Buffer Control PAL - _-------------- Section 1

Como já se referiu anteriormente muitas distribui¸cões de probabilidade são descritas por modelos matemáticos que dependem de alguns parâmetros que as identificam.

Considere-se, por exemplo, o caso de duas variáveis aleatórias X e Y cont´ınuas, com fun¸cões densidade probabilidade f (x) e g(y), respectivamente, desenhadas na figura abaixo.

f (x ), g (y ) f (x) g(y) d x, y 0. 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 −4 −2 0 2 4

As fun¸cões densidade apresentam ambas a mesma forma, podendo-se obter uma da outra por uma simples transla¸cão por d. Teria pois interesse termos um coeficiente ou parâmetro que descrevesse a posi¸cão de cada uma das fun¸cões, dito parâmetro de localiza¸cão. Conhecida a forma da curva em questão estes parâmetros identificam perfeitamente qual a distribui¸cão a que se refere.

Os mais comuns parâmetros de localiza¸cão de uma distribui¸cão de probabilidade são: X _{Média ou valor esperado da v.a. X, µ, definido anteriormente. Existe quase sempre.}

X _{Mediana da v.a. X, designada por m}_e_{, e definida como o valor que satisfaz as condi¸c˜}_oes P (X ≤ me) ≥ 0.5 e P (X ≥ me) ≥ 0.5. Existe sempre.

X _{Quantil de ordem p ou 100p percentil da v.a. X, designado por q}_p_{, e definido como o valor que} satisfaz as condi¸c˜_{oes P (X ≤ q}p) ≥ p e P (X ≥ qp) ≥ 1 − p. Existe sempre.

X _{Moda da v.a. X, designada por m}_o_{, e definida como o valor que maximiza a fun¸c˜}_{ao de proba-} bilidade ou a fun¸c˜ao densidade probabilidade, dependendo do caso, desde que seja ´unico. Nem sempre existe.

Considere-se agora outro aspecto relacionado com a forma das distribui¸cões, mais precisamente com a sua dispersão em torno da média, patente na figura seguinte:

f (x ), g (y ) f (x) g(y) x, y 0. 0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1. 0 −4 −2 0 2 4

Os parâmetros usados para capturar a forma como a distribui¸cão se ”espalha”em torno da média são chamados parâmetros de dispersão. Os mais usuais são:

X _Variˆ_{ancia (σ}2_{) e desvio padr˜ao (σ), j´a anteriormente definidos. Existem quase sempre.}

X _{Coeficiente de varia¸c˜}_{ao, definido quando existem a m´edia µ - que tem de ser positiva - e o desvio} padr˜ao σ, por c.v. = σ_µ_{× 100.}

X _{Amplitude interquartis. Fixando o 1}o _{quartil (= quantil 0.25) e o 3}o _{quartil (= quantil 0.75)} esta amplitude ´e dada por q0.75− q0.25.

Ainda relacionado com a forma das distribui¸cões definem-se parâmetros que dão uma indica¸cão da sua simetria e do seu achatamento. O primeiro designa-se por coeficiente de simetria e define-se como:

β1=

µ3

σ3,

onde µ3 é o momento central de ordem 3 da v.a. e σ o seu desvio padrão. Quando este coeficiente é

nulo indica uma distribui¸cão simétrica, como as que aparecem nos gráficos anteriores. Se β1 > 0 fala-se

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₄₇

Relativamente ao achatamento da distribui¸c˜ao, define-se coeficiente de achatamento ou kur- tosis como:

β2 = µ4

σ4 − 3,

onde µ4 ´e o momento central de ordem 4 da v.a. e σ o seu desvio padr˜ao. Conforme β2 for menor

ou maior falamos, respectivamente, de uma distribui¸cão mais achatada (conforme a curva a verde da distribui¸cão do gráfico anterior) ou menos achatada (como a azul).

