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Convection naturelle dans un fluide `a nombre de Prandtl nul

Dans le document D´epartement de M´ecanique et de Technologie (Page 133-141)

2.5.1 Formulation El´ ements Finis Semi-Implicite

Op´erateurs utilis´es NS, PRESSION

M´ethodes num´eriques EFM1, approximation Q1-P0, sch´ema CENTREE Nature du probl`eme Convection naturelle en cavit´e pour un fluide de Pr=0 Classification 2D plan, Boussinesq, laminaire, stationnaire et

instation-naire p´eriodique Jeu de donn´ees

Sch´ema du probl`eme :

1

g

H

L

x y

T T2

Fig. 2.5.1 – Mod`ele de la cavit´e rectangulaire.

Mod´elisation :

Le cas ´etudi´e, propos´e dans le cadre du GAMM-Workshop ([1] et [2]) avait servi de validation au code TRIO-EF. C’est un cas test simple de convection naturelle pour un fluide de nombre de Prandtl nul dans une cavit´e ferm´ee de rapport d’aspectL/H = 4 (figure 2.5.1).

Les ´equations de Navier-Stokes instationnaires dans le cadre de l’approximation de Boussinesq s’´ecrivent sous la forme adimensionn´ee :

∇ ·u

¯ = 0

∂u¯

∂t +Gr1/2(u

¯· ∇)u

¯ = −∇p+ ∆u

¯−Gr1/2T η

¯ avec :Gr = gβγH4

ν2 ;γ = T2−T1 L etη

¯= (0,−1,0).

β est le coefficient d’expansion volumique et ν la viscocsit´e cin´ematique du fluide.

Conditions aux limites : – u

¯= 0 sur les bords de la cellule ;

– T(x, y, t) =x car l’´equation de l’´energie `a Prandtl nul se r´eduit `a ∆T = 0 et on a flux nul sur les parois horizontales et temp´erature impos´ee sur les parois verticales.

Discr´etisation :

Les ´equations pr´ec´edentes sont discr´etis´ees grˆace aux op´erateurs NS etPRESSION de CASTEM2000. L’option ’CENTREE’ a ´et´e choisie car c’est la plus pr´ecise, et elle s’est av´er´ee suffisamment stable pour la r´esolution. Le maillage est r´egulier, constitu´e de 120x30 quadrangles (QUA8 avec l’option ’MACRO’).

Synth`ese des r´esultats : Solution `a obtenir

L’important diagramme de stabilit´e (figure 2.5.2) r´esume les r´esultats obtenus avec TRIO-EF compar´es `a ceux d’un autre participant `a la session de travail du GAMM-Workshop. On distingue sur ce diagramme diff´erentes formes d’´ecoulements :

Fig. 2.5.2 – Diagramme de stabilit´e (d’apr`es Le Garrec, S. & Magnaud, J-P.

[2]).

: Pulicani et al.

• et lignes de courant : TRIO-EF.

1. Ecoulements stationnaires :

– Pour les faibles nombres de Grashof (Gr= 7500−10000), le fluide est entraˆın´e le long des parois de la cavit´e ; l’´ecoulement de base est monocellulaire et stationnaire.

– Pour des nombres de Grashof plus ´elev´e (Gr = 20000), on observe un autre type d’´ecoulement stationnaire. A l’´ecoulement de base se superpose un

´ecoulement compos´e d’une cellule centrale et de deux rouleaux p´eriph´eriques.

2. Ecoulements instationnaires p´eriodiques :

– Pour des nombres de Grashof compris entre 25000 et 35000 environ, on ob-serve des ´ecoulements instationnaires p´eriodiques. Au cours d’une p´eriode, une configuration multicellulaire succ`ede `a une configuration monocellulaire. Pour d’autres caract´eristiques (p´eriode, vitesses,...) de ce type d’´ecoulements, se re-porter `a [2].

3. Transition vers un ´etat bicellulaire stationnaire, ph´enom`ene d’hyst´er´esis : – Pour Gr = 40000, l’´ecoulement est compos´e de deux rouleaux stationnaires.

