2.4.1 Formulation El´ ements Finis Semi-Implicite
Op´erateurs utilis´es NS, PRESSION
M´ethodes num´eriques EFM1, approximations P1-P0 ou Q1-P0, sch´ema SUPG
Nature du probl`eme
´ecoulement tourbillonaire dans une cavit´e carr´ee : com-paraison avec une solution analytique des ´equations de Navier-Stokes pour d´eterminer l’ordre de convergence des sch´emas
Classification 2D plan, incompressible, laminaire, stationnaire Jeu de donn´ees /u2/castem/dgibi/vortex.dgibi
Description du probl`eme
Ce cas-test de validation concerne la simulation d’un ´ecoulement tourbillonaire dans une cavit´e carr´ee, pour lequel on peut exhiber une solution analytique des ´equations de Navier-Stokes [1]. Cela permet d’effectuer une ´etude de convergence pour mesurer l’ordre de convergence de l’op´erateur de discr´etisation Navier-Stokes NS, pour des
´el´ements P1-P0 (triangles) ou Q1-P0 (quadrangles), repr´esent´es sur la figure 2.4.1.
pression
+ + +
Q1-P0 P1-P0
vitesse
Fig. 2.4.1 – El´ements vitesse-pression Q1-P0 et P1-P0 de CASTEM2000 On consid`ere les ´equations de Navier-Stokes incompressibles, stationnaires, en pr´esence de forces de volume f, de composantes (f~ 1, f2),
ux+vy = 0 uux+vuy =−px+f1+ν(uxx+uyy) uvx+vvy =−py+f2+ν(vxx+vyy) sur le domaine Ω =
(x, y)∈[0,1]×[−12,12] , avec les conditions aux limites suivantes : surx= 0, u= 0 v=bcosπy
surx= 1, u= 0 v=−bcosπy sury =−12, u=−bsinπx v= 0
sury = 1, u=bsinπx v= 0
avecb= 1/ν. Pour (f1, f2) de la forme :
o`uα est un param`etre, la solution analytique (u, v, p) est donn´ee par : uex = bsinπxsinπy
vex = bcosπxcosπy pex = −2παcosπxsinπy
o`u la pressionp est bien sˆur d´efinie `a une constante additive pr`es. On a en outre, δpex=pmax−pmin = 4π ≈12.57
Fig. 2.4.2 – Pression th´eorique
UX THEORIQUE
Fig. 2.4.3 – Composante u th´eorique
Fig. 2.4.4 – Champ de vitesse th´eorique
On d´efinit les normes L2 discr`etes de l’erreur sur la vitesse et la pression de la fa¸con suivante :
o`uN setN csont respectivement le nombre de points sommet (o`u la vitesse est d´efinie) et le nombre de points centre (o`u la pression est d´efinie).
Etude de convergence
On consid`ere deux types de maillages, l’un constitu´e de quadrangles avec des ´el´ements Q1-P0, l’autre de triangles avec des ´el´ements P1-P0. On ´evalue les erreurs E(u) et E(p) pour des maillages de plus en plus fins. Les r´esultats sont report´es dans les tables 2.4.1, et trac´es sur les courbes 2.4.5-2.4.6 et 2.4.7-2.4.8 en ´echelle logarithmique.
Une r´egression lin´eaire sur ces courbes permet d’estimer l’ordre de convergence de la vitesse et de la pression. On trouve que sur des maillages de quadrangles, la vitesse converge enO(h1.44) et la pression enO(h1.21), et sur des triangles, la vitesse converge enO(h1.52) et la pression enO(h1.08). Ces r´esultats, l´eg`erement en de¸c`a des pr´evisions th´eoriques pour la vitesse (on attend un ordre proche de 2, voir l’´etude de convergence de l’op´erateur de convection-diffusion scalaire TSCAL) et l´eg`erement au dessus de l’ordre 1 anticip´e pour la pression (suppos´ee constante par ´el´ement), restent n´eanmoins satisfaisants.
Les figures 2.4.9-2.4.12 et 2.4.13-2.4.16 montrent les solutions num´eriques obtenues sur des maillages de quadrangles et de triangles de longueur caract´eristique de maille h= 1/10.
