Démonstration. La démonstration est une simple application du cri-tère de Cauchy. SoitP
unune série absolument convergente. Puisque la sérieP
|un|converge, elle satisfait le critère de Cauchy : pour tout ε > 0, il existe un entierN(ε)satisfaisant
|un|+|un+1|+. . .|un+p|6ε, ∀p>0,∀n>N(ε). (3.1) Observons que, par l’inégalité de Minkowski, pour toutn,p>0, on a
|un+un+1+. . . un+p|6|un|+|un+1|+. . .|un+p|. (3.2) De (3.2) et (3.1), on obtient que, pour toutε > 0, il existe un entierN(ε) tel que
|un+un+1+. . . un+p|6ε ∀p>0,∀n>N(ε). Le condition de Cauchy est donc satisfaite pour la sérieP
un et nous pouvons conclure que cette série converge.
Exemple3.1.3. Puisque la sérieP 1
n(n+1) converge (cf. Exemple1.2.6), la série
X e2inθ n(n+1)
converge absolument quel que soitθ∈R. En particulier les séries X cos(nθ)
n(n+1) et X sin(nθ) n(n+1) convergent pour toutθ∈R.
Exemple3.1.4. La série harmoniqueP
1/ndiverge (cf. Théorème2.3.3).
Nous montrerons dans la suite que la série P
(−1)n+1/n converge.
Cela nous donne un exemple d’une série convergente qui ne converge pas absolument.
Définition3.1.5. Une série convergenteP
untelle queP
|un|diverge est ditesemi-convergente.
Pour décider si une sérieP
unest absolument convergente (et donc convergente) il faut, par définition, étudier la nature de la sérieP
|un|; celle-ci est une série à termes positifs. Pour cette raison nous nous penchons maintenant vers l’étude des séries à termes positifs.
19
3.2 s é r i e s à t e r m e s p o s i t i f s
3.2.1 Particularité des séries à termes positifs
Soit(un)une suite de nombresréelspositifs. Les sommes partielles Sn=u1+u2+· · ·+un
forment alors une suite croissante (Sn); ceci implique que limSn = supSn. On obtient
Proposition3.2.1. Une série à termes réels positifsP
unconverge (absolu-ment) si et seulement si les sommes partiellesSnde la série sont majorées et dans ce cas la somme de la série vautP∞
n=0un =supSn.
Évidemment pour une série à termes réels positifs, les notions de convergence et de convergence absolue coïncident.
3.2.2 Le critère de l’intégrale
Théorème 3.2.2 (Le critère de l’intégrale (Maclaurin-Cauchy)). Soit f une fonction réellepositive et décroissantesur[0,∞[.
La sérieP
f(n)diverge ou converge selon que la limiteL=limT
RT
0f(t)dt diverge ou converge. Dans ce dernier cas, on a :
L6 X∞ n=0
f(n)6L+f(0) (3.3)
Remarque 3.2.3. Si f est strictement décroissante les inégalités précé-dentes sont strictes.
Démonstration. Observons d’abord que L=lim
T
ZT 0
f(t)dt=supT ZT
0
f(t)dt
et donc cette limite est finie ou infinie selon que les intégralesRT
0f(t)dt sont majorées ou non.
Pour tout entiern, sit∈[n,n+1]on a f(n+1)6f(t)6f(n)
et donc
f(n+1)6 Zn+1
n
f(t)dt6f(n).
En additionnant membre à membre ces inégalités pourn=0,1,. . .,N on obtient
N+1X
n=1
f(n)6 ZN+1
0
f(t)dt6 XN n=0
f(n)
On voit alors que les sommes partielles PN+1
n=1 f(n)sont majorées si et seulement si les intégralesRT
0f(t)dtsont majorées. Dans ce cas, en posantS=P∞
n=0f(n), on a S−f(0)6L6S
3.2 s é r i e s à t e r m e s p o s i t i f s 21 Démonstration. On posef(t) = 1
1+t2. La fonctionf(t)est positive et strictement décroissante dans l’intervalle[1,∞[. Puisque
Tlim→∞
(Remarquons que, dans cet exemple, le rang du premier terme est égal à 1; pour cette raison, dans la formule 3.3, nous avons remplacé le termef(0)parf(1)).