Cette solution est obtenue apr`es une phase transitoire p´eriodique durant la-quelle l’´ecoulement se dissym´etrise progressivement et tend brutalement vers la configuration `a deux rouleaux (dite ¡¡yeux de chat¿¿).

– Partant de cette solution bicellulaire comme condition initiale, on obtient le mˆeme type d’´ecoulement pour Gr = 30000. Il existe donc un domaine dans lequel, pour une mˆeme valeur du nombre de Grashof, il est possible d’obtenir deux solutions diff´erentes en fonction de la condition initiale choisie.

R´esultats obtenus avec CASTEM2000

Les r´esultats que l’on obtient sont tr`es similaires `a ceux obtenus au cours du GAMM-Workshop (tableau 2.5.1).

Gr CI ´etat atteint Nb cellules Allure (figure 2.5.3)

10000 u

¯ = 0 stationnaire 1 (a)

20000 u

¯ = 0 stationnaire 3 (b)

30000 u

¯ = 0 p´eriodique 1-3 (c)

40000 1 u

¯ = 0 stationnaire 2 (d)

30000 Gr= 40000 stationnaire 2 (d)

10000 Gr= 40000 p´eriodique 1-3 (c)

Tab.2.5.1 – R´esum´e des propri´et´es des ´ecoulements obtenus avec CASTEM2000

Comparaison CASTEM2000 - TRIO-EF

Les tableaux qui suivent (2.5.2) permettent de comparer quelques grandeurs ca-ract´eristiques obtenues avec CASTEM2000 et TRIO-EF. Pour des comparaisons avec d’autres participants `a la session de travail du GAMM-WORKSHOP, voir [2], p. 24-25]. On obtient des r´esultats num´eriques assez proches (´ecarts de l’ordre de 5%) mˆeme si le passage de l’´etat tricellulaire stationnaire `a l’´etat instationnaire s’effectue pour un nombre de Grashof plus ´elev´e pour CASTEM2000 (sup´erieur `a 25000) que pour TRIO-EF (Gr= 24500).

1 Le Garrec, S. 1988 Convection naturelle en cavit´e pour des fluides

`a faible nombre de Prandtl. Rapport CEA DMT/88/216

2 Le Garrec, S. & Magnaud, J-P. 1988 Numerical simulation of os-cillatory convection in low Prandtl fluids with TRIO-EF. GAMM-Workshop. In pp. 189-199. Vieweg.Numerical Simulation of Oscillatory Convec-tion in Low-Pr Fluids (ed. B. Roux),

(a)

(b)

(c)

t = .44441 s ; Psimax = 4842.6

t = .45771 s ; Psimax = 4477.2

t = .47885 s ; Psimax = 4630.0

(d)

Fig. 2.5.3 – Lignes de courant obtenues avec CASTEM2000 pour : (a) Gr = 10000 ; (b) Gr = 20000 ; (c) Gr = 30000 `a diff´erents instants et (d) Gr = 40000 avecTref =T1.

(a)

Etat Umax en x=A/4 ;y= Vmax en y=1/2 ; x=

CASTEM2000 stable 0.671 0.167 0.496 1.53

TRIO-EF stable 0.6882 0.168 0.5121 1.567

(b)

Etat Umax en x=A/4 Vmax en y=1/2 f

CASTEM2000 p´eriodique 0.943 0.895 18.0

TRIO-EF p´eriodique 0.9738 0.9549 17.6

(c)

Etat Umax en

x=A/4 et y= Vmax en

y=1/2 etx= f (r´egime transitoire) CASTEM2000 stable 1.23 0.833 0.811 0.633 21.8 TRIO-EF stable 1.1910 0.800 0.8567 0.7667 21.0

Tab. 2.5.2 – Comparaison CASTEM2000 - TRIO-EF dans les cas : (a) Gr = 20000 ; (b) Gr= 30000 et (c) Gr= 40000.

