2.2 Modèles et méthodes pour le uide
2.2.3 Méthodes ALE
La formulation arbitrairement Lagrangienne-Eulérienne (ALE) a été construite pour éviter les inconvénients des deux approches purement Lagrangienne et Eulé rienne [20]. D'une part, l'approche Lagrangienne est assez e cace pour la description cinématique du uide dans certains problèmes hydroélastiques [19], mais se révèle ine cace lorsque l'écoulement devient complexe et impossible à suivre sur une durée assez longue. D'autre part, la formulation purement Eulérienne permet di cilement de suivre avec précision ce qui se passe dans le uide le long de l'interface uide-structure. Ainsi, on aimerait réaliser le mélange parfait entre une approche Lagrangienne le long de la structure et une approche Eulérienne à l'intérieur du domaine uide.
Le principe de base de la formulation ALE consiste à adopter une approche hybride, qui peut revêtir un aspect Lagrangien ou Eulérien à la demande. Dans une approche purement Lagrangienne, notre point de vue est lié à une particule dans l'écoulement. Dans une approche purement Eulérienne, notre point de vue est celui du laboratoire physique. Dans une approche ALE, notre point de vue est lié à un maillage mobile imaginaire du domaine uide. Appelons ~w la vitesse de ce maillage. Elle n'est pas forcément nulle (comme dans une approche Eulérienne) ni égale à la vitesse du uide (comme dans une approche Lagrangienne). Elle peut varier arbitrairement et continû ment d'une valeur à l'autre.
Dans la suite, nous présentons en détail la formulation ALE d'un problème aé roélastique et l'algorithme le plus couramment utilisé (cf [20]). Nous terminons avec une discussion sur la méthode proposée, qui, rappelons-le, dérive historiquement de problèmes hydroélastiques (où l'approche Lagrangienne est préférée).
Formulation
:Dans la suite, les coordonnées physiques dans le repère du laboratoire sont notées ~x.
Nous utiliserons également des coordonnées Lagrangiennes liés au uide, notées~a. Une dérivation où~a est xé correspond à une dérivée particulaire (en suivant une particule uide dans son mouvement).
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Chapitre 2. Méthodes numériques pour l'aéroélasticité
la considérera comme une fonction du temps et des coordonnées Lagrangiennes (~a;t). La notationg sera réservée à l'approche Eulérienne, où l'on verra la grandeur comme une fonction du temps et des coordonnées dans le repère du laboratoire (~x;t).La formulation ALE utilise des coordonnées mixtes. On peut dire qu'elles dépendent
des coordonnées Lagrangiennes (~a;t) et seront notées
;!
=;!
(~a;t) (2.24)
Pour simpli er les écritures, on a écrit ~ à la place de e
~. On dé nit le Jacobien et la vitesse des variables mixtes par
e J(~a;t) = det 0 @@~ @~a t(~a;t) 1 A (2.25) e ~w(~a;t) = @~@t ~a(~a;t); (2.26)
où une variable en indice signi e qu'elle a été maintenue constante pour une déri vation. Cette description arbitrairement Lagrangienne-Eulérienne est résumée sur la Figure 2.4. Z a V o V(t) ξ x(a,t) (a,t) X Y G(t) − V : domaine fluide a t=0 0
−G(t) : espace des coordonnées mixtes − V(t) : domaine fluide
Fig. 2.4 Variables Lagrangiennes, Eulériennes et mixtes pour les méthodes ALE. Pour présenter la formulation ALE, nous avons aussi besoin du passage des coor
données Lagrangiennes aux coordonnées physiques Eulériennes. On de nit pour toute fonction ~g des coordonnées Lagrangiennes, la fonction g des coordonnées physiques par:
2.2. Modèles et méthodes pour le uide 23 Réciproquement, pour toute fonction Eulérienne g, on dé nit la fonction ~gdes variables Lagrangiennes par:
~
g(~a;t) = g(~x;t) où ~x est donné par: ~x =~(~a;t): (2.28) Pour ces deux correspondances réciproques, nous avons l'identité
g(~(~a;t);t) = ~g(~a;t): (2.29)
Nous énonçons maintenant deux lemmes généraux assez simples et purement algé
briques. On trouvera dans la suite les démonstrations de lemmes similaires (Lemme 3 et Lemme 4). Le premier lemme donne une équation diérentielle pour l'évolution du Jacobien mixte Jede ni plus haut.
Lemme 1
Jeest solution de l'equation diérentielle:@Je @t ~a(~a;t) = e J(~a;t)div~(~w) ~(~a;t);t : (2.30)
Le deuxième lemme nous donne une relation entre les dérivées temporelles Lagran giennes (à coordonnées~a xées) et Eulériennes (à coordonnées~x xées) d'une grandeur scalaire quelconque.
Lemme 2
Soit g une grandeur scalaire su samment régulière, on a@(Je e g) @t ~a(~a;t) = e J(~a;t) 2 4@g @t ~+div~(g~w) 3 5 ~(~a;t);t : (2.31) On remarquera que le premier lemme est une application du second avec g = 1. Physiquement, le premier lemme correspond à une conservation du volume, alors que le second correspond à la conservation d'une grandeur volumique quelconque g.
