1 n− 1
m
< 2 N < .
Proposition2.2.3. Toute suite convergente est une suite de Cauchy Démonstration. Supposons que limxn = x. Pour tout positif il existe N ∈ N tel que d(xn,x) < /2 si n > N. Donc si m > N et n > Non ad(xm,xn)< d(xm,x) +d(x,xn)< .
En général, l’implication opposée est fausse : il existe des espaces métriques qui possèdent des suites de Cauchy non convergentes.
Définition2.2.4. Un espace métrique(X,d)pour lequel toute suite de Cauchy converge est ditcomplet.
Exercice 2.1. Montrer que la suite de Cauchy de l’exemple 2.2.2 ne converge pas vers un élément deN+.
Mais l’exemple classique d’un espace non complet, i.e. possédant des suites de Cauchy non convergentes, est l’ensemble des nombres rationnels Q : soit xn l’expansion décimale de √
2 tronquée à la ne place décimale, (x0 = 1, x1 = 1,4, x2 = 1,41, etc.) ; cette suite de nombres rationnels est une suite de Cauchy — car, si n > m, on a 0 < xn−xm< 10−m— ; pourtant elle ne converge pas vers un nombre rationnel — car elle converges dans R vers √
2 et √
2 n’est pas un nombre rationnel — .
2.2.2 L’espace des nombres réels est complet
En effet la vraie raison d’être des nombres réels, celle qui motive leur construction, est la suivante.
Théorème 2.2.5. L’ensemble de nombres réels R (ainsi que l’ensemble de nombres complexesC) est complet etQest dense dansR.
La preuve de ce théorème est à la base de la construction même des nombres réels. Sur le mêmes lignes de cette construction on peut démontrer un théorème plus général.
Théorème2.2.6. Soit(X,d)un espace métrique. Il existe un espace métrique (X¯, ¯d), unique à une isométrie près, tel que
1. Xest une partie deX¯
2. la distance induite pard¯ surXcoïncide avec la distanced 3. Xest une partie dense deX¯
4. (X, ¯¯ d)est complet.
Le fait que l’ensemble de nombres réels soit complet, nous l’avons dit, est une propriété fondamentale de R; cette propriété est équiva-lente à d’autres propriétés qu’on a déjà rencontré dans le cours d’ana-lyse de première année.
Théorème2.2.7. Les propriétés suivantes deRsont équivalentes :
1. (Existence de la borne supérieure) Tout sous-ensemble majoré deR pos-sède une borne supérieure.
2. (Principe des intervalles emboîtés) L’intersection de toute suite d’in-tervalles fermés et emboîtés2est non vide. Si, en plus, la longueur des intervalles converge vers zéro, alors les extrémités droites et gauches des intervalles des des intervalles convergent vers un seul nombrec∈R.
3. (La propriété de Bolzano-Weierstrass) De toute suite bornée de nombres réels on peut extraire une sous-suite qui converge vers un nombre réel.
4. (Rest complet) Toute suite de Cauchy de nombres réels converge vers un nombre réel.
5. Toute suite croissante et majorée converge vers un nombre réel.
Démonstration. 1. =⇒ 2.
Supposons l’existence de la borne supérieure de toute partie majorée deR(ce qui implique l’existence de la borne inférieure pour toute par-tie minorée deR). SoitIn = [an,bn]une suite d’intervalles emboîtés.
Pour tout couple d’entiers entierm,non a
an6am6bm6bn, sim > n. (2.1) La suite (an) est donc majorée caran 6 b0 pour tout n; de même, la suite(bn)est minorée. Par hypothèse, on peut poserc=supanet d=infbn.
Les inégalités (2.1) impliquent queam 6bn, pour tout couple d’en-tiers entierm,ntel quem > net doncc6bn, pour tout entiern; on conclut quec6d, ce qui nous dit que l’intervalle[c,d]n’est pas vide.
Puisque pour tout entiernon aan 6cetd6bnon obtient
∅ 6= [c,d]⊂\
n
[an,bn],
ce qui démontre que l’intersection des intervalles[an,bn]est non vide.
(Une analyse plus détaillée montre que[c,d] =T
n[an,bn]). On a aussi 06d−c6bn−an ∀n∈N;
sous l’hypothèse limbn−an = 0, en passant à la limite, on obtient c = d. Il reste à démontrer quec = liman = limbn. Mais pour tout m∈Non a
06c−an6bn−an et 06bn−c6bn−an et, en passant à la limite, on obtientc=limanet limbn=c. 2. =⇒ 3.