Jeu de donn´ees

Le jeu de donn´ees pr´esent´e est `a Gr=40000 et d´emarre d’une situation au repos. La structure de l’´ecoulement passe rapidement d’une cellule stationnaire `a trois cellules instationnaires puis au bout d’un certain nombre de cycles bifurque brutalement vers la solution stationnaire `a 2 cellules. Comptez 40 minutes et 15000 it´erations pour obtenir les yeux de chat avec un maillage r´egulier40x10.

***** OPTIONS ***** mt=DALLER bas rwall haut lwall ; TASSER mt ; mt= ORIE mt ;

$mt=DOMA mt ’MACRO’ ’IMPR’ ;

* On doit remettre le maillage fin dans mt pour ’CLIM’

mt=($mt.maillage) ;

***** CREATION DES TABLES *****

rv = EQEX $mt ’ALFA’ 0.5 OPTI CENTREE

’ZONE’ $mt ’OPER’ ’NS’ ’NU’ ’GB’ ’TN’ ’TREF’ ’INCO’ ’UN’

’ZONE’ $mt ’OPER’ ’CALCPSI’

’CLIM’ ’UN’ ’UIMP’ (bas et lwall et rwall et haut) 0.

’UN’ ’VIMP’ (bas et lwall et rwall et haut) 0.

;

rvp = EQPR $mt KTYPI 1

ZONE $mt ’OPER’ ’PRESSION’ 0.

PIMP 0.

;

***** CONDITIONS INITIALES *****

rv.’INCO’=TABLE ’INCO’ ;

rv.’INCO’.’UN’ = KCHT $mt VECT SOMMET (0. 0.) ; rv.’INCO’.’PSI’ = KCHT $mt SCAL SOMMET 0. ;

xmt = COOR 1 mt;

rv.’INCO’.’TN’=kcht $mt SCAL SOMMET (t1+ ((xmt/L)*(t2-t1)) ) ; rv.’PRESSION’=rvp ;

* Les deux listes qui suivent contiennent t et psi(t) rv.’INCO’.’LTPS’ = PROG 0.;

rv.’INCO’.’LPSIMAX’ = PROG 0.;

nbiter=15000;

Gr=40000 ;

rv.’INCO’.’NU’=nu ;

rv.’INCO’.’GB’= (0. (-1.*Gr));

* Le choix de TREF conditionne l’apparition des bifurcations

* rv.’INCO’.’TREF’ = (t1+t2)/2.;

rv.’INCO’.’TREF’= t1;

rv.’FIDT’=100;

rv.’ITMA’=nbiter;

uref = 0.2* (1/(Gr ** 0.5)) ;

***** PROCEDURE DE CALCUL DE LA FONCTION DE COURANT *****

***** Laplacien(psi) = - Rotationnel2D (vitesse) *****

DEBPROC CALCPSI ; ARGU RX*TABLE ; rv=rx.’EQEX’ ;

pasdt=rv.’PASDETPS’.’NUPASDT’;

vitesse = rv.’INCO’.’UN’;

tps = rv.’PASDETPS’.’TPS’;

rt2d= KOPS vitesse ’ROT’ $mt ; sw = (-1.)* rt2d ;

rk = EQEX $mT ’OPTI’ ’EF’ ’IMPL’

ZONE $mt OPER LAPN 1. INCO ’PSI’

ZONE $mt OPER FIMP sw INCO ’PSI’

’CLIM’ ’PSI’ ’TIMP’ (bas et lwall et rwall et haut) 0.

;

rk.’INCO’=table ’INCO’ ;

rk.’INCO’.’PSI’=kcht $mt scal sommet 0. ; EXIC rk ;

psi=rk.’INCO’.’PSI’;

rv.’INCO’.’PSI’= psi;

psimax = MAXI (ABS psi);

ltps = rv.’INCO’.’LTPS’;

lpsimax = rv.’INCO’.’LPSIMAX’;

rv.’INCO’.’LTPS’ = ltps ET (PROG tps );

rv.’INCO’.’LPSIMAX’ = lpsimax ET (PROG psimax);

FINPROC;

***** CALCUL DE LA SOLUTION *****

EXEC rv ;

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