Applications du critère de l’ intégrale : la fonction zeta Nous avons vu que la sérieP
n−sdiverge, sis61.
Nous allons donner une nouvelle preuve de cela et montrerons, en plus, queP
n−sconverge, sis > 1. Théorème3.2.5. La sérieP
n−sconverge sis > 1et diverge sis61. Démonstration. Sis60, la sérieP
n−sdiverge grossièrement.
Dorénavant soits > 0; la fonctionf(t) = t−sest alors décroissante sur l’intervallet > 0et
ZT critère de l’intégrale nous permet de dire que la sérieP
n−sconverge, sis > 1, et diverge, sis61.
On peut, toutefois, démontrer un résultat plus fort du théorème pré-cèdent. Soitzun nombre complexe ; nous avons :
|n−z|=
n−zconverge abso-lument si et seulement si le nombre complexezsatisfait<z > 1; ainsi sa somme
définit une fonction sur le domaine <z > 1; cette fonction — dite la fonction zeta de Riemann — joue un rôle important en théorie des nombres en vertu de son étroit lien avec la distribution des nombres premiers.
3.2.3 Comparaison des séries à termes positifs
Théorème3.2.6(Comparaison des séries à termes positifs). Soient(un) et(vn)deux suites à termes positifs :un>0,vn>0. Si on aun=O(vn), c’-à-d, si, à partir d’un certain rang, on a
un6Cvn,
pour une certaine constanteC > 0, alors Xvnconverge =⇒ X
unconverge ; donc X
undiverge =⇒ X
vndiverge.
Démonstration. Rappelons que, pour une série à termes positifs, la convergence de la série est équivalente au fait que les sommes par-tielles de la série soient majorées. On peut supposer, sans perte de généralité, queun6Cvn, pour toutn∈N.
Donc si les sommes partielles(PN
n=0vn)de la sérieP
vn sont majo-rées par M, celles de la série P
un, sont majorées parCM. Ceci dé-montre que, si la sérieP
vnconverge, alors la la sérieP
un converge aussi.
Corollaire3.2.7. Soient(un)et(vn)deux suites à termes positifs :un>0, vn>0. Si à partir d’un certain rang on a
C1vn6un6C2vn
pour certaines constantesC1,C2 > 0alors les séries P
un etP
vn ont la même nature.
Corollaire3.2.8. Soient(un)et(vn)deux suites à termes strictement posi-tifs :un> 0,vn> 0. Si
Deux séries dont les termes généraux satisfont les hypothèses des corollaires3.2.7et3.2.8sont ditescomparables. Dans la notation de Lan-dau, on écriraun∼Cvn, avecC6=0.
Exemple 3.2.9. La série P
log(1+1/n) diverge. En effet, il est facile de voir que log(1+1/n) > 2n1 . Puisque la série harmonique P
n−1 diverge, l’affirmation découle du théorème de comparaison des séries.
Exemple3.2.10. La sérieP
log(1+1/nk)converge pour toutk > 1. En effet, il est facile de voir que log(1+1/nk) < 1
nk. Puisque la série Pn−s converge pour tout s > 1, l’affirmation découle du théorème de comparaison des séries.
Exemple3.2.11. La sérieP√2n2+n
n7+1 converge car elle est comparable à la série convergenteP
n−3/2; en effet : lim√2n2+n
n7+1
.
n−3/2=2
3.3 e x e r c i c e s 23
3.3 e x e r c i c e s
Exercice3.1. Établir la nature des séries Xlogn
n , X 1
nlogn, X 1 n(logn)3. Exercice3.2. Étudier les séries de terme général
un=e−
√
n2+1 et vn= logna logan.