δp Eu Ep
N=10 62.97 1.74 15.61 N=16 55.33 1.43 13.57 N=20 49.26 1.22 12.03 N=24 43.85 1.05 10.54 N=30 37.12 0.84 8.59 N=36 31.81 0.68 7.01 N=40 28.90 0.59 6.16 N=50 23.32 0.44 4.57 N=56 20.83 0.37 3.91 N=60 19.43 0.33 3.57 N=70 16.67 0.26 2.99 N=84 14.00 0.19 2.62
−→ Ordre = 1.44 1.21
∆ δp Eu Ep
N=10 63.64 1.36 13.46 N=16 48.79 1.05 10.31 N=20 40.15 0.83 8.18 N=24 33.67 0.66 6.87 N=30 26.48 0.49 5.14 N=36 21.86 0.38 4.02 N=40 19.71 0.32 3.51 N=50 15.86 0.23 2.87 N=56 14.23 0.18 2.73 N=60 13.39 0.16 2.67 N=70 13.30 0.12 2.04
−→ Ordre = 1.52 1.08 Tab.2.4.1 – Ecart de pression δp=pmax−pmin et erreurs Eu etEp en fonction de la longueur caracteristique de mailleh= 1/N, pour l’op´erateur Navier-Stokes NS (option SUPG) dans le cas de maillages de quadrangles et de triangles.
R´ef´erence :
−1− K. Boukir, Y. Maday, B. M´etivet and E. Razafindrakoto, A High Order Cha-racteristics/Finite Element Method for the Incompressible Navier-Stokes Equations.
Submitted to Int. J. Num. Meth. Fluids. Rapport EDF :HI-72/7622
−2.0 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1.0
Simulation d’un tourbillon : convergence de la vitesse
elements Q1−P0 (NS option SUPG)
pente = 1.44
Fig.2.4.5 – Convergence en vitesse sur quadrangles
Simulation d’un tourbillon : convergence de la pression
elements Q1−P0 (NS option SUPG)
pente = 1.21
Fig. 2.4.6 – Convergence en pression sur quadrangles
Simulation d’un tourbillon : convergence de la vitesse
elements P1−P0 (NS option SUPG)
pente = 1.52
Fig.2.4.7 – Convergence en vitesse sur triangles
Simulation d’un tourbillon : convergence de la pression
elements P1−P0 (NS option SUPG)
pente = 1.08
Fig. 2.4.8 – Convergence en pression sur triangles
GIBI FECIT
Fig. 2.4.9 – Maillage de quadrangles (h= 1/10)
Fig.2.4.10 – Historique de convergence pour atteindre l’´etat stationnaire
PRESSION
Fig. 2.4.11 – Champ de pression cal-cul´e
Fig. 2.4.12 – Champ de vitesse (com-posante u) calcul´e
GIBI FECIT
Fig.2.4.13 – Maillage de triangles (h= 1/10)
Fig.2.4.14 – Historique de convergence pour atteindre l’´etat stationnaire
PRESSION
Fig. 2.4.15 – Champ de pression cal-cul´e
Fig. 2.4.16 – Champ de vitesse (com-posante u) calcul´e
Jeu de donn´ees : COMPLET = FAUX ; SI ( COMPLET ) ; NX = 20 ; NITER = 2000 ; CFL = 1.0 ; SINON ;
NX = 5 ; NITER = 250 ; CFL = 1.0 ; FINSI ;
GRAPH = ’N’ ;
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* SIMULATION D’UN TOURBILLON - COMPARAISON AVEC SOLUTION ANALYTIQUE *
* DES EQUATIONS DE NAVIER-STOKES *
* OPERATEUR NS - OPTION SUPG *
* H. Paillere - Avril 1997 *
