Defini¸c˜ao 3.5 Uma v.a. X definida em (Ω, S, P ) diz-se do tipo cont´ınuo ou simplesmente cont´ınua
se, sendo F a sua fun¸c˜ao distribui¸c˜ao, F ´e absolutamente cont´ınua, i.e. se existe uma fun¸c˜ao n˜ao nega- tiva f tal que, ∀x ∈ R:
F (x) = Z x
−∞
f (t)dt. `
A fun¸c˜ao f chamamos fun¸c˜ao densidade probabilidade ou fun¸c˜ao densidade da v.a. X.
Notas:
1. A fun¸c˜ao f satisfaz as seguintes propriedades: (i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R;
(ii) R+∞
−∞ f (x) dx = 1
2. Dado um qualquer intervalo real I, P (X ∈ I) =
Z
I
f (t) dt
Como se trata do integral de uma fun¸c˜ao n˜ao negativa e ´e sempre convergente, ent˜ao a P (X ∈ I) corresponde ao valor da ´area entre o eixo das abcissas e o gr´afico da fun¸c˜ao f , no intervalo I considerado.
3. Se o intervalo I for I = [a, b] ou I = ]a, b] ou I = [a, b[ ou ainda I = ]a, b[, com a < b, o valor da sua probabilidade ´e sempre igual, ou seja,
P (X ∈ I) = Z b
a
f (x) dx
4. No caso discreto, P (X = a) representa a probabilidade de X tomar o valor a. No caso cont´ınuo, contudo, f (a) n˜ao representa a probabilidade de X tomar o valor a. Mais, se X ´e uma v.a. cont´ınua, ent˜ao P (X = a) = 0, ∀a ∈ R.
Exemplo 3.5 Suponhamos que o tempo de vida (em horas) de uma determinada marca de pilhas, X,
´e uma v.a. com fun¸c˜ao densidade de probabilidade: f (x) =
0 x ≤ 0
c/x2 x > 100 a) c pode ter um valor qualquer?
2. Como Z +∞ −∞ f (t) dt = 1, ent˜ao Z +∞ −∞ f (t) dt = c Z +∞ 100 1 t2 dt = c −1t +∞ 100 = c 100 = 1 ⇒ c = 100 b) Qual a probabilidade de uma destas pilhas durar mais de 500 horas?
P (X > 500) = Z +∞ 500 f (t)dt = Z +∞ 500 100 t2 dx = 100 −1 t +∞ 500 = 0.2 2
3.5
Exerc´ıcios Propostos
3.1 A vari´avel aleat´oria (v.a.) X representa o n´umero de doentes com gripe que procuram, por dia, o Dr. Rem´edios. A sua fun¸c˜ao de probabilidade ´e dada por:
X
0 1 2 3
p 0.2 q 0.3
(a) Sabendo que em 50% dos dias pelo menos 2 pacientes procuram o Dr. Rem´edios com gripe, determine p e q.
(b) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao da v.a. X e esboce o seu gr´afico. Comente-o.
3.2 A v.a. X representa o n´umero de pontos que saem no lan¸camento de um determinado dado. A sua fun¸c˜ao distribui¸c˜ao segue-se:
F (x) = 0, x < 1 1/6, 1 ≤ x < 2 1/4, 2 ≤ x < 4 1/2, 4 ≤ x < 5 7/12, 5 ≤ x < 6 1, x ≥ 6
(a) Calcule as seguintes probabilidades, usando a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao dada: i) A probabilidade de o n´umero de pontos sa´ıdos ser no m´aximo 3. ii) P (1 < X ≤ 2).
iii) P (2 ≤ X < 6).
iv) A probabilidade de o n´umero de pontos sa´ıdos n˜ao distar de 2 pontos por mais de 1 ponto.
(b) Determine a fun¸c˜ao de probabilidade de X e confirme os resultados acima obtidos. (c) Pode afirmar que o dado ´e equilibrado? Justifique.
