2.5.1 Formulation El´ ements Finis Semi-Implicite
Op´erateurs utilis´es NS, PRESSION
M´ethodes num´eriques EFM1, approximation Q1-P0, sch´ema CENTREE Nature du probl`eme Convection naturelle en cavit´e pour un fluide de Pr=0 Classification 2D plan, Boussinesq, laminaire, stationnaire et
instation-naire p´eriodique Jeu de donn´ees
Sch´ema du probl`eme :
1
g
H
L
x y
T T2
Fig. 2.5.1 – Mod`ele de la cavit´e rectangulaire.
Mod´elisation :
Le cas ´etudi´e, propos´e dans le cadre du GAMM-Workshop ([1] et [2]) avait servi de validation au code TRIO-EF. C’est un cas test simple de convection naturelle pour un fluide de nombre de Prandtl nul dans une cavit´e ferm´ee de rapport d’aspectL/H = 4 (figure 2.5.1).
Les ´equations de Navier-Stokes instationnaires dans le cadre de l’approximation de Boussinesq s’´ecrivent sous la forme adimensionn´ee :
∇ ·u
¯ = 0
∂u¯
∂t +Gr1/2(u
¯· ∇)u
¯ = −∇p+ ∆u
¯−Gr1/2T η
¯ avec :Gr = gβγH4
ν2 ;γ = T2−T1 L etη
¯= (0,−1,0).
β est le coefficient d’expansion volumique et ν la viscocsit´e cin´ematique du fluide.
Conditions aux limites : – u
¯= 0 sur les bords de la cellule ;
– T(x, y, t) =x car l’´equation de l’´energie `a Prandtl nul se r´eduit `a ∆T = 0 et on a flux nul sur les parois horizontales et temp´erature impos´ee sur les parois verticales.
Discr´etisation :
Les ´equations pr´ec´edentes sont discr´etis´ees grˆace aux op´erateurs NS etPRESSION de CASTEM2000. L’option ’CENTREE’ a ´et´e choisie car c’est la plus pr´ecise, et elle s’est av´er´ee suffisamment stable pour la r´esolution. Le maillage est r´egulier, constitu´e de 120x30 quadrangles (QUA8 avec l’option ’MACRO’).
Synth`ese des r´esultats : Solution `a obtenir
L’important diagramme de stabilit´e (figure 2.5.2) r´esume les r´esultats obtenus avec TRIO-EF compar´es `a ceux d’un autre participant `a la session de travail du GAMM-Workshop. On distingue sur ce diagramme diff´erentes formes d’´ecoulements :
Fig. 2.5.2 – Diagramme de stabilit´e (d’apr`es Le Garrec, S. & Magnaud, J-P.
[2]).
: Pulicani et al.
• et lignes de courant : TRIO-EF.
1. Ecoulements stationnaires :
– Pour les faibles nombres de Grashof (Gr= 7500−10000), le fluide est entraˆın´e le long des parois de la cavit´e ; l’´ecoulement de base est monocellulaire et stationnaire.
– Pour des nombres de Grashof plus ´elev´e (Gr = 20000), on observe un autre type d’´ecoulement stationnaire. A l’´ecoulement de base se superpose un
´ecoulement compos´e d’une cellule centrale et de deux rouleaux p´eriph´eriques.
2. Ecoulements instationnaires p´eriodiques :
– Pour des nombres de Grashof compris entre 25000 et 35000 environ, on ob-serve des ´ecoulements instationnaires p´eriodiques. Au cours d’une p´eriode, une configuration multicellulaire succ`ede `a une configuration monocellulaire. Pour d’autres caract´eristiques (p´eriode, vitesses,...) de ce type d’´ecoulements, se re-porter `a [2].
3. Transition vers un ´etat bicellulaire stationnaire, ph´enom`ene d’hyst´er´esis : – Pour Gr = 40000, l’´ecoulement est compos´e de deux rouleaux stationnaires.