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* PROCEDURE POUR ESTIMER LA CONVERGENCE VERS L’ETAT STATIONNAIRE *
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DEBPROC CALCUL ; ARGU RVX*’TABLE’ ; RV = RVX.’EQEX’ ; UN = RV.INCO.’UN’ ; UNM1 = RV.INCO.’UNM1’ ; DD = RV.PASDETPS.’NUPASDT’ ; NN = DD/5 ;
LO = (DD-(5*NN)) EGA 0 ; SI ( LO ) ;
unx= kcht $MT scal sommet (exco ’UX’ un) ; unm1x = kcht $MT scal sommet (exco ’UX’ unm1) ; uny= kcht $MT scal sommet (exco ’UY’ un) ; unm1y = kcht $MT scal sommet (exco ’UY’ unm1) ; ERRX = KOPS unx ’-’ unm1x ;
ERRY = KOPS uny ’-’ unm1y ; ELIX = MAXI ERRX ’ABS’ ; ELIY = MAXI ERRY ’ABS’ ;
ELIX = (LOG (ELIX + 1.0E-20))/(LOG 20.) ; ELIY = (LOG (ELIY + 1.0E-20))/(LOG 20.) ; PMAX = MAXI RVP.PRESSION ;
PMIN = MINI RVP.PRESSION ; DP = PMAX - PMIN ;
MESSAGE ’ITER ’ RV.PASDETPS.’NUPASDT’ ’ ERREUR LINF ’ ELIY
’PMAX = ’ PMAX ’PMIN = ’ PMIN ’DP = ’ DP ; IT = PROG RV.PASDETPS.’NUPASDT’ ;
ER = PROG ELIY ;
RV.INCO.’IT’ = (RV.INCO.’IT’) ET IT ; RV.INCO.’ER’ = (RV.INCO.’ER’) ET ER ; FINSI;
RV.INCO.’UNM1’ = KCHT $MT ’VECT’ ’SOMMET’ (RV.INCO.’UN’) ; as2 ama1 = ’KOPS’ ’MATRIK’ ;
FINPROC as2 ama1 ;
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* DEFINITION DU MAILLAGE *
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option dime 2 elem qua8 ; P1 = 0.0 (0.5*(-1.)) ; p2 = 1.0 (0.5*(-1.)) ; p3 = 1.0 0.5 ;
p4 = 0.0 0.5 ; NY = NX ;
bas = p1 d NX p2 ; cdro = p2 d NY p3 ; haut = p3 d NX p4 ; cgau = p4 d NY p1 ;
cnt = bas et cdro et haut et cgau ; mt = bas cdro haut cgau daller ; tass MT ;
orienter mt ; mt= chan mt quaf ;
$mt = MODE mt ’NAVIER_STOKES’ ’MACRO’ ; mt2 = mt ;
mt = DOMA $mt maillage ;
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* SOLUTION ANALYTIQUE *
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PI = 3.141592654 ; B = 10. ;
NU = 1.0/B ; ALPHA = -1.0 ;
XX YY = COOR (DOMA $MT SOMMET) ; CX = COS ((KOPS XX ’*’ 180.)) ; CY = COS ((KOPS YY ’*’ 180.)) ; SX = SIN ((KOPS XX ’*’ 180.)) ; SY = SIN ((KOPS YY ’*’ 180.)) ;
UEX = KOPS ( KOPS SX ’*’ SY ) ’*’ B ; VEX = KOPS ( KOPS CX ’*’ CY ) ’*’ B ;
PEX = KOPS ( KOPS CX ’*’ SY ) ’*’ (PI*(-2.)*ALPHA) ; UEX1 = NOMC ’UX’ UEX ’NATU’ ’DISCRET’ ;
VEX1 = NOMC ’UY’ VEX ’NATU’ ’DISCRET’ ; UUX = KCHT $MT VECT SOMMET (UEX1 ET VEX1) ;
* TABLES EQEX ET PRESSION *
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RV = EQEX $MT ’ITMA’ NITER ’ALFA’ CFL
’ZONE’ $MT ’OPER’ CALCUL
’OPTI’ ’SUPG’ ’MMPG’
’ZONE’ $MT ’OPER’ ’NS’ NU SS ’INCO’ ’UN’
’OPTI’ ’CENTREE’ EFM1
ZONE $MT ’OPER’ ’DFDT’ 1. ’UN’ ’DELTAT’ INCO ’UN’
;
RV = EQEX RV
’CLIM’ ’UN’ ’UIMP’ cgau 0. ’UN’ ’VIMP’ cgau B1
’UN’ ’UIMP’ cdro 0. ’UN’ ’VIMP’ cdro (B1*(-1.))