Exercice3.3. Dans chaque cas, étudier la nature des séries de terme généralun:
1. un= 1
pn3+1
2. un= 1
p3
n3+1
3. un= 1
(logn)k, k∈N+
4. un= 1
(logn)n
5. un=sin n n2+1
6. un=arctg 1 n2+n+1
7. un=ln
1+ 2 n(n+3)
8. un=e− 1+ 1
n n
9. un=1−cos π
√n
10. un=n1n−nn+11
Exercice3.4. (a) Montrer que pour toute suite (xn)n>1 d’entiers satisfaisant 06xn69, la sérieP
n>1xn10−n, converge vers un nombre réely∈[0,1].
(b) Montrer que pour tout nombre réely∈[0,1]il existe une suite(xn)n>1 d’entiers satisfaisant06xn69, telle queP∞
n>1xn10−n=y. Une telle suite est dite le développement decimale dey.
(c) Le développement decimale illimité d’un nombre réely∈[0,1]est dite périodiques’il a la forme
0,x1· · ·x`z1· · ·zpz1· · ·zpz1· · ·zp· · ·, (3.5) c’.-à-d. si, au but d’un certain temps, le mêmes chiffres se répètent indéfini-ment. Montrer que un nombre est rationnel si est seulement si son dévelop-pement decimale est périodique et déterminer une fraction représentant le nombre (3.5)
4
L E S C R I T È R E S D E C O N V E R G E N C E A B S O L U E
Le théorème de comparaison3.2.6étudié au Chapitre3est d’appli-cation très générale et variée ; déterminer une majoration précise des termes d’une séries pour démontrer, à l’aide de ce théorème, sa conver-gence absolue est un art qui, à l’occasion, peut s’avérer (être ?) assez subtil ; par contre, le comparaison d’une série à une série géométrique est un outil brut mais très efficace ; cette comparaison est au coeur des bien connuscritères de la racine et du rapportprésentés dans ce chapitre.
Pour les séries absolument convergentes, deux propriétés de la som-me d’un nombre fini de tersom-mes, la commutativité et la distributivité par rapport à la multiplication, restent valables : on verra, au § 4.3, que, si on permute l’ordre des termes d’une série absolument conver-gente, on ne change pas sa somme, et, au § 4.4, que, si on multiplie (à la Cauchy) deux séries absolument convergentes, on obtient une sé-rie dont la somme est égale au produit des sommes de deux sésé-ries données.
4.1 c r i t è r e d e l a r a c i n e o u r è g l e d e c a u c h y Proposition4.1.1(Critère de la racine). Soit(un)une suite.
(A) S’il existe un nombrer, avec06r < 1, tel que, à partir d’un certain rangN, on a
|un|1/n6r, ∀n > N, alors la sérieP
unest absolument convergente.
(B) S’il existe un nombrer > 1et une sous-suite(uni), pour laquelle, à partir d’un certain rangN, on ait
|uni|1/ni >r, , ∀i > N, alors la sérieP
unest grossièrement divergente.
Démonstration. (A) Pour0 6 r < 1, la série géométrique P
rn con-verge. Nos hypothèses impliquent que |un| 6 rn, pour tout n suffi-samment grand. Il suffit alors d’appliquer le théorème de comparai-son3.2.6.
(B) Pourr > 1nous avons limnrn = +∞. L’inégalité|uni|1/ni >r implique que |uni| > rni; par conséquent, on a limi|uni| = +∞. La condition limnun = 0, nécessaire pour la convergence de la série Pun, est donc violée, ce qui nous dit que la sérieP
un est grossière-ment divergente.
Théorème4.1.2 (Règle de Cauchy). Si la limiteρ = lim|un|1/n existe, alors
ρ < 1 =⇒ la série X
un est absolument convergente ; ρ > 1 =⇒ la série X
un est divergente.
Remarque :Le casρ=1ne permet aucune conclusion !