Cette solution est obtenue apr`es une phase transitoire p´eriodique durant la-quelle l’´ecoulement se dissym´etrise progressivement et tend brutalement vers la configuration `a deux rouleaux (dite ¡¡yeux de chat¿¿).
– Partant de cette solution bicellulaire comme condition initiale, on obtient le mˆeme type d’´ecoulement pour Gr = 30000. Il existe donc un domaine dans lequel, pour une mˆeme valeur du nombre de Grashof, il est possible d’obtenir deux solutions diff´erentes en fonction de la condition initiale choisie.
R´esultats obtenus avec CASTEM2000
Les r´esultats que l’on obtient sont tr`es similaires `a ceux obtenus au cours du GAMM-Workshop (tableau 2.5.1).
Gr CI ´etat atteint Nb cellules Allure (figure 2.5.3)
10000 u
¯ = 0 stationnaire 1 (a)
20000 u
¯ = 0 stationnaire 3 (b)
30000 u
¯ = 0 p´eriodique 1-3 (c)
40000 1 u
¯ = 0 stationnaire 2 (d)
30000 Gr= 40000 stationnaire 2 (d)
10000 Gr= 40000 p´eriodique 1-3 (c)
Tab.2.5.1 – R´esum´e des propri´et´es des ´ecoulements obtenus avec CASTEM2000
Comparaison CASTEM2000 - TRIO-EF
Les tableaux qui suivent (2.5.2) permettent de comparer quelques grandeurs ca-ract´eristiques obtenues avec CASTEM2000 et TRIO-EF. Pour des comparaisons avec d’autres participants `a la session de travail du GAMM-WORKSHOP, voir [2], p. 24-25]. On obtient des r´esultats num´eriques assez proches (´ecarts de l’ordre de 5%) mˆeme si le passage de l’´etat tricellulaire stationnaire `a l’´etat instationnaire s’effectue pour un nombre de Grashof plus ´elev´e pour CASTEM2000 (sup´erieur `a 25000) que pour TRIO-EF (Gr= 24500).
1 Le Garrec, S. 1988 Convection naturelle en cavit´e pour des fluides
`a faible nombre de Prandtl. Rapport CEA DMT/88/216
2 Le Garrec, S. & Magnaud, J-P. 1988 Numerical simulation of os-cillatory convection in low Prandtl fluids with TRIO-EF. GAMM-Workshop. In pp. 189-199. Vieweg.Numerical Simulation of Oscillatory Convec-tion in Low-Pr Fluids (ed. B. Roux),
(a)
(b)
(c)
t = .44441 s ; Psimax = 4842.6
t = .45771 s ; Psimax = 4477.2
t = .47885 s ; Psimax = 4630.0
(d)
Fig. 2.5.3 – Lignes de courant obtenues avec CASTEM2000 pour : (a) Gr = 10000 ; (b) Gr = 20000 ; (c) Gr = 30000 `a diff´erents instants et (d) Gr = 40000 avecTref =T1.
(a)
Etat Umax en x=A/4 ;y= Vmax en y=1/2 ; x=
CASTEM2000 stable 0.671 0.167 0.496 1.53
TRIO-EF stable 0.6882 0.168 0.5121 1.567
(b)
Etat Umax en x=A/4 Vmax en y=1/2 f
CASTEM2000 p´eriodique 0.943 0.895 18.0
TRIO-EF p´eriodique 0.9738 0.9549 17.6
(c)
Etat Umax en
x=A/4 et y= Vmax en
y=1/2 etx= f (r´egime transitoire) CASTEM2000 stable 1.23 0.833 0.811 0.633 21.8 TRIO-EF stable 1.1910 0.800 0.8567 0.7667 21.0
Tab. 2.5.2 – Comparaison CASTEM2000 - TRIO-EF dans les cas : (a) Gr = 20000 ; (b) Gr= 30000 et (c) Gr= 40000.
