TIME-Of-DAY CLOCK - _-------------- Section 1

Defini¸cão 5.11 Seja (X, Y ) um par aleatório e g : R2 _{→ R uma fun¸cão quase-cont´ınua. Define-se} valor médio ou valor esperado ou média de g(X, Y ) como:

(a) E [g(X, Y )] = ∞ X i=1 ∞ X j=1

g(xi, yj)P (X = xi, Y = yj) 1, se (X, Y ) for vector aleat´orio discreto com

f. probabilidade conjunta pij = P (X = xi, Y = yj), ∀i, j.

(b) E [g(X, Y )] = Z +∞

−∞

Z +∞

−∞

g(x, y)fX,Y(x, y)dxdy2, se (X, Y ) vector aleat´orio cont´ınuo com fun¸c˜ao

densidade conjunta fX,Y(., .).

Nota: Em particular estaremos mais interessados no caso g(x, y) = xy, obtendo: X _{E [XY ] =}P∞ i=1 P∞ j=1xiyjP (X = xi, Y = yj) X _{E [XY ] =}R+∞ −∞ R+∞

−∞ xyfX,Y(x, y)dxdy

Defini¸c˜ao 5.12 Seja (X, Y ) um par aleat´orio. Sendo µX = E [X] e µY = E [Y ], define-se co-

variˆancia entre X e Y por:

cov (X, Y ) = E [(X − µX) (Y − µY)] ,

desde que o lado direito da igualdade exista.

Proposi¸cão 5.3 Seja (X, Y ) um par aleatório. Então, caso exista a covariância entre X e Y , esta pode ser calculada através da fórmula:

cov (X, Y ) = E (XY ) − E (X) E (Y )

A covariância dá uma indica¸cão sobre a forma como as variáveis são relacionadas. Em geral, um valor positivo de covariância entre X e Y é uma indica¸cão que Y tende a crescer linearmente quando X cresce e um valor negativo indica que Y tende a decrescer linearmente quando X cresce.

Teorema 5.2 Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que os seus valores médios, E [X] e E [Y ], respectivamente, existem. Então,

E [XY ] = E [X]E [Y ]

Note-se que o teorema anterior é facilmente generalizável a mais de duas variáveis aleatórias.

1_{Caso esta s´}_{erie seja absolutamente convergente, ficando doravante esta nota subjacente a todas as defini¸c˜}_{oes deste}

tipo.

2_{Caso este integral seja absolutamente convergente, ficando doravante esta nota subjacente a todas as defini¸c˜}_{oes deste}

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₅₉

Corolário 5.2.1 Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então cov(X, Y ) = 0.

Note-se que o resultado anterior trata-se de uma implica¸cão e não equivalência. Assim, pode haver variáveis cuja covariância seja nula e elas ainda assim não sejam independentes.

Teorema 5.3 Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que existam as suas variâncias, V (X) e V (Y ), respectivamente. Então,

V (X ± Y ) = V (X) + V (Y ) ± 2cov(X, Y )

Também este teorema é facilmente generalizável a mais de duas variáveis aleatórias.

Corolário 5.3.1 Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, ent˜_{ao V (X ± Y ) = V (X) + V (Y ).}

Exemplo 5.6 Retome-se o exemplo 5.1, da quantidade de batatas obtidas para diferentes esquemas

de aduba¸cão. Já vimos que estas variáveis não são independentes, pelo que a sua covariância pode não ser nula. Vamos calculá-la:

E [XY ] = 5 X x=2 3 X y=1 xyP (X = x, Y = y) = 2 × 1 × 0.13 + 2 × 2 × 0.03 + 2 × 3 × 0.04+ + 3 × 1 × 0.10 + . . . = 7.33 E [X] = 5 X x=2 xP (X = x) = 2 × 0.2 + 3 × 0.3 + 4 × 0.3 + 5 × 0.2 = 3.5 E [Y ] = 3 X y=1 yP (X = y) = 1 × 0.33 + 2 × 0.33 + 3 × 0.34 = 2.01

cov(X, Y ) = E [XY ] − E [X]E [Y ] = 7.33 − 3.5 × 2.01 = 0.295

Proposi¸cão 5.4 Sejam X, Y , W e Z variáveis aleatórias, a, b, c e d constantes reais. Então: X _{cov(X, Y ) = cov(Y, X);}

