Traitement d’image lorsque les disques sont confondus

Dans certaines configurations d’interaction entre deux corps, il peut arriver que les disques se cachent l’un l’autre (figure 2.6a). La d´etermination des centres de gravit´e et des orientations pour chaque disque est alors plus complexe. Pour ce faire, nous avons d´evelopp´e une m´ethode en deux ´etapes. Dans un premier temps, la r´egion d´etect´ee est s´epar´ee en deux parties correspondant chacune `

a un disque, puis, le centre de gravit´e et l’orientation de chaque disque sont calcul´es.

La figure2.6a pr´esente une image de deux disques dont les projections sont partiellement superpo- s´ees. L’image est tout d’abord binaris´ee (figure2.6b). Pour la premi`ere ´etape de s´eparation des disques, on cherche les points du contour appartenant `a chaque disque. Pour cela on construit, `a partir des points du contour de l’ensemble, deux vecteurs tangents au contour (de longueur 10 pixel) et s´epar´es de 3 pixels (figure2.6c). Pour une position donn´ee des deux vecteurs, on calcule leur produit vectoriel. Puis, on d´eplace les deux vecteurs d’un pixel sur le contour et on renouvelle l’op´eration. On obtient ainsi la valeur du produit vectoriel entre les deux vecteurs pour chaque point du contour. Un produit vectoriel maximum correspond `a un minimun du rayon de courbure du contour et au passage d’un corps `a un autre. On peut ainsi retrouver les deux points du contour communs aux deux corps (figure

2.6c). La droite reliant ces deux points permet de s´eparer deux ensembles correspondant chacun `a un disque (figure2.6d).

La deuxi`eme ´etape est la reconstruction des centres de gravit´e et de l’orientation des corps. La partie visible des corps ´etant tr`es variable suivant les cas, on utilise donc diff´erentes techniques en fonction des situations. Afin de savoir quelle portion du corps est visible, on d´etecte le nombre d’angles

0 20 40 60 −15 0 15 30 U z corps/camera U_z chariot U z corps t (s) V ites ses v er tic a les (mm/ s)

Figure 2.5 – Obtention de la vitesse verticale d’un disque dans le rep`ere du laboratoire (χ = 10, Re = 235, d = 15 mm, Um = 16, 0 mm.s−1).

Figure 2.6 – Exemple de traitement d’image pour la d´etermination des centres de gravit´e et de l’inclinaison de deux disques, dont les projections sont partiellement superpos´ees (χ = 6, Re = 125, d = 8, 4 mm, Um= 14, 9 mm.s−1).

2.2. TRAJECTOGRAPHIE TRIDIMENSIONNELLE 31 −35 −30 −25 −20 −15 (a) X , Y (mm ) X₁ Y1 X2 Y2 40 45 50 55 60 65 70 −35 −30 −25 −20 −15 (b) t (s) X , Y (mm ) X₁ Y₁ X₂ Y2

Figure2.7 – Cas de deux corps qui sont confondus : ´evolutions temporelles des coordonn´ees horizon- tales des centres de gravit´e obtenues (a) apr`es traitement d’image, (b) apr`es interpolation des donn´ees manquantes (χ = 10, Re = 115, d = 9 mm, Um= 13, 2 mm.s−1).

apparents pour chaque corps. Ceci est r´ealis´e avec une m´ethode similaire `a la pr´ec´edente, c’est-`a-dire en construisant pour chaque disque deux vecteurs tangents au contour qui se suivent. On calcule ensuite, pour chaque position des vecteurs, leur produit scalaire. Lorsque celui-ci passe par une valeur inf´erieure `a un seuil, cela signifie qu’ils sont de part et d’autre d’un angle du disque. Si l’on d´etecte trois ou quatre angles, on consid`ere que l’on voit une partie suffisante du corps pour interpoler la portion de contour par une ellipse. L’interpolation est effectu´ee par une m´ethode des moindres carr´ees (Fitzgibbon & Fisher,1999). On peut alors obtenir le centre de gravit´e de l’ellipse et la direction de son petit axe, qui donnent respectivement le centre de gravit´e du corps ainsi que son inclinaison. Le centre de l’ellipse ainsi que les positions extr´emales du grand axe et du petit axe sont trac´es sur la figure

2.6e pour le disque du bas. Si l’on d´etecte seulement deux angles, la m´ethode d’interpolation par une ellipse n’est plus appropri´ee. On trace alors la m´ediatrice entre les points du contour correspondant aux arˆetes de plus grande longueur, comme pour le disque du haut sur la figure 2.6e. L’angle de cette m´ediatrice avec l’horizontale donne l’inclinaison du corps. Il reste `a positionner le centre de gravit´e. On utilise pour cela l’´equivalence pixel-mm et les caract´eristiques g´eom´etriques du corps, diam`etre d et hauteur h. Le centre de gravit´e est donc situ´e sur la m´ediatrice `a une distance d/2 du plus petit cot´e du corps. Si l’on voit moins de deux angles, nous avons consid´er´e que nous ne pouvions pas reconstituer correctement la position du corps et que nous perdions les informations pour cette image. Il est d´elicat de d´efinir une pr´ecision de cette m´ethode car les positions relatives entre les deux corps et la position des corps par rapport aux cam´eras ne sont pas contrˆol´ees. On peut mˆeme avoir des cas dans lesquels un disque cache compl`etement l’autre. Nous avons donc pr´ef´er´e v´erifier a posteriori la

Figure 2.8 – Exemple d’image d’un disque en g´eom´etrie confin´ee (χ = 3, Re(S = 0) = 215, d = 9, 15 mm, Um(S = 0) = 24, 0 mm.s−1, D = 25, 7 mm, rapport de confinement S = d/D = 0, 36).

pr´ecision pour chaque image. En effet, pour chaque paire d’image, la position verticale des corps est redondante, on peut donc v´erifier si l’on trouve bien la mˆeme coordonn´ee verticale pour les deux corps sur chaque cam´era. Nous avons ´elimin´e les images o`u la diff´erence des positions verticales donn´ees par les cam´eras ´etait sup´erieure `a 0,4 mm, c’est-`a-dire que nous tol´erons une pr´ecision sur la position pour un corps de ± 0,2 mm. Sur certaines images on consid´ere donc que l’on ne peut pas retouver la position ni l’inclinaison des disques, on perd donc en pr´ecision temporelle, comme sur les signaux de position pr´esent´ees figure2.7a. Il faut alors interpoler les signaux au niveau des points manquants pour reconstruire la trajectoire et l’orientation des corps. Nous avons utilis´e un polynˆome d’ordre 3 afin de raccorder la position et les d´eriv´ees (figure 2.7b), on proc`ede de mˆeme pour les signaux de l’inclinaison des disques. Un autre probl`eme qui peut se poser est l’affectation des donn´ees `a un disque plutˆot qu’`a l’autre. L`a encore, on peut utiliser l’information sur la cˆote z pour affecter les donn´ees au bon corps.