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 39
(d) Sabendo que o n´umero de pontos sa´ıdo ´e pelo menos 4, calcule a probabilidade de sa´ırem 6 pontos.
3.3 O Sr. Matias possui um caf´e nas vizinhan¸cas de um est´adio de futebol. Da sua experiˆencia, o Sr. Matias sabe que, em dias de futebol, costuma vender ou 50, ou 100, ou 150 ou 200 sandes, com probabilidades 0.2, 0.4, 0.3 e 0.1, respectivamente.
O Sr. Matias costuma fazer 100 sandes e quando estas se esgotam recorre a um fornecedor da terra que lhe garante o envio atempado de mais sandes.
(a) Qual a probabilidade de as sandes preparadas pelo Sr. Matias serem insuficientes para satisfazer a procura?
(b) Calcule a probabilidade de vender 200 sandes, num dia em que as sandes por ele feitas n˜ao satisfazem a procura.
3.4 Admita que a v.a. X representa a diferen¸ca entre o n´umero de dias estimado para a conclus˜ao de um projecto e o n´umero efectivo de dias de execu¸c˜ao. Sabe-se que esta vari´avel tem a seguinte fun¸c˜ao de probabilidade:
X
−2 −1 0 1 2
0.25 0.30 0.25 0.10 0.10
(a) Quando o n´umero de dias estimado ´e excedido h´a uma penaliza¸c˜ao. Essa penaliza¸c˜ao, digamos Y , custa 10,000 unidades monet´arias (u.m.) por cada dia de atraso, transformando- se em b´onus quando o tempo estimado for superior ao tempo efectivo. Determine a fun¸c˜ao de probabilidade da penaliza¸c˜ao/b´onus.
(b) Determine ainda a fun¸c˜ao de probabilidade da v.a. Z = 5000X + Y .
3.5 O Sr. Speed pretende obter a carta de condu¸c˜ao, mas para isso ´e necess´ario que seja aprovado no exame escrito de c´odigo. Suponha que a probabilidade de ser aprovado em cada exame que vier a realizar ´e constante e igual a 0.4 e que os resultados de cada tentativa s˜ao independentes. Determine a fun¸c˜ao de probabilidade da v.a. X que indica o n´umero de exames de c´odigo a realizar pelo Sr. Speed, at´e conseguir a aprova¸c˜ao (incluindo o exame em que ´e aprovado). 3.6 Seja X uma v.a. com a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = k + x, −1 ≤ x < 0 k − x, 0 ≤ x < 1 0, c.c.
(a) Determine o valor da constante k.
(b) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de X e esboce o seu gr´afico. (c) Determine P (X > 0).
(d) Determine P (X > 0.5|X > 0).
3.7 Seja X uma v.a. com a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = 4x, 0 < x < k
(a) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao densidade e determine o valor da constante k. (b) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de X.
(c) Calcule P (1/4 ≤ X ≤ 1/3).
3.8 A quantidade de tempo, em horas, que um computador funciona at´e avariar ´e uma v.a. com a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = k e−
x
100, x ≥ 0
0, x < 0
(a) Qual a probabilidade de o computador trabalhar entre 50 e 150 horas antes de avariar? (b) Qual a probabilidade de o computador funcionar menos de 100 horas at´e avariar? E exac-
tamente 100 horas?
(c) Qual a probabilidade de o computador avariar ap´os 200 horas de funcionamento, sabendo que j´a funcionou mais de 100 horas?
3.9 Seja X uma v.a. com a seguinte fun¸c˜ao densidade:
f (x) =
sen(x)
2 , 0 ≤ x ≤ π
0, c.c.
(a) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de X.
(b) Determine o n´umero a tal que P (X ≤ a) = P (X ≥ a). Como se designa a? (c) Calcule P (X ≤ π/4 | π/6 < X < π/3)
3.10 A propor¸c˜ao de cobre numa liga de ouro e cobre ´e uma v.a. X com a seguinte fun¸c˜ao densidade probabilidade:
f (x) = 6x(1 − x), 0 ≤ x ≤ 1
0, c.c.