Supposons le Principe des intervalles emboîtés.
Soit(xn)une suite bornée de nombres réels et soienta0etb0 deux nombres réels tels quea0 6xn 6 b0 pour toutn ∈N. PosonsI0 = [a0,b0]. Soit X = {xn | n∈ N}l’ensemble des valeurs de la suite. Si l’ensembleXest fini, i.e. si la suite (xn)prend seulement un nombre fini de valeurs, il existe une valeur y∈ Xtelle que xn = ypour une infinité den∈N; il existe alors une sous-suite(xni)de la suite(xn) avec xni = y pour tout i ∈ N; la sous-suite (xni) est constante et donc convergente. Si, au contraire, l’ensembleXest infini, l’intersection de Xavec un des deux intervalles[a0,(a0+b0)/2] et[(a0+b0)/2,b],
2 Les intervalles d’une suite(In)sont emboîtes siIn+1⊂In, pour tout entiern.
2.2 s u i t e s d e c a u c h y 15 est infinie. Ayant choisi, par récurrence, un intervalle In = [an,bn] tel que l’ensemble X∩In est infini, on définit In+1 comme l’un des deux sous-intervalles [an,(an+bn)/2] ou [(an+bn)/2,bn], tel que l’intersectionX∩In+1est infinie. A l’étapejde la récurrence on prend garde de choisir un élémentxnj ∈Ijavecnj> nj−1(on peut faire cela carIj contient un infinité d’élément deX). Observons quebn−an = (b0−a0)/2n. Les intervalles In étant emboîtés, leur intersection est non vide et en effet elle consiste d’un seul pointy. Or limxnj =ycar
|y−xnj|6(b0−a0)/2j. 3. =⇒ 4.
Supposons la propriété de Bolzano-Weierstrass : de toute suite bor-née on peut extraire une sous-suite convergente.
Soit(xn)une suite de Cauchy. La suite(xn)est bornée car il existe N ∈ N tel que |xn−xm| < 1 sin > N et m > N; si on pose B = max06i6N|xi|on a|xn|6B+1pour tout entiern∈N. Par hypothèse, on peut extraire de la suite(xn)une sous-suite(xnj)j∈Nconvergente vers une limitey. Soit > 0; d’un coté il existe unMtels quem > M et n > Mimplique que|xn−xm| < . De l’autre coté, in existeLtel quej>Limpliquenj > Met|xnj−y|< . Donc pour toutm > Lon a|xm−y|6|xm−xnL|+|xnL−y|62.
4. =⇒ 5.
Supposons queR est complet : toute suite de Cauchy de nombres réels converge.
Soit(xn)une suite croissante et et majorée deR. Montrons que(xn) est une suite de Cauchy : cela fera l’affaire. Dans l’hypothèse contraire, il existe > 0satisfaisant : quel que ce soitN∈Nil existe deux entiers n,mtels quen > N,m > Net|xn−xm|> ; donc on peut trouver deux suites d’entiers(mi),(ni)satisfaisantm1< n1< m2< n2< . . . et telles quexni−xmi > . Alors
xni > xmi+ > xni−1+ > xni−2+2 > . . . xn1+ (i−1) ce qui démontre que la suite(xn)n’est pas majorée, contrairement aux hypothèses.
5. =⇒ 1.
Supposons que toute suite(xn)croissante, i.e.xn+1 >xn et majo-rée converge ; cela implique que toute suite décroissante et minomajo-rée converge. Soit A une partie majorée de R, et m0 un majorant de A. Nous définissons, par récurrence, une suite décroissante de majorants de A: supposons d’avoir déjà choisim0 > m1 >· · · > mj, majorants de A; si mj = supA nous nous arrêtons car nous avons obtenons l’existence de supA; si mj 6= supA, il existe un autre majorant deA, m0, satisfaisantm0 < mj. En effet nous pouvons choisir3un majorant mj+1 deAsatisfaisantmj+1 < mj et tel quemj+1− (mj−mj+1)ne majore pasA. Soitaj∈Atel queaj> mj+1− (mj−mj+1).
La suite (mj)est soit stationnaire — et dans ce cas supAexiste — soit strictement décroissante et minorée par les éléments de A. Sup-posons le dernier cas ; la suite converge alors vers un nombre réelM. Nous affirmons queM=supA, ce qui conclut la preuve.