25
Démonstration. Supposonsρ < 1 et choisissons un réelρ0 avecρ <
ρ0< 1. Alors il existe un rangNtel que
|un|1/n< ρ0, ∀n > N.
En appliquant la Proposition4.1.1, nous concluons que la sérieP un
est absolument convergente.
Siρ > 1, choisissons un réelρ0avec1 < ρ0< ρ. À partir d’un certain rangNon|un|1/n> ρ0, ou bien|un|>(ρ0)n. Par la même proposition nous avons que la sérieP
un diverge grossièrement.
Exemple4.1.3. Par le critère de la racine, la série P con-verge, car nous avons
limn
Lemme 4.2.1 (Comparaison logarithmique). Soient (un) et(vn)deux suites de nombres réels strictement positifs. Si, à partir d’un certain rangN, on a
un+1
un 6 vn+1
vn , ∀n > N, (4.1)
alors il existe une constanteC > 0telle que un6Cvn , ∀n > N.
Démonstration. En multipliant terme à terme les inégalités (4.1), pour nallant deNàN+p−1, on a
Théorème4.2.2(Critère du rapport ou Règle de d’Alembert). Soit(un) une suite de nombres réels strictement positifs. Supposons que la limite
µ=limun+1 un
existe. Alors
µ < 1 =⇒ X
un est absolument convergente µ > 1 =⇒ X
un est divergente
Démonstration. Supposonsµ < 1et choisissons un réelµ0 ∈]µ ,1[. Il existe un rangNtel que
un+1 un
< µ0= (µ0)n+1
(µ0)n , ∀n > N.
4.3 p e r m u t a t i o n d e s t e r m e s d’u n e s é r i e 27 Le lemme 4.2.1 implique alors qu’il existe une constante C > 0 telle que 0 < un < C(µ0)n, pour tout n assez grand. Le Théorème 3.2.6 nous permet de conclure que la sérieP
un converge, car la série géo-métriqueP Cun >(µ0)n, oùCest une constante strictement positive. On obtient que limun= +∞, carµ0> 1, et, par conséquent, la sérieP
undiverge grossièrement.
Exemple 4.2.3. La série P
n!/nn se prête à une application facile du Critère du rapport. Si on poseun=n!/nn, on aun> 0et égale àL. Donc, toutes les fois où on peut appliquer le critère du rap-port, on pourrait également appliquer le critère de la racine. Néan-moins, l’exemple précédent montre bien que, dans certains cas, un critère peut être d’application un peu plus facile que l’autre.
4.2.1 Les critères de la racine et du rapport ne sont pas toujours concluants Que se passe-t-il quand, pour la sérieP
un, on a lim|un|1/n =1ou bien limun+1/un =1? En effet dans ce cas, les règles de la racine et du rapport ne permettent pas de déterminer la nature de la série.
Par exemple, nous savons que la série harmoniqueP
1/n diverge ; Par contre, la sérieP
1/n2converge ; si on poseun =1/n2, on a, dans la racine et du rapport ne sont pas concluants.On devra alors utiliser d’autres outils afin d’établir la nature de la sérieP
un. 4.3 p e r m u t a t i o n d e s t e r m e s d’u n e s é r i e Théorème 4.3.1. Soient P
un une série absolument convergente et S sa somme. Alors pour toute permutationπ deNla sérieP
uπ(n) est absolu-ment convergente de sommeS.
Démonstration. On fixeε > 0. Puisque la sérieP
unconverge abso-lument, le critère de Cauchy nous dit qu’il existe un entierNεtel que
|un|+|un+1|+· · ·+|un+p|< ε, sin>Nεetp>0. (4.2) ceci démontre que la sérieP
uπ(n)converge et que sa somme est égale àS.
Pour démontrer la convergence absolue de la série il suffit d’appli-quer ce que nous venons de démontrer à la sérieP
|un|.