Jeu de donn´ees
Le jeu de donn´ees pr´esent´e est `a Gr=40000 et d´emarre d’une situation au repos. La structure de l’´ecoulement passe rapidement d’une cellule stationnaire `a trois cellules instationnaires puis au bout d’un certain nombre de cycles bifurque brutalement vers la solution stationnaire `a 2 cellules. Comptez 40 minutes et 15000 it´erations pour obtenir les yeux de chat avec un maillage r´egulier40x10.
***** OPTIONS ***** mt=DALLER bas rwall haut lwall ; TASSER mt ; mt= ORIE mt ;
$mt=DOMA mt ’MACRO’ ’IMPR’ ;
* On doit remettre le maillage fin dans mt pour ’CLIM’
mt=($mt.maillage) ;
***** CREATION DES TABLES *****
rv = EQEX $mt ’ALFA’ 0.5 OPTI CENTREE
’ZONE’ $mt ’OPER’ ’NS’ ’NU’ ’GB’ ’TN’ ’TREF’ ’INCO’ ’UN’
’ZONE’ $mt ’OPER’ ’CALCPSI’
’CLIM’ ’UN’ ’UIMP’ (bas et lwall et rwall et haut) 0.
’UN’ ’VIMP’ (bas et lwall et rwall et haut) 0.
;
rvp = EQPR $mt KTYPI 1
ZONE $mt ’OPER’ ’PRESSION’ 0.
PIMP 0.
;
***** CONDITIONS INITIALES *****
rv.’INCO’=TABLE ’INCO’ ;
rv.’INCO’.’UN’ = KCHT $mt VECT SOMMET (0. 0.) ; rv.’INCO’.’PSI’ = KCHT $mt SCAL SOMMET 0. ;
xmt = COOR 1 mt;
rv.’INCO’.’TN’=kcht $mt SCAL SOMMET (t1+ ((xmt/L)*(t2-t1)) ) ; rv.’PRESSION’=rvp ;
* Les deux listes qui suivent contiennent t et psi(t) rv.’INCO’.’LTPS’ = PROG 0.;
rv.’INCO’.’LPSIMAX’ = PROG 0.;
nbiter=15000;
Gr=40000 ;
rv.’INCO’.’NU’=nu ;
rv.’INCO’.’GB’= (0. (-1.*Gr));
* Le choix de TREF conditionne l’apparition des bifurcations
* rv.’INCO’.’TREF’ = (t1+t2)/2.;
rv.’INCO’.’TREF’= t1;
rv.’FIDT’=100;
rv.’ITMA’=nbiter;
uref = 0.2* (1/(Gr ** 0.5)) ;
***** PROCEDURE DE CALCUL DE LA FONCTION DE COURANT *****
***** Laplacien(psi) = - Rotationnel2D (vitesse) *****
DEBPROC CALCPSI ; ARGU RX*TABLE ; rv=rx.’EQEX’ ;
pasdt=rv.’PASDETPS’.’NUPASDT’;
vitesse = rv.’INCO’.’UN’;
tps = rv.’PASDETPS’.’TPS’;
rt2d= KOPS vitesse ’ROT’ $mt ; sw = (-1.)* rt2d ;
rk = EQEX $mT ’OPTI’ ’EF’ ’IMPL’
ZONE $mt OPER LAPN 1. INCO ’PSI’
ZONE $mt OPER FIMP sw INCO ’PSI’
’CLIM’ ’PSI’ ’TIMP’ (bas et lwall et rwall et haut) 0.
;
rk.’INCO’=table ’INCO’ ;
rk.’INCO’.’PSI’=kcht $mt scal sommet 0. ; EXIC rk ;
psi=rk.’INCO’.’PSI’;
rv.’INCO’.’PSI’= psi;
psimax = MAXI (ABS psi);
ltps = rv.’INCO’.’LTPS’;
lpsimax = rv.’INCO’.’LPSIMAX’;
rv.’INCO’.’LTPS’ = ltps ET (PROG tps );
rv.’INCO’.’LPSIMAX’ = lpsimax ET (PROG psimax);
FINPROC;
***** CALCUL DE LA SOLUTION *****
EXEC rv ;