3 Voila comment : Soitm0un majorant deAsatisfaisantm0< mj. Soit∆=mj−m0 et soitkle plus grand entier positif tel quemj−k∆est un majorant deA. On pose mj+1 = mj−k∆, de façon que∆ = (mj−mj+1)/k. Par définition, le nombre mj− (k+1)∆et donc le nombreyj=mj−2k∆n’est pas un majorant deA; or
yj=mj−2k(mj−mj+1)/k=mj+1− (mj−mj+1).
En effet puisque pour touta∈Aet pour toutn∈Non aa6mn, en passant à la limite, nous obtenons que, pour touta∈A, on aa6M.
DoncMest un majorant deA. SiM6=supAil existe un majorant de A,m0, satisfaisantm0< M. Soit0 < < M−m0et soitN∈Ntel que j > Nimplique que0 < M−mj < . PuisqueM < mj+1 < mj, on a aussimj−mj+1< pour tout entierj > N. On a
aj> mj+1− (mj−mj+1)> mj+1− > M− > m0, en contradiction avec l’assomption quem0majoreA. 2.2.3 Conclusion
Le fait fondamentale qu’il faut retenir de cette section est que l’en-semble des nombres réels — ainsi que l’enl’en-semble des nombres com-plexe — muni de la distance usuelle est complet. Donc
Une suite (xn) de nombres réels ou complexes converge si et seulement si elle est une suite de Cauchy, c.-à-d. si et seulement si pour tout > 0il existe un entierN ∈ Ntel que pour tout n > Netm > Non a|xm−xm|< ε.
2.3 c r i t è r e d e c o n v e r g e n c e d e c a u c h y p o u r l e s s é r i e s En appliquant ce critère à la suite des sommes partielles de la série de terme généralunnous avons
Théorème2.3.1(Critère de convergence de Cauchy pour les séries). La série de terme généralunconverge si et seulement si
∀ε > 0∃N∈Nt.q.∀n > N,∀p>0 |un+un+1+· · ·+un+p|< ε.
Démonstration. Par définition la série de terme généralun converge si (et seulement si) la suite des sommes partielles Sn = Pn
i=0xi con-verge, et donc si et seulement si la suite des sommes partielles est une suite de Cauchy :
∀ε > 0∃N∈Nt.q.∀n > N,∀m > N |Sm−Sn|< ε. (2.2) Un des deux rangs n etm dans la formule ci-dessus est plus grand que l’autre : disonsm>n; dans ce cas, on peut écrirem=n+p, avec p>0et
Sm−Sn= Xm i=0
xi− Xn i=0
xi=xn+1+xn+2+· · ·+xn+p
Donc la (2.2) devient
∀ε > 0∃N∈Nt.q.∀n > N,∀p>0 |xn+1+xn+2+· · ·+xn+p|< ε. Quitte à remplacerNparN+1, on a démontré l’assertion du théorème.
Remarque2.3.2. La Proposition1.2.12est aussi une conséquence immé-diate du Critère de convergence de Cauchy pour les séries
Comme application du critère de convergence de Cauchy démon-trons le théorème suivant
2.4 e x e r c i c e s 17
Théorème 2.3.3. Pours 6 1, la sérieP 1
ns diverge. En particulier P1
n
diverge.
Démonstration. Sis 60 alors limn 1
ns 6= 0 et la série P 1
ns diverge par la proposition1.2.12. Supposons alors0 < s61.
Soitk>1un entier. Considérons la sommes des termesun =n−s pour nde k+1 à 2k. Observons que cette somme contient k termes dont le plus petit est le dernier,u2k= (2k)−s(la fonctionx7→x−sest
Notation. La série divergenteP 1
n est dite série harmonique.
2.4 e x e r c i c e s
Le critère de convergence de Cauchy affirme que une sérieP
un converge si et seulement si pour toutε > 0il existe un entierN(ε)tel que
|un+un+1+· · ·+un+k|< ε, ∀n > N(ε),∀p>0 Utiliser ce critère pour résoudre les exercices suivants.
Exercice2.2. Montrer que pour tout naturel k la sériePnk
– estimer des sommesPn+k n nk – utiliser l’estimation faite en cours de la sommeP2k
p=k+11/ppour démon-trer que la sérieP
log 1+n1
ne satisfait pas le critère de convergence de Cauchy.
3
S É R I E S À T E R M E S P O S I T I F S
3.1 c o n v e r g e n c e a b s o l u e, s e m i-c o n v e r g e n c e Définition3.1.1. On dit qu’une sérieP
un estabsolument convergente si la sérieP
|un|est convergente.
La convergence absolue est une propriété plus forte que la conver-gence :