce cas, les champs de fraction massique des deux gaz sont couplés dans l'ensemble de l'écoulement.
Presque toutes les méthodes utilisées en aéroélasticité utilisent la notion de cycle d'interaction. L'idée sous-jacente est en fait l'intégration temporelle décalée des deux sous-systèmes. On comprend d'ailleurs que l'intégration simultanée du uide et de la structure est très di cile en général, puisque la position du maillage du domaine uide (et toutes les grandeurs géométriques) deviennent alors des inconnues du problème. Les coûts de calculs induits sont rapidement prohibitifs [60]. Les méthodes ALE peuvent permettre une intégration simultanée (grâce à la séparation entre ux Lagrangiens et termes convectifs) au prix d'une faible précision qui nécessite l'emploi de faibles pas de temps. Les autres algorithmes peuvent être résumés ainsi:
Pn 1 =)S n+1 2 ;!I n+1 3 =)M n+1 4 =)F n+1 5 ;!P n+1 6 =)S n+2
Dans le schéma précédent, les exposants sont relatifs au numéro du pas de temps courant (cette convention vaut pour l'ensemble de cette thèse). Respectivement, P,
S, I, M et F représentent la distribution des pressions exercées par le uide sur la structure, l'état de la structure, la position de l'interface uide-structure, le maillage du domaine uide et le champ de vecteurs des variables conservatives dans le uide. D'une part, les èches épaisses =) représentent des calculs plutôt lourds. C'est
2.3. Traitement de l'interaction uide-structure 33 le cas de l'intégration de la structure du temps tn au temps tn+1 (
1
=)), du calcul
d'un nouveau maillage uide Mn+1 lorsque la position In+1 de l'interface est connue
( 3
=)) ou de l'intégration du uide sur le pas de temps ( 4
=)). D'autre part, les èches
simples ;! représentent des calculs très légers, comme l'obtention de l'interface
uide-structure lorsqu'on connaît la position de la structure ( 2
=)) ou l'obtention des
forces de pression Pn+1 lorsque l'écoulement est connu ( 5
=)).
Le schéma précédent est applicable à de nombreux systèmes physiques [70], et no tamment à tous les problèmes aérodynamiques. Mais il est assez universel. Pour des con gurations où la structure est xée, seule la phase 4 est exécutée. L'algorithme donne alors la solution stationnaire de l'écoulement autour de la structure. Pour des calculs où la structure est animée d'un mouvement rigide, la phase 1 est très allégée, puisque le nombre de degrés de liberté est faible. En n, cette méthode s'applique exac tement de la même manière aux problèmes stationnaires d'interaction uide-structure, pour lesquels des schémas implicites utilisant de grands pas de temps peuvent être em ployés. C'est la cas par exemple de la détermination de la déformation d'un panneau exible dans un écoulement permanent. Les versions pour une structure rigide puis déformable d'un même problème stationnaire sont présentées sur la Figure 2.5.
Fig. 2.5 Solutions stationnaires de l'écoulement autour d'un panneau rigide et d'un
panneau exible.
On peut remarquer que, dans chaque phase du schéma présenté, le système qui n'est pas concerné est supposé constant. Ainsi, on intègre la structure d'abord, puis le uide. Ils sont donc très certainement un peu décalés. Il n'est d'ailleurs pas évident de comprendre dans quel sens ce fait ce décalage. La structure, intégrée en premier, semble être en avance sur le uide. Par contre, comme elle est intégrée sous l'action de forces de pression qui datent un peu, on peut penser qu'elle est en retard.
De manière générale, ces considérations sont mises de côté, car des pas de temps très faibles sont utilisés. Un autre choix possible consiste à intégrer le uide avant la structure, ce qui est plutôt plus populaire chez les aérodynamiciens. Cet autre algorithme a l'allure suivante:
Mn 1 =)F n+1 2 ;!P n+1 3 =)S n+1 4 ;!I n+1 5 =)M n+1 6 =)F n+2 (2.53)
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Chapitre 2. Méthodes numériques pour l'aéroélasticité
La diérence entre cet algorithme et le premier ne se limite pas à un changement d'indice. Il ya un changement dans l'ordre de mise à jour des variables. Nous verrons dans la prochaine partie, que cet ordre peut être déterminant.
Deux remarques pour terminer. D'abord, il peut paraître surprenant que l'on ne dispose que de ces algorithmes décalés, qui permettent l'intégration en boîte noire du uide et de la structure par des méthodes qui ont déjà fait leurs preuves dans les domaines séparés de la mécanique des uides et de la dynamique des structures. On a vu que les méthodes ALE permettent une prise en compte très précise du couplage à l'interface, mais que ceci ce fait au détriment de la précision ou du temps de calcul.
Ensuite, on a déjà remarqué que l'intégration simultanée des deux champs est en gé néral irréalisable. Il faudrait en eet disposer de fonctions particulièrement complexes donnant explicitement l'in uence d'une structure sur un écoulement, ou réciproque ment le champ de pression d'un uide autour d'une forme. Dans certains cas, ces fonctions (ou des approximations de ces fonctions) sont disponibles. Elles permettent de réduire un problème couplé à un problème simple avec terme source explicite.
Par exemple, Lottati [52], dans une étude sur l'in uence des amortissements aéro dynamique et structurel sur le comportement aéroélastique d'ailes d'avion, utilise une formule approchée qui donne les forces de pression exercées sur les parois en fonction de la fréquence d'oscillation de l'aile. Dans [49], Lin et al. ont étudié le ottement de plaques en utilisant un modèle potentiel linéarisé (dérivé de la théorie de la surface portante et de la méthode des doublets [17]) pour des écoulements subsoniques. Ainsi, ils obtiennent une équation du type
v(~x)
u1 = 18 Z
surfCp(~xs):K(~x; ~xs)d~xs; (2.54)
qui donne l'expression de la vitesse verticale du uide autour d'une aile en fonction du champ de pression (K est un noyau donnant la vitesse verticale en ~x induite par une impulsion donnée en ~xs).
Sarma et Varadan ont [67] ont étudié le ottement non-linéaire d'un panneau sous un écoulement supersonique, en utilisant la théorie quasistatique des écoulements su personiques [11]. Ils se sont servi d'une expression réciproque de (2.54), comme la suivante (oùM1 est le nombre de Mach à l'in ni):
Cp = 0 @ ;2 q M2 1 ;1 1 A " @v @x + 1u1 M2 1 ;2 M2 1 ;1 ! @v @t # : (2.55) Ces arti ces permettent d'éviter de véritables simulations numériques de couplages. Ils ne s'appliquent que dans des cas très particuliers, bien loin des con gurations com plexes que nous voudrions simuler, comme, par exemple, le ottement d'une structure dans un écoulement transsonique (les phénomènes non-linéaires sont alors prépondé rants).
En somme, on a vu que toutes les méthodes utilisées sont assez rudimentaires. Dans la pratique, seules les méthodes décalées sont utilisées. De plus, l'emploi d'un
2.4. Modèles et méthodes pour la structure. 35