’UN’ ’UIMP’ bas (B2*(-1.)) ’UN’ ’VIMP’ bas 0.
’UN’ ’UIMP’ haut B2 ’UN’ ’VIMP’ haut 0. ; RVP = EQPR $MT KTYPI 1
ZONE $MT ’OPER’ ’PRESSION’ 0.
’PIMP’ 0. ;
**************
* TABLE INCO *
**************
RV.INCO=TABLE INCO ;
RV.INCO.’UN’=kcht $MT VECT SOMMET (0. 0.) ;
rv.inco.’UNM1’ = kcht $MT ’VECT’ ’SOMMET’ (0. 0.) ; rv.inco.’IT’ = PROG 1 ;
rv.inco.’ER’ = PROG 0. ; RV.PRESSION =RVP ;
* pour triangles:
* RVP.BETA = 1000. ; EXEC RV ;
SI ( ’EGA’ graph ’O’) ;
EVOL4 = EVOL ’MANU’ ’ITERATIONS’ (RV.INCO.’IT’) ’LOG|E|inf’
(RV.INCO.’ER’) ;
DESS EVOL4 ’XBOR’ 0. 2000. ’YBOR’ -20.0 0.0 ; TRACE PEX MT CNT 15 ’TITR’ ’PRESSION THEORIQUE’ ; TRACE RVP.PN MT CNT 15 ’TITR’ ’PRESSION’ ;
unx= kcht $MT scal sommet (exco ’UX’ RV.INCO.’UN’) ; TRACE UEX MT CNT 15 ’TITR’ ’UX THEORIQUE’ ;
TRACE UNX MT CNT 15 ’TITR’ ’UX’ ;
UNCH = VECT RV.INCO.’UN’ 0.01 UX UY JAUNE ; TRACE UNCH MT CNT ;
FINSI ;
un = RV.INCO.’UN’ ;
unx= kcht $MT scal sommet (exco ’UX’ un) ; uny= kcht $MT scal sommet (exco ’UY’ un) ; ERRX = KOPS UNX ’-’ UEX1 ;
ERRX = KOPS ERRX ’*’ ERRX ; ERR2 = 0. ;
NPTD= NBNO (DOMA $MT SOMMET) ; REPETER BLOC1 NPTD ;
P1 = (DOMA $MT SOMMET) POIN &BLOC1 ; ERR1 = ’EXTR’ ERRX ’SCAL’ P1 ;
ERR2 = ERR2 + ERR1 ; FIN BLOC1 ;
ERR2 = ERR2/NPTD ; ERR2 = ERR2 ** 0.5 ;
MESSAGE ’ERREUR VITESSE UX EN NORME L2 = ’ ERR2 ; SI ( ERR2 > 6.0E-2 ) ; ERREUR 5 ; FINSI ;
PEX = NOEL $MT PEX ;
PPP = ((MAXI RVP.PRESSION) + (MINI RVP.PRESSION))/2. ; PN = KOPS RVP.PRESSION ’-’ PPP ;
ERRP = KOPS PEX ’-’ PN ; ERRP = KOPS ERRP ’*’ ERRP ; ERR2 = 0. ;
NELD= NBEL (DOMA $MT CENTRE) ; REPETER BLOC1 NELD ;
P1 = (DOMA $MT CENTRE) POIN &BLOC1 ; ERR1 = ’EXTR’ ERRP ’SCAL’ P1 ;
ERR2 = ERR2 + ERR1 ; FIN BLOC1 ;
ERR2 = ERR2/NELD ; ERR2 = ERR2 ** 0.5 ;
MESSAGE ’ERREUR PRESSION EN NORME L2 = ’ ERR2 ; SI ( ERR2 > 0.80 ) ; ERREUR 5 ; FINSI ;
SI ( (MINI RV.INCO.’ER’) > -4.0 ) ; ERREUR 5 ; FINSI ; FIN ;