Considérons le vecteur des variables conservatives Qdé ni en (2.3) comme une fonc
tion des variables Eulériennes, et la fonction Lagrangienne correspondante ~Q dé nie en (2.28). Le lemme précédent peut être appliqué à chaque composante de ~Q. Comme
Q est solution des équations d'Euler, on obtient la formulation ALE suivante:
@(JeQe) @t ~a(~a;t) + e J(~a;t)div~x h ( F;G);Q ~w i ~(~a;t);t = 0: (2.32)
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Chapitre 2. Méthodes numériques pour l'aéroélasticité
qui peut être développée en:8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : @(Je e ) @t ~a(~a;t) + e J(~a;t) h div~x (~v; ~w) i ~(~a;t);t = 0; @(Je f u) @t ~a(~a;t) + e J(~a;t) h div~x u(~v; ~w) + Px i ~(~a;t);t = 0; @(Je f v) @t ~a(~a;t) + e J(~a;t) h div~x v(~v; ~w) + Py i ~(~a;t);t = 0; @(JeEe) @t ~a(~a;t) + e J(~a;t) div~x E(~v; ~w) +P ~V ~(~a;t);t = 0: (2.33)
On peut facilement véri er que ces équations prennent la forme des équations de Lagrange pour le uide, lorsque ~w =~v, et se réduisent aux équations d'Euler classiques pour ~w =~0.
On peut au passage ontenir une formulation assez intéressante et concise. Si l'on
intègre l'équation (2.32) sur un élément de volume matériel (qui suit donc le uide au cours du temps), les dérivées temporelles peuvent être repoussées à l'extérieur des intégrales, et, après un changement de coordonnées de~a vers ~, on obtient:
@ @t Z V~(t) Q d~+Z V~(t) div~x (F;G)( Q);QW d~= 0: (2.34) On tirera plus tard avantage de cette formulation, d'où les coordonnées matérielles ont presque totalement disparu (néanmoins, il faut se rappeler que les intégrales sont faites sur un domaine matériel bougeant avec le uide). Cette formulation est en eet utilisée dans les méthodes à maillage dynamique.
Algorithme
:L'algorithme utilisé couramment avec les méthodes purement ALE est vraiment particulier, et assez diérent des autres algorithmes utilisés pour simuler une interac tion uide-structure. Même si la formulation générale est proche de celle des méthodes à maillage dynamique, l'intégration en temps se fait en deux temps, dont l'un est plutôt Lagrangien, et empêche l'utilisation d'un schéma global décentré. Ce type de méthode a été historiquement conçu par des mécaniciens des structures, habitués aux équations sous forme Lagrangienne, contrairement aux méthodes à maillage dynamique élabo rées par des mécaniciens des uides, habitués aux formulations Eulériennes. Cette formulation a cependant l'avantage de traiter avec précision l'intégration simultanée des actions mutuelles du uide et de la structure [20].
2.2. Modèles et méthodes pour le uide 25
Dans un premier temps, on traite de la partie Lagrangienne de tous les ux. On
calcule les vitesses Lagrangiennes près de l'interface uide-structure, ce qui permet un bon traitement de l'interaction. En supposant que ~w = ~v, on calcule la partie Lagrangienne de la seconde intégrale de (2.34). Cette phase peut même être faite avec un schéma implicite et en parallèle avec l'évolution de la structure lors d'une simulation uide-structure.
Dans un second temps, on calcule le reste des termes. Connaissant le mouvement de
la structure, on met à jour l'ensemble du maillage uide par un algorithme du type de ceux que l'on a déjà présentés en (2.12) et (2.13). Pour cela, on doit choisir un champ de vitesses ~w. On doit également corriger les termes Lagrangiens calculés plus haut et rajouter les termes purement convectifs.
Avantages et inconvénients
:Les méthodes ALE ont clairement plusieurs avantages. D'abord, elles utilisent des équations plutôt simples, lorsqu'on les compare aux méthodes présentés plus haut. La seule complexité ajoutée provient des Jacobiens des coordonnées mixtes. De plus, ces méthodes peuvent être appliquées avec tout type de géométrie, puisqu'aucune forme particulière du maillage n'est requise. En n, la séparation en deux sous-pas, dont l'un est purement Lagrangien, permet de faire jouer au uide et à la structure le même rôle près de leur interface, ce qui devrait respecter avec une très grande précision le principe d'action et de réaction. Cependant, cette formulation n'est pas optimale, puisqu'elle ne s'aranchit pas de certaines di cultés liées aux formulations Lagrangiennes. De plus, la séparation en deux sous-pas nous oblige à utiliser un pas de temps très petit pour obtenir des résultats précis. En n, ce genre de méthodes ne permet pas d'utiliser l'ensemble des schémas décentrés dont on dispose.
En somme, la di culté de la simulation a été transférée du lieu de l'interaction uide-structure (l'interface) à l'intérieur du uide, où un splitting entre ux Lagran giens et Eulériens a été fait. Nous allons maintenant nous intéresser aux méthodes à maillage dynamique, plus proches des approches purement Eulériennes.