(a) Determine a fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de X.
(b) O pre¸co de venda ao p´ublico, em unidades monet´arias por grama (u.m./g), da referida liga depende do seu conte´udo em cobre:
Conte´udo em cobre Pre¸co por grama (u.m./g)
X ≤ 0.05 12.5
0.05 < X ≤ 0.1 9.5 0.1 < X ≤ 0.5 5.0
X > 0.5 2.5
Sendo o custo de produ¸c˜ao da liga cobre-ouro de 1 u.m./g, independentemente das pro- por¸c˜oes de cada metal, determine a distribui¸c˜ao do lucro por grama.
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 41
3.11 Diga, justificando, se a seguinte afirma¸c˜ao ´e verdadeira ou falsa:
A fun¸c˜ao distribui¸c˜ao de uma qualquer vari´avel aleat´oria ´e uma fun¸c˜ao cujo contradom´ınio tem necessariamente de ser limitado.
Momentos e outros parˆametros de uma
distribui¸c˜ao de probabilidade
O estudo de distribui¸c˜oes de probabilidade de uma vari´avel aleat´oria (v.a.) resume-se frequentemente apenas ao estudo de algumas caracter´ısticas num´ericas que as identificam, designadas por parˆametros da distribui¸c˜ao. Muitos destes parˆametros, que se dizem populacionais, tˆem um grande paralelismo com as medidas resumo que aprendemos para analisar conjuntos de dados, no cap´ıtulo 1.
4.1
Momentos de uma distribui¸c˜ao
Come¸camos por estudar uma classe de parˆametros designados por momentos de uma distribui¸c˜ao de probabilidade, baseada no conceito de esperan¸ca matem´atica:
Defini¸c˜ao 4.1 Define-se valor m´edio ou valor esperado ou m´edia de uma v.a. X como: (a) µ = E [X] =
∞
X
i=1
xiP (X = xi) 1, se X v.a. discreta com f. probabilidade pi = P (X = xi), ∀i.
(b) µ = E [X] = Z +∞
−∞
xf (x)dx 2, se X v.a. cont´ınua com fun¸c˜ao densidade f (.).
Exemplo 4.1 Represente a v.a. X o n´umero de caras em 4 lan¸camentos de uma moeda equilibrada.
Quantas caras se espera que saiam nos 4 lan¸camentos? A resposta ´e imediata e intuitiva - 2 caras. Confirmemos: X 0 1 2 3 4 0.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625 E [X] = 0 × 0.0625 + 1 × 0.25 + 2 × 0.375 + 3 × 0.25 + 4 × 0.0625 = 2 caras.
1Caso esta s´erie seja absolutamente convergente, ficando doravante esta nota subjacente a todas as defini¸c˜oes deste
tipo.
2Caso este integral seja absolutamente convergente, ficando doravante esta nota subjacente a todas as defini¸c˜oes deste
tipo.
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 43
2
Exemplo 4.2 Suponha que o seu m´edico lhe aconselha que fa¸ca uma dieta para emagrecimento, du-
rante 2 semanas. Considerando a sua estrutura f´ısica, pressup˜oe que o peso (em kg) que vai perder se situa, com igual probabilidade, entre 2 e 4 kg. Quantos quilos espera perder nas duas semanas?
f (x) = 1/2 2 ≤ x ≤ 4 0 c.c E (X) = Z +∞ −∞ xf (x) dx = Z 4 2 x × 1 2 dx = x2 4 4 2 = 3 kg 2
Teorema 4.1 Seja X uma v.a. e φ uma fun¸c˜ao real de vari´avel real cont´ınua quase em toda a parte (i.e., se tiver pontos de descontinuidade eles formam quanto muito um conjunto numer´avel). Ent˜ao o valor m´edio ou valor esperado ou m´edia de φ(X) ´e dado por:
(