4.4 p r o d u i t d e s é r i e s Définition4.4.1. Soient P
un etP
vn deux séries. La série de terme générale
wn=u0vn+u1vn−1+· · ·+un−1v1+unv0= X
i+j=n
uivj est dite lasérie produit à la Cauchy des sériesP
unetP vn. Théorème4.4.2. SoientP
unetP
vndeux séries absolument convergentes de somme, respectivement, S et T. La série de terme générale P
wn, pro-duit à la Cauchy des séries P
un et P
vn, est absolument convergente de sommeST.
4.4 p r o d u i t d e s é r i e s 29 Démonstration. Supposons que les termes des sériesP
un etP
wn converge et sa somme est égale àST.
Exemple4.4.4(La fonction exponentielle). Par le critère de d’Alembert la sérieP
zn/n! converge absolument, pour toutz∈C; on pose alors, exp(z) =
X∞ n=0
zn
n!, z∈C.
Nous allons montrer que cette fonction coïncide, sur l’axe réel, avec la fonction exponentielle t ∈ R 7→ et; pour cette raison elle est dite lafonction exponentielle complexeet, d’habitude, sa valeur enz ∈Cest notée
exp(z)ou bienez.
Démonstration. Le produit, à la Cauchy, des séries exp(z1) =P zn1/n!
En effet, le terme général du produit à la Cauchy des ces deux séries
où, dans la dernière égalité on a utilisé la formule du binôme. Nous voyons ainsi que lewn est le terme général de la série exp(z1+z2); par le théorème sur le produit des séries, on obtient
exp(z1)exp(z2) =exp(z1+z2). Montrons que la fonction
exp:z∈C7→exp(z) ce qui démontre que
h→0lim
exp(z+h) −exp(z)
h =exp(z).
En particulier nous avons obtenu que la fonction exp, restreinte à l’axe réel, satisfait
exp(0) =1, exp0(t) =exp(t), t∈R (4.5) cela nous dit qu’elle coïncide avec la fonction t ∈ R 7→ et, car cette fonction est la seule fonction réelle satisfaisant (4.5)
4.5 e x e r c i c e s
Exercice4.1. Dans chaque cas, étudier la nature des séries de terme général un:
4.5 e x e r c i c e s 31
5. un= 2·5·8 . . .(3n−1) 1·5·9 . . .(4n−3)
6. un= n 3n−1
2n−1
7. un= 2n−1 (√
2)n
8. un= 2n−1 (√
2)n
9. un= cos1
n n3
10. un= nlnn n!
11. un=n+3 2n+1
nlnn
12. un=
√3n 3n+1
Exercice4.2. Dans chaque cas, déterminer les valeurs des paramètresr,α, pour lesquels séries de terme généralun converge ou diverge.
1. un=nkrα, r > 0,α∈R
2. un= rn
nn, r>0
3. un= rn
n!, r>0
4. un= nsin(r/n)n
, r>0
5. un= 1
n(logn)r, r∈R
6. un= nr
n+1 n
, r>0
5
S É R I E S S E M I - C O N V E R G E N T E S
Dans les chapitres précédents nous avons étudiés des méthodes qui permettent d’établir la convergence absolue des séries. Dans ce cha-pitre nous introduisons quelques critères qui permettent de traiter les séries semi-convergentes, c’est à dire ces séries convergent mais qui ne convergent pas absolument.
5.1 s é r i e s a l t e r n é e s
Définition5.1.1. On dit que la série à termes réelsP
unestalternéesi ses termes successifs,unetun+1, sont de signe opposé, c’est-à-dire si, pour toutn∈N, on aunun+160.
Quitte à changer de signe aux termes d’une série alternéeP un, on peut supposer que les termes d’indice pair sont positifs et les termes d’indice impair sont négatifs, ce qui revient à dire queun= (−1)n|un|.