4.3 Exerc´ıcios Propostos

4.1 A v.a. X representa o número de vezes que o José, estranho personagem, vai ao café por dia. Este número é determinado pelo seguinte procedimento:

X _{De manhã o José lan¸ca ao ar uma moeda equilibrada. Se sair cara ele vai ao café, caso} contrário não vai.

X `_{A hora de almo¸co, se ele foi ao café de manhã, s´}_{o volta a ir se n˜}_{ao estiver a chover, o que} acontece com uma probabilidade de 0.2. Se não tiver ido de manhã, volta a lan¸car moeda ao ar e, novamente, só vai ao café se sair cara.

(a) Determine a fun¸c˜ao de probabilidade da v.a. X.

(b) Qual a probabilidade de o Jos´e tomar 2 caf´es por dia, sabendo que toma pelo menos 1 nesse dia?

4.2 Determine o valor médio e a variância da v.a. discreta X com fun¸cão de probabilidade: f (0) = 1₈ f (1) = 3₈ f (2) = 3₈ f (3) = 1₈. Calcule ainda: E [g(X)], com g(X) = X3, E 1 1 + X e E [X2].

4.3 Seja X uma v.a. tal que P (X = 0) = 1₄, P (X = 1) = p₂, P (X = 2) = 5₈ ₋p₂ e P (X = 3) = 1₈, com 0 ≤ p ≤ 12. Determine p de forma a que V (X) seja m´ınima.

4.4 Numa lotaria foram emitidos 10000 bilhetes. Sorteia-se 1 prémio de 25000 unidades monetárias (u.m.) e 10 prémios de 2500 u.m.. Seja X a v.a. que representa o valor do prémio de um bilhete qualquer.

(a) Determine a fun¸c˜ao de probabilidade de X.

(b) Qual a probabilidade de um bilhete n˜ao ter qualquer pr´emio? (c) Qual a probabilidade de um bilhete ter pelo menos 2500 u.m.? (d) Determine o E [X], V (X) e c.v.(X). Comente.

4.5 Uma comissão de alunos está a organizar uma festa da faculdade. Os alunos vão comprar 200 litros de cerveja. Um fornecedor deste l´ıquido (A) cobra 1 unidade monetária (u.m.) por litro permitindo a devolu¸cão da cerveja que sobrar (e que não tem de ser paga) e um outro fornecedor (B) cobra 0.5 u.m. por litro, não admitindo devolu¸cões. Os alunos, independentemente de quanto lhes custe a cerveja, cobram 1.5 u.m. por litro.

Sabendo que, se estiver bom tempo - o que acontecer´a com probabilidade 0.8 - os alunos con- seguem vender os 200 litros de cerveja, mas se estiver mau tempo s´o vendem metade, a quem devem comprar?

4.6 Seja X uma v.a. com a seguinte fun¸c˜ao distribui¸c˜ao:

F (x) =

0, x < 0

1 − (x + 1)e−x_{, x ≥ 0}

(a) Determine a fun¸c˜ao densidade probabilidade de X. (b) Determine E [X] e V (X).

4.7 Determine E [X], E [X − 1], V (X), E [X(X − 1)], E [eX], a mediana e o coeficiente de varia¸c˜ao da v.a. X que tem a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:

f (x) =                    x 2, 0 ≤ x ≤ 1 1 2, 1 < x ≤ 2 3−x 2 , 2 < x ≤ 3 0, _{x < 0 ∨ x > 3}

4.8 A v.a. X tem a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:

f (x) = k sin(x), 0 ≤ x ≤ π

0, c.c.

(a) Determine o valor da constante k. (b) Determine E [X].

(d) Determine E [cos(X)]. (e) Determine V(5X-4).