X _{cov(X, X) = V (X);}

X _{cov (a + bX, c + dY ) = bd cov (X, Y );}

X _{cov (aX + bY, cZ + dW ) = ac cov (X, Z) + ad cov (X, W ) + bc cov (Y, Z) + bd cov (Y, W ).} Já dissemos que a covariância entre duas variáveis aleatórias X e Y dá uma indica¸cão da existência de alguma rela¸cão linear entre elas. A for¸ca desta rela¸cão é medida através de uma quantidade chamada coeficiente de correla¸cão.

Defini¸cão 5.13 Seja (X, Y ) um par aleatório. Define-se coeficiente de correla¸cão entre (X, Y ) como

ρ (X, Y ) = cov (X, Y ) pV (X) V (Y )

Proposi¸cão 5.5 Seja (X, Y ) um par aleatório. Então: X _{−1 ≤ ρ (X, Y ) ≤ 1;}

X _{|ρ (X, Y )| = 1 se e s´o se P (Y = a + bX) = 1, sendo a e b constantes reais;} X _{Se X e Y s˜}_{ao v.a.’s independentes ρ (X, Y ) = 0.}

Exemplo 5.7 Relativamente ao exemplo 5.1, calculemos o coeficiente de correla¸c˜ao entre o n´umero

de batatas por batateira (X) e o número de adubagens (Y ). cov(X, Y ) = 0.295 E [X] = 3.5 E [Y ] = 2.01 V (X) = E [X2_{] − E}2[X] = 5 X x=2 x2_{P (X = x) − 3.5}2 = = 22_{× 0.2 + 3}2_{× 0.3 + 4}2_{× 0.3 + 5}2_{× 0.2 − 12.25 = 13.3 − 12.25 = 1.05} V (Y ) = E [Y2_{] − E}2[Y ] = 3 X y=1 y2_{P (Y = y) − 2.01}2 = = 12_{× 0.33 + 2}2_{× 0.33 + 3}2_{× 0.34 − 4.0401 = 4.71 − 4.0401 = 0.6699} Então: ρ(X, Y ) = cov(X, Y ) pV (X)V (Y ) = 0.295 √ 1.05 × 0.6699 ' 0.35 Assim conclu´ımos que a rela¸cão entre X e Y é fraca.

5.5 Exerc´ıcios Propostos

5.1 Considere o vector aleat´orio (X, Y ) com a seguinte fun¸c˜ao de probabilidade conjunta:

X \ Y 2 4 6 1 1₈ 3₈ 0 4₈ 2 1₈ 0 1₄ 3₈ 3 ₁₆1 ₁₆1 0 1₈ 5 16 167 14 1

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₆₁

(a) Determine as fun¸cões de probabilidade marginais de X e de Y . (b) As variáveis X e Y são independentes?

(d) Calcule E [X], E [Y ], V (X), V (Y ), cov(X, Y ) e V (X + Y ).

5.2 Numa empresa de aluguer de aviões informam-nos de que a procura diária de aviões de passageiros, X, e a procura diária de aviões de transporte rápido de correio, Y , constituiem um par aleatório (X, Y ), cuja fun¸cão de probabilidade conjunta é dada por:

X \ Y 0 1 2 0 0 0.25 1 0.05 0.35 2 0.1 0.1 p + 0.2 3 0 0.1 p 0.2 0.5

(a) Qual a probabilidade de, num dia, a procura de aviões de passageiros ser inferior à procura de aviões de transporte rápido de correio?

(b) Deduza a fun¸c˜ao de probabilidade da procura total de avi˜oes de aluguer.