Théorème 5.1.2 (Règle de Leibniz). Soit P
un une série alternée. Si la suite des valeurs absolues|un|est unesuite décroissante vers zérola série Pun converge. Si Sdénote la somme de la série P
un etSn = Pn
i=0ui dénote sa somme partielle d’ordren, on a
06|S−Sn|6|un+1|.
ou, plus précisément,
Sn6S6Sn+1, siun+1>0, Sn+16S6Sn, siun+160.
Démonstration. Supposonsun = (−1)n|un|. Par hypothèse,|un+1|6
|un|et limun=0. Observons qu’on a
S2n+1=S2n+u2n+1=S2n−|u2n+1|6S2n;
donc les intervalles [S2n+1,S2n] sont non vides et de longueur qui converge vers zéro quandntend vers l’infini.
D’autre part, les sommes partielles d’ordre impair forment une suite croissante, car
S2n+1=S2n−1+u2n+u2n+1=S2n−1+|u2n|−|u2n+1|>S2n−1; par le même raisonnement les sommes partielles d’ordre pair forment une suite décroissante.
La suite d’intervalles[S2n+1,S2n]est donc formée d’intervalles non vides, emboîtés et de longueur convergeant vers zéro. Ceci implique que les limites limS2n+1 et limS2n existent et sont égales (cf. Cha-pitre 3). De plus cette limite communeS est le seul nombre réel ap-partenant à tous ces intervalles. On a donc démontré que la série P(−1)n|un|converge et sa sommeSsatisfait les encadrements
S2n+16S6S2n.
Le cas général s’obtient par changement de signe.
33
Remarque5.1.3. Dans ce théorème, si, en plus, la suite(|un|)est stricte-ment décroissante, toutes les inégalités énoncés par le théorème sont strictes.
Le théorème de Leibniz ci-dessus nous permet de produire de nom-breux exemples de séries semi-convergentes, (c.à.d. convergentes mais absolument divergentes).
Exemple5.1.4. La série1−13+15−17+· · ·+ (−1)n2n+11 +. . ., converge (on peut démontrer que sa somme est π/4). Elle est donc une série semi-convergente.
La série harmonique alternée Exemple5.1.5. La série
dite série harmonique alternée, converge et sa somme est log2.
Démonstration. Cette série converge car elle satisfait les hypothèse du Théorème5.1.2. Montrons que sa somme est log2.
On a alors démontré que les sommes partielles de rang pair,S2n, con-vergent vers log2; puisqueS2n+1=S2n+1/(2n+1) =S2n+o(1/n), les sommes partielles de rang impair, S2n+1, convergent aussi vers log2; en conclusion limSn=log2, ce qui termine la preuve.
1 Réviser la preuve du critère de l’intégral.
5.2 c r i t è r e s d e d i r i c h l e t e t d’a b e l 35
5.2 c r i t è r e s d e d i r i c h l e t e t d’a b e l
Théorème 5.2.1 (Critère de Dirichlet). Soit (an) une suite positive et décroissante vers zéro. SoitP
bnune séries dont la suite des sommes par-tielles estbornée. Alors, la série
Xanbn
converge.
Démonstration. Soit Bn = Pn
i=0bi et posons B−1 = 0, de façon qu’on ait
bn=Bn−Bn−1, pour toutn>0;
par hypothèse les sommes partielles Bn sont bornées : il existe un nombreM > 0tel que|Bn|6Mpour toutn∈N. Or,
Xanbn=X
an(Bn−Bn−1). et
Xn i=0
aibi= Xn i=0
ai(Bi−Bi−1) =
a0(B0−B−1) +a1(B1−B0) +a2(B2−B1) +· · ·
· · ·+an(Bn−Bn−1) = (a0−a1)B0+ (a1−a2)B1+. . .
· · ·+ (an−1−an−2)Bn−1+anBn
La série de terme général(an−an−1)Bn est absolument convergente car la série à termes positifs P
(an−1−an) converge (série télesco-pique) et |(an−an−1)Bn| 6 M(an−1−an). De plus, limanBn = 0, car la suiteBn est bornée et liman = 0. Donc limn
Pn
i=0aibi existe et
X∞ i=0
aibi= X∞ n=0
(an−an−1)Bn.