4.9 A distribui¸cão com a seguinte fun¸cão densidade é a chamada distribui¸cão de Cauchy:

f (x) = 1

π(1 + x2₎, x ∈ R

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₄₉

4.10 Numa reparti¸cão pública o horário de atendimento é das 10h às 17h e o tempo de espera até ser atendido (horas) é uma v.a. X com a seguinte fun¸cão densidade probabilidade (f.d.p.):

f (x) = λe−λx, x ≥ 0 0, x < 0

O parâmetro λ da f.d.p. depende da hora a que se for à referida reparti¸cão, valendo λ = 1₄ no per´ıodo das 10h às 15h e λ = 1₆ no per´ıodo das 15h às 17h. Sabendo que a probabilidade de uma pessoa qualquer, que tem de ir à referida reparti¸cão, o fazer no 1o _{per´ıodo (10h-15h) é de}

0.4, determine:

(a) A probabilidade de uma pessoa que vai à reparti¸cão às 11h esperar no máximo 20 minutos. (b) A probabilidade de uma pessoa que vai à reparti¸cão às 16h esperar pelo menos 20 minutos. (c) O tempo de espera médio, mediano e modal e respectiva variância e coeficiente de varia¸cão,

no per´ıodo das 10h `as 15h.

(d) O tempo de espera médio, mediano e modal e respectiva variância e coeficiente de varia¸cão, no per´ıodo das 15h às 17h.

4.11 O tempo (horas) que o técnico Manel demora a compor um aparelho de v´ıdeo é uma variável aleatória cuja fun¸cão densidade é dada por:

f (x) = ₁

3, 0 < x < 3

0, c.c.

(a) Qual a probabilidade de o técnico Manel demorar mais de 2 horas a compor um v´ıdeo? (b) Quanto tempo demora, em média, o técnico a compor um aparelho de v´ıdeo?

(c) O custo da repara¸c˜ao (e) depende do tempo que a mesma demora a executar, sendo igual a (40 + 3√X). Qual o custo m´edio de compor um aparelho de v´ıdeo?

(Exerc´ıcio de exame) 4.12 Diga, justificando, se as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas:

(a) Abaixo encontra-se a fun¸cão distribui¸cão da v.a. discreta X. Então o seu valor esperado vale 6.3. F (x) =            0.0, x < 5 0.4, _{5 ≤ x < 6} 0.6, _{6 ≤ x < 7} 0.9, 7 ≤ x < 10 1.0, _{x ≥ 10}

(b) Em determinado exame de Probabilidades e Estat´ıstica verificou-se que a média das notas foi de 9 valores mas que a sua mediana foi de 4 valores. Esta situa¸cão é imposs´ıvel. (c) A distribui¸cões de probabilidade assimétricas esquerdas correspondem valores de variância

(d) Considere o gráfico seguinte referente a valores observados de duas variáveis aleatórias, X1 e X2: X1 X2 − 10 −10 − 5 −5 0 0 5 5 10 10

Então podemos afirmar com base neste gráfico que X1 e X2 têm a mesma média mas que

a variˆancia de X2 ´e maior do que a de X1.

(Exerc´ıcio de exame)

4.13 Num concurso de televisão o apresentador propõe ao concorrente o seguinte jogo: atiram-se ao ar 3 moedas, em simultâneo, e se todos os lan¸camentos resultarem em caras o apresentador dá 10e ao concorrente; Se todos os lan¸camentos resultarem em coroas o apresentador dá igualmente ao concorrente 10e. Mas se os lan¸camentos resultarem em 2 caras e 1 coroa ou em 2 coroas e 1 cara, o concorrente tem de dar ao apresentador 5e.

(a) Represente X a quantidade de dinheiro ganha pelo concorrente. Determine a sua fun¸c˜ao de probabilidade.

(b) Baseado no valor esperado de X diga se o concorrente deve aceitar jogar este jogo. (Exerc´ıcio de exame) 4.14 Seja X uma variável aleatória com a seguinte fun¸cão densidade probabilidade:

f (x) = ₁

6, −2 ≤ x ≤ 4

0, caso contr´ario (a) Determine P (−1 ≤ X ≤ 1|X > 0).