5.3 O João costuma jogar, todas as semanas, 3 partidas de ténis e 1 partida de xadrez, contra a sua namorada. Verifica-se que o João ganha a partida de xadrez com probabilidade 0.4. Quanto aos jogos de ténis, ganha 40% das vezes as 3 partidas, 30% das vezes 2 partidas e 10% das vezes 1 partida.

Considere que os resultados do t´enis s˜ao independentes dos resultados do xadrez.

Represente X o número de vezes que o João ganha, por semana, a partida de xadrez e Y o número de vezes que ganha ao ténis.

(a) Determine a fun¸cão de probabilidade conjunta do vector aleatório (X, Y ) e as fun¸cões de probabilidade marginais de X e de Y .

(b) Determine o número médio de vitórias do João no xadrez e no ténis, por semana, e os respectivos desvios padrão.

5.4 Um supermercado tem para venda leite de uma determinada marca, dispon´ıvel em embalagens de 1 litro e de 1/2 litro. Relativamente ao n´umero de embalagens desta marca vendidas diariamente, considere as v.a.’s X-no de embalagens de 1 litro e Y -no de embalagens de 1/2 litro. Acerca destas v.a.’s sabe-se que:

X _{O dom´ınio de X ´e {0, 1, 2, 3} e Y pode assumir valores 0 ou 1.} X _{Os valores de Y s˜}_{ao igualmente prov´aveis.}

X _{20% dos dias n˜}_{ao se vendem embalagens de 1 litro e P (X = 1) = P (X = 2).} X _{Todos os dias se vendem embalagens desta marca de leite.}

X _{P (X = 2; Y = 0) = P (X = 2; Y = 1) = 0.15}

X _{Os dias em que se vendem 3 embalagens de 1 litro e nenhuma de 1/2 litro, ocorrem com} probabilidade 0.15.

(a) Deduza a fun¸c˜ao de probabilidade conjunta do par aleat´orio (X, Y ).

(b) Determine a probabilidade de num dia se venderem mais embalagens de 1 litro do que de 1/2 litro.

(c) Num dia em que se registou a venda de 1/2 litro de leite, qual a probabilidade de se ter vendido mais de que 1 embalagem de 1 litro.

(d) Estude a independência das variáveis aleatórias X e Y .

5.5 Tendo o par aleat´orio (X, Y ) a seguinte fun¸c˜ao de probabilidade conjunta:

X \ Y −a (a − 6) a 2a

0 k₂ k₂ k 0 2k

2 0 k₂ k k₂ 2k

2 k 2k k2 1

(a) Determine o valor de k.

(b) Determine o valor de a sabendo que E [Y ] = 2E [X]. (c) Calcule cov(X, Y ).

5.6 Numa fábrica produzem-se ratos de computador, que podem sofrer de dois tipos diferentes de defeitos - digamos A e B. Para cada rato produzido definem-se duas variáveis aleatórias, X e Y , representando, respectivamente, o número de defeitos do tipo A e do tipo B a si associados:

X =

0, rato sem defeito do tipo A

1, rato com defeito do tipo A Y =

0, rato sem defeito do tipo B 1, rato com defeito do tipo B Sabendo que P (Y = 0) = 0.80, P (X = 1|Y = 1) = 0.7 e P (X = 1|Y = 0) = 0.1:

(a) Determine a fun¸c˜ao de probabilidade conjunta do par aleat´orio (X, Y ).

(b) Justifique se para cada rato o número de defeitos do tipo A é independente do número de defeitos do tipo B.

(d) Qual a probabilidade de o n´umero total de defeitos num qualquer rato da produ¸c˜ao ser inferior a 2?

5.7 Considere as fam´ılias de determinado pa´ıs com três filhos. Neste universo representem X e Y , respectivamente, o número de filhos daltónicos e o número de filhos canhotos, por fam´ılia. Admita que o par aleatório (X, Y ) tem a seguinte fun¸cão de probabilidade conjunta:

X\Y 0 1

0 0.50 1 0.25

2 0.05 0.05 0.1 0.8 0.2

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₆₃

(a) Sabendo que cov(X, Y ) = 0.09 complete o quadro das probabilidades conjuntas acima. (b) Qual a propor¸cão de fam´ılias que não têm nenhum filho simultaneamente daltónico e can-

hoto? Qual a propor¸cão de fam´ılias sem filhos daltónicos? E sem filhos canhotos? O que é que estes resultados lhe podem dizer quanto à independência entre o número de filhos daltónicos e o número de filhos canhotos?

5.8 Suponhamos que M1 e M2 s˜ao duas m´aquinas que funcionam independentemente e sejam X e Y

variáveis aleatórias que representam, respectivamente, no diário de avarias de M1 e o no diário

de avarias de M2. Sabendo que:

X _{A m´}_{aquina M}₁ _{nunca avaria mais do que uma vez por dia e, que a m´}_{aquina M}₂ _{avaria, no} m´aximo, duas vezes por dia;

X _{A probabilidade de M}₁ _n˜_{ao avariar ´e de 0.7;}

X _{A probabilidade de M}₂ _n˜_{ao avariar ´e 0.5 e a de avariar duas vezes ´e 0.3,}

Construa a tabela da fun¸c˜ao de probabilidade conjunta e marginais associada ao par aleat´orio (X, Y ).

5.9 Sejam X e Y duas v.a.’s tais que V (X) = σ2 _{e V (Y ) = 2σ}2_{. Considere novas v.a.’s T = 2X + Y}

e W = X − Y . Sabendo que V (W ) = σ2, calcule: (a) O coeficiente de correla¸c˜ao entre X e Y . (b) V (T ).

5.10 Seja (X, Y ) um par aleat´orio para o qual V (X) = V (Y ) = σ2e coeficiente de correla¸c˜ao ρ. Sejam as novas v.a.’s U = X + Y e W = X − Y . Mostre que V (W ) = 2σ2_{(1 − ρ) e cov(U, W ) = 0.}

5.11 ‡ Seja (X, Y ) um vector aleat´orio com a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade conjunta:

f (x, y) =

k(x + 2y), 0 < x < 1, 0 < y < 1

0, c.c.

(a) Determine k.

(b) Determine as fun¸cões densidade marginais de X e Y . (c) As variáveis X e Y são independentes?

(d) Calcule P (1₅ < X < 2₅). (e) Calcule P (X < Y ).

(f) Calcule P (1₅ < X < 2₅_{|Y >} 1₂),

5.12 ‡ _{Seja (X, Y ) um vector aleat´}_{orio com a seguinte fun¸c˜}_{ao densidade probabilidade conjunta:}

f (x, y) =

k, _{x > 0, y < 0, y > x − 2} 0, restantes valores de (x,y)

(a) Determine k.

(b) As vari´aveis X e Y s˜ao independentes?

5.13 Diga, justificando, se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas:

(a) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Se cov(X, Y ) = 0 então X e Y são variáveis independentes.

(b) A covariância entre duas variáveis aleatórias é uma quantidade sempre positiva ou nula. (Exerc´ıcio de exame)

5.14 Diga, justificando, se as seguintes afirma¸cões são verdadeiras ou falsas: (a) Seja X uma v.a. tal que E[X] = µ e V (X) = σ2. Então cov(X, X) = 0.

(b) Sejam X1 e X2 duas vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas, com

valor m´edio µ e variˆancia σ2_{. `}_{A custa desta vari´}_{aveis definam-se as seguintes outras duas}

variáveis aleatórias: Y1 = X1+ X2 e Y2 = 2X1. Então a cov(Y1, Y2) = 0.

(c) O Francisco e o João costumam encontrar-se todas as semanas. O João chega atrasado a esses encontros com probabilidade 0.5 e o Francisco chega atrasado com probabilidade 0.2 - assuma independência entre encontros e também entre os atrasos dos dois amigos. Seja X (respectivamente Y ) a variável aleatória que conta, em 2 semanas quaisquer, quantas vezes se atrasa o Francisco (respectivamente o João). Então a fun¸cão de probabilidade da variável aleatória que conta o número de vezes que o Francisco se atrasa, nessas duas semanas, sabendo que o número de atrasos do João é 2, é dada por:

P (X = x|Y = 2) =    0.64, x = 0 0.32, x = 1 0.04, x = 2

(d) A covariância entre duas variáveis aleatórias tem sempre de ser maior do que o correspondente coeficiente de correla¸cão entre as variáveis.

5.15 Nas urgências do hospital de S. Sebastião gasta-se, por cada 1 hora, X sacos de algodão e Y seringas. No quadro abaixo representa-se a fun¸cão de probabilidade conjunta deste par aleatório (X, Y ), que se encontra incompleto:

X\Y 0 1 2

0 1/12 1/12

1 0

(a) Complete a fun¸cão de probabilidade conjunta sabendo que a probabilidade de se gastar 1 seringa é o dobro da probabilidade de se gastarem 2 seringas e que a probabilidade de se gastarem 0 seringas é o triplo da probabilidade de se gastarem 2 seringas.

(b) Calcule a probabilidade de o número de sacos de algodão gastos numa hora ser superior ao número de seringas gastas nessa hora.

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₆₅

(c) Determine a fun¸cão de probabilidade do número de sacos de algodão gastos numa hora, X, e a sua correspondente fun¸cão distribui¸cão.

(d) Determine o número médio de sacos de algodão gastos numa hora e o número médio de seringas gastas nesse mesmo per´ıodo.

(e) Determine a covariância entre as variáveis X e Y . Comente este resultado, referindo se o pode usar para decidir quanto à independência entre as variáveis. Justifique.

(Exerc´ıcio de exame) 5.16 O Sr. Z´e e a SraMaria trabalham na mesma loja. Todas as manh˜as pode acontecer que cada um

deles tenha de se ausentar do seu posto de trabalho. Assim, representando a variável aleatória X o número de vezes que isso acontece ao Sr. Zé, por manhã, e a variável aleatória Y o número de vezes que tal sucede à SraMaria, por manhã, conhecemos a fun¸cão de probabilidade conjunta destas duas variáveis:

X\Y 0 1 2

0 0.125 0.05 0.075 0.25

1 0.25 0.1 0.15 0.5

2 0.125 0.05 0.075 0.25

0.5 0.2 0.3 1

(a) Deduza a fun¸cão distribui¸cão do número de vezes X que o Sr. Zé se ausenta do seu posto de trabalho por manhã.

(b) Determine a probabilidade de, numa determinada manhã, o Sr. Zé se ausentar do seu posto de trabalho no máximo uma vez.

(c) Determine a probabilidade de, numa manhã de trabalho, o Sr. Zé se ausentar do seu posto de trabalho no máximo uma vez, sabendo que nessa mesma manhã a SraMaria ausentou-se uma única vez. Explique em que sentido é que o resultado obtido lhe permite come¸car a tecer considera¸cões sobre a independência das variáveis X e Y .

(d) Determine E [X +2], V(X +2) e V(X +Y ), justificando convenientemente os passos dados. (Exerc´ıcio de exame) 5.17 Por dia, o n´umero de pacientes com queixas de tens˜ao baixa atendidos em determinado servi¸co

de urgências hospitalares é uma variável aleatória X com a seguinte fun¸cão de probabilidade:

1 2 3 4

0.4 0.3 0.2 0.1

Sabe-se ainda que o número de pacientes com desmaios, Y , atendidos neste mesmo servi¸co, por dia, é sempre dado pelo número de pacientes com queixas de tensão baixa, X, mais 5 pacientes (com outras queixas): Y = X + 5.

(a) Qual a probabilidade de, num qualquer dia, aparecerem neste servi¸co de urgências 2 pacientes com queixas de tensão baixa e 7 pacientes com desmaios? E qual a probabilidade de, num qualquer dia, aparecerem neste servi¸co de urgências 2 pacientes com queixas de tensão baixa e 8 pacientes com desmaios?

(b) Determine a fun¸c˜ao de probabilidade conjunta do par aleat´orio (X, Y ).

Sugestão: Comece por enumerar quais os valores que a variável Y pode tomar. (c) Encontre o coeficiente de correla¸cão entre X e Y . Comente o seu valor.

(d) Qual o número médio de pacientes com queixas de tensão baixa neste servi¸co, por dia? E qual o seu coeficiente de varia¸cão?

(Exerc´ıcio de exame) 5.18 Uma certa máquina de fax está avariada. Assim é frequente enviarem-se faxes que nunca chegam

ao seu destino. Seja X o número de vezes que um fax é enviado e Y o número de vezes que esse fax é recebido. (X, Y ) é um par aleatório que tem a seguinte fun¸cão de probabilidade conjunta:

X \ Y 0 1 2

1 0.4 0.2 0 0.6

2 0.2 0.15 0.05 0.4

0.6 0.35 0.05 1

(a) Calcule P (Y < X). Comente.

(b) Qual o número médio de faxes enviados e qual o número médio de faxes recebido? Comente. (c) Sabendo que V (Y ) = 0.3475, calcule o coeficiente de correla¸cão entre X e Y . Comente. (d) Calcule a probabilidade de receber 2 faxes sabendo que foram enviados 2 faxes.

(e) O que pode dizer quanto à independência entre as variáveis X e Y . Justifique.

(Exerc´ıcio de exame) 5.19 Considere o par aleat´orio (X, Y ) em que X e Y representam o n´umero de golos marcados pelo

Benfica e pelo Sporting, respectivamente, no cl´assico derby Benfica-Sporting. Sabe-se que: • X, Y ∈ {0, 1, 2}.

• A probabilidade do jogo terminar empatado ´e de 1/3 sendo que as diferentes possibilidades de empate tˆem igual probabilidade de ocorrer.

• A vit´oria de qualquer equipa s´o pode eocorrer pela diferen¸ca de um golo.

• A probabilidade de vit´oria do Benfica ´e o dobro da do Sporting, sendo que P (X = 1, Y = 0) = P (X = 2, Y = 1) e P (X = 0, Y = 1) = P (X = 1, Y = 2).

(a) Determine as fun¸cões de probabilidade conjunta e marginais. (b) As variáveis X e Y são independentes?

(d) Qual a probabilidade de no total serem marcados trˆes golos? (e) Calcule cov(X, Y ).

(Exerc´ıcio de exame) 5.20 Seja X a variável aleatória que indica o número de vezes que a electricidade de uma moradia é

“cortada” por falta de pagamento, num ano, e a variável aleatória Y indica o número de vezes que a água é “cortada” pela mesma razão. Sabe-se que a fun¸cão de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ) é a seguinte

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₆₇

X\Y 0 1 2

0 c1 c2 0.1

1 0.1 0.1 c3

2 0.1 0.0 0.1

(a) Complete a tabela e determine as fun¸c˜oes de probabilidade marginais de X e Y sabendo que E(XY ) = 0.5 e E(Y2) = 1.1.

Se n˜ao resolveu a al´ınea a) considere c1 = 0.2, c2 = 0.1 e c3 = 0.2.

(b) Qual a probabilidade da electricidade ser “cortada” num ano em que n˜ao houve cortes de ´

agua?

(c) Determine o coeficiente de correla¸cão entre as variáveis X e Y . Comente o valor obtido. (d) Determine a fun¸cão de probabilidade do total de cortes num ano.

Distribui¸c˜oes especiais

Este cap´ıtulo trata de algumas distribui¸cões de probabilidade que são mais frequentemente usadas em aplica¸cões práticas, bem como algumas das suas propriedades. Come¸ca por se introduzir primeiro algumas distribui¸cões discretas seguindo-se com outras do tipo cont´ınuo.

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