Corollaire 5.2.2 (Critère d’Abel). Soit (an)une suite positive et décrois-sante vers une limite ` ∈ R. Si P
bn est une séries convergente la série Panbnconverge.
Démonstration. La suite(an−`)est une suite positive et décroissante vers zéro. Les sommes partielles de la série P
bn sont bornées car cette série est convergente. Du Critère de Dirichlet on obtient que la sérieP
(an−`)bnconverge. Puisque la sérieP
`bnconverge, la série P(an−`)bn+P
`bn=P
anbn est convergente.
Exemple5.2.3. Les sommes partielles des séries (divergentes)P sinnθ etP
cosnθsont bornées pour toutθ∈Rsiθ6=0 mod 2π; en effet si ei θ6=1on a
XN n=0
ei n θ= 1−ei(N+1)θ 1−ei θ
Donc
Par le critère de Dirichlet pour toute suite(an), positive décroissante vers zéro, les sériesP
ansinnθetP
ancosnθsont convergentes pour toutθ∈R\2πZ.
5.3 e x e r c i c e s
Exercice5.1. Étudier la nature des séries suivantes, en précisant pour les séries convergentes si la convergence est absolue :
1. X
Exercice5.2. Étudier la nature des séries suivantes, en précisant pour les séries convergentes si la convergence est absolue :
1. X
Exercice5.3. (applications du critère d’Abel-Dirichlet) (1) SoitP
un une série convergente de nombres complexes. Montrer que la sérieP
e1nunconverge.
(2) Étudier les séries de terme général un= cosn
Exercice5.4. Étudier la nature des séries suivantes, en fonction des différentes valeurs des paramètres
5.3 e x e r c i c e s 37
1. P cos(πωn)
ω(ω−1)n2+n+1, ω∈R
2. X einθ
(sinθ)n2+n+2, θ∈R 3. X
nnxn, x∈C
4. X
2x+3 3x+2
n
, x∈R 5. X
(2x+3)n/n, x∈C
6. X
e2πi n x/n2, x∈C 7. X
e2πi n x/n, x∈C 8. X (−1)n
3x+n, x∈R 9. X(3x2−2)n
nlogn , x∈R 10. X
arctg(nxn)/√
n, x∈R
6
I N T É G R A L E S G É N É R A L I S É E S
Notation. Dans ce cours on dira qu’une fonction estR-intégrableou tout simplementintégrablesi elle estintégrable au sens de Riemann. L’intégrale de Riemann d’une fonctionfsur un intervalle d’extrémités a < best notéRb
af(x)dxou, tout simplement,Rb af.
On poseR=R∪{+∞,−∞}.
6.1 l’i n t é g r a l e g é n é r a l i s é e
Exemple 6.1.1. Considérons la fonction f(x) = √1
x définie sur l’inter-valle ]0,1]. Pour tout δ ∈]0,1] la fonction f est continue (et donc R-intégrable) sur[δ,1]; de plus
δ→0lim Z1
δ
f(x)dx=2.
Cela nous motive à définirR1
0f(x)dx=limδ→0
R1
δf(x)dx.
Définition 6.1.2. Soit f une fonction réelle ou complexe définie sur l’intervalle]a,b[, (a,b∈R) , et supposons quefn’est pas R-intégrable sur cet intervalle. Si fest R-intégrable sur chaque intervalle compact [c,d]⊂]a,b[et la limite
(c,d)→(a,b)lim Zd
c
f(x)dx (6.1)
converge, on dira que la fonctionfestR-intégrable au sens généralisé sur l’intervalle]a,b[et on posera
Zb a
f(x)dx= lim
(c,d)→(a,b)
Zd c
f(x)dx Le nombreRb
af(x)dx, qui, quelquefois, est aussi noté tout simplement Rb
af, sera ditl’intégrale généralisée de la fonctionfsur l’intervalle]a,b[. Remarque6.1.3.