(b) Considere a vari´avel aleat´oria Y = X2_{. Determine P (Y ≤ 1).}

Cap´ıtulo 5

Vectores aleat´orios

Em muitas experiências aleatórias os resultados são traduzidos não apenas por uma única quantidade numérica, mas por duas ou mais. Por exemplo, ao estudar a estatura f´ısica das pessoas de uma certa popula¸cão é usual registar-se um par de medidas (x, y) em que x representa a altura de uma pessoa e y o respectivo peso.

Assim, para descrever convenientemente essas experiências temos de estudar vectores de variáveis aleatórias, ditos vectores aleatórios.

Defini¸cão _{5.1 Seja (Ω, S) um espa¸co amostral. Um vector aleatório de dimensão p, X = (X}1, . . . , Xp)

´e uma fun¸c˜_{ao real e finita, X : Ω → R}p, definida como X(ω) = (X1(ω), . . . , Xp(ω)), ω ∈ Ω, tal que

para x = (x1, . . . , xp) ∈ Rp,

Ax= {ω ∈ Ω : (X₁(ω) ≤ x₁, X₂(ω) ≤ x₂, . . . , X_p(ω) ≤ x_p)} ∈ S,

i.e., Ax ´e um acontecimento.

Teorema 5.1 Sejam X1, X2, . . . , Xp p variáveis aleatórias. Então X = (X1, . . . , Xp) é um vector

aleat´orio de dimens˜ao p.

Aqui vamos restringir-nos apenas aos vectores aleatórios com dois elementos, ditos pares aleatórios, representados por (X, Y ). Estes podem ser do tipo discreto, cont´ınuo ou misto, conforme X e Y são variáveis de tipo discreto, cont´ınuo ou uma discreta e a outra cont´ınua.

5.1 Par aleat´orio discreto

Defini¸cão 5.2 Um par aleatório (X, Y ) é dito ser discreto se toma valores num conjunto nu- merável de pares de pontos com probabilidade 1, i.e. se existe D =(xi, yj) ∈ R2 : P (X = xi, Y = yj) > 0,

i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . .}, quanto muito numer´avel, tal que P ((X, Y ) ∈ D) = 1.

Defini¸c˜ao 5.3 Seja (X, Y ) um par aleat´orio discreto tomando valores no conjunto D =(xi, yj) ∈ R2 :

P (X = xi, Y = yj) > 0, i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . .}. Chamamos fun¸c˜ao de (massa) probabilidade

conjunta de (X, Y ) a:

pij = P (X = xi, Y = yj), i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . .

verificando as seguintes condi¸c˜oes: (i) 0 ≤ pij ≤ 1, ∀(xi, yj) ∈ D; (ii) +∞ X i=1 +∞ X j=1 pij = 1

A representa¸cão da fun¸cão de probabilidade conjunta do par aleatório discreto costuma-se fazer da seguinte forma: X\Y y1 y2 . . . yj . . . x1 p11 p12 . . . p1j . . . p1·=P ∞ j=1p1j x2 p21 p22 . . . p2j . . . p2·=P ∞ j=1p2j .. . ... ... . .. ... . .. ... xi pi1 pi2 . . . pij . . . pi·=P ∞ j=1pij .. . ... ... . .. ... . .. ... p·1= P∞ i=1pi1 p·2= P∞ i=1pi2 . . . p·j= P∞ i=1pij . . . 1

Defini¸cão 5.4 Dado um par aleatório discreto (X, Y ) define-se fun¸cão de probabilidade marginal de X e fun¸cão de probabilidade marginal de Y como:

p_i· = P (X = xi) = ∞ X j=1 P (X = xi, Y = yj) = ∞ X j=1 pij, i = 1, 2, . . . p_·j = P (Y = yj) = ∞ X i=1 P (X = xi, Y = yj) = ∞ X i=1 pij, j = 1, 2, . . .

Estas duas fun¸cões são fun¸cões de probabilidade de variáveis aleatórias unidimensionais.