1. Dans la limite (6.2) ci-dessus on a évidemmenta < c < d < b.
Plus précisément lim(c,d)→(a,b)
Rd
cf(x)dx=Isi, pour tout > 0 il existe a0 > a et b0 < b tels que pour tout c ∈]a,a0[ et tout d∈]b0,b[, on a|I−Rd
cf(x)dx|< .
2. Quand la fonction f n’est pas n’est pas R-intégrable sur ]a,b[, mais, quel que ce soitc ∈]a,b[, elle est R-intégrable sur l’inter-valle [c,b[, il suffira, pour déterminer l’intégrale généralisé def sur ]a,b[, considérer la limite Rb
af(x)dx = limc→a+Rb
cf(x)dx.
Tel est le cas de l’exemple6.1.1. Une considération analogue vaut si la fonctionfest R-intégrable sur]a,c], pour toutc∈]a,b[. 3. Quand la limite (6.2) converge on dit aussi quel’intégrale
généra-lisée defsur l’intervalle]a,b[converge.
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Nous soulignons que, pour qu’on puisse parler de l’intégrale généra-liséRb
afd’une fonctionf, R-intégrable sur tout sous-intervalle compact [c,d]⊂]a,b[, il faut qu’au moins une des deux conditions suivantes soit réalisée :
– L’intervalle]a,b[est illimité.
– La fonctionfn’est pas bornée sur]a,b[. En effet on a :
Théorème6.1.4. Soitf:I→Cune fonction définie sur un intervalleI. Si – l’intervalleIest borné ;
– la fonctionfest R-intégrable sur tout sous-intervalle compactJ⊂I; – la fonctionfest bornée surI;
alorsfest R-intégrable surI.
Démonstration. Soienta < bles extrémités deI, et soit M=sup
x∈I
|f(x)|.
On fixe > 0. Soitδ > 0un nombre satisfaisantδ 6 /6Metδ <
(b−a)/2, et posonsc=a+δ,d=b−δ. (On a alorsa < c < d < b).
Puisquefest R-intégrable sur l’intervalle[c,d], il existe une subdivi-sionc=x1< x2<· · ·< x`=dde cet intervalle telle que Donc la fonctionfest R-intégrable sur]a,b[.
Avis au lecteur :Dans le reste de ce chapitre, nous ne considérons que des fonctions R-intégrables sur tout sous-intervalle compact de leur domaine de définition. Pour cette raisoncette condition sera, dorénavant, toujours sous-entendue.Elle est, comme il est bien connu, vérifiée quand on considère des fonctions continues ou monotones.
Exemple6.1.5. L’intégrale généralisée R∞
0 e−xdxconverge et est égale à1.
Démonstration. La fonctionx7→e−x est continue sur[0,∞[et donc R-intégrable sur tout intervalle borné. Puisque
ZT
0
e−xdx=1−e−T −−−−−→
T→+∞ 1 notre affirmation est démontrée.
Exemple6.1.6. L’intégrale généraliséeR∞
−∞ 1
1+x2dxconverge et est égale àπ.
Démonstration. La fonction x 7→ 1
1+x2 est continue sur R et donc R-intégrable sur tout intervalle borné. Nous avons :
Zβ
6.1 l’i n t é g r a l e g é n é r a l i s é e 41 n’ existent pas, la limite
lim
n’existe non plus, ce qui démontre que l’intégrale généralisée considé-rée diverge.
Remarque6.1.8. L’exemple ci-dessus montre que dans le calcul de la limite
il est important que α et β tendent vers a et b séparément. Pour la convergence de l’intégrale (6.2)il ne suffit pas qu’il existe des suites (αn), (βn)convergentes versaet versbet telles que
limn
ce qui démontre qu’il existe bien des suites (αn), (βn) convergentes
ce qui démontre qu’il existe bien des suites (αn), (βn) convergentes