Exemplo 5.1 Seja (X, Y ) um par aleat´orio, representando X o n´umero de batatas que nascem de

uma única semente de batata e Y o número de vezes que se adubou as respectivas batateiras, desde a sua sementeira até à sua apanha. A fun¸cão de probabilidade conjunta de (X, Y ) segue-se:

X \ Y 1 2 3

2 0.13 0.03 0.04 P(X=2)=0.2

3 0.10 0.12 0.08 P(X=3)=0.3

4 0.07 0.13 0.10 P(X=4)=0.3

5 0.03 0.05 0.12 P(X=5)=0.2

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₅₃

Daqui se vˆe o seguinte:

X _{A probabilidade de terem nascido 5 batatas de uma batateira apenas adubada 1 vez ´e:}

P (X = 5, Y = 1) = 0.03

X _{A probabilidade de nascerem menos batatas do que a quantidade de vezes que se adubou a cor-} respondente batateira ´e:

P (X < Y ) = P (X = 2, Y = 3) = 0.04 X _{A probabilidade de nascerem 5 batatas ´e:}

P (X = 5) = P (X = 5, Y = 1)+P (X = 5, Y = 2)+P (X = 5, Y = 3) = 0.03+0.05+0.12 = 0.20 X _{A probabilidade de determinada batateira s´}_{o ter sido adubada 2 vezes ´e:}

P (Y = 2) = P (X = 2, Y = 2) + P (X = 3, Y = 2) + P (X = 4, Y = 2) + P (X = 5, Y = 2) = = 0.03 + 0.12 + 0.13 + 0.05 = 0.33

X _{A fun¸c˜}_{ao probabilidade marginal de X ´e:}

2 3 4 5

0.2 0.3 0.3 0.2

X _{A fun¸c˜}_{ao probabilidade marginal de Y ´e:}

1 2 3

0.33 0.33 0.34

Defini¸cão 5.5 Seja (X, Y ) um par aleatório discreto. Se P (Y = yj) > 0, à fun¸cão

P (X = xi|Y = yj) =

P (X = xi, Y = yj)

P (Y = yj)

Defini¸cão 5.6 Seja (X, Y ) um par aleatório discreto. Se P (X = xi) > 0, à fun¸cão

P (Y = yj|X = xi) = P (X = xi, Y = yj)

P (X = xi)

para i fixo, chama-se fun¸c˜ao de probabilidade condicionada de Y dado X = xi.

Exemplo 5.2 Relativamente ao par aleat´orio (X, Y ) do exemplo 5.1, determinemos a fun¸c˜ao de

probabilidade condicionada de X dado que apenas se adubou uma vez, i.e. Y = 1:

P (X = 2|Y = 1) = P (X = 2, Y = 1) P (Y = 1) = 0.13 0.33 ' 0.394 P (X = 3|Y = 1) = P (X = 3, Y = 1)_{P (Y = 1)} = 0.10 0.33 ' 0.303 P (X = 4|Y = 1) = P (X = 4, Y = 1)_{P (Y = 1)} = 0.07 0.33 ' 0.212 P (X = 5|Y = 1) = P (X = 5, Y = 1) P (Y = 1) = 0.03 0.33 ' 0.091 Assim, X|Y = 1 2 3 4 5 0.394 0.303 0.212 0.091

Determinemos agora a fun¸c˜ao de probabilidade de Y sabendo que apenas obtivemos 2 batatas, i.e. X = 2. P (Y = 1|X = 2) = P (X = 2, Y = 1)_{P (X = 2)} = 0.13 0.2 = 0.65 P (Y = 2|X = 2) = P (X = 2, Y = 2) P (X = 2) = 0.03 0.2 ' 0.15 P (Y = 3|X = 2) = P (X = 2, Y = 3)_{P (X = 2)} = 0.04 0.2 ' 0.20 Ent˜ao, Y |X = 2 1 2 3 0.65 0.15 0.20 2

Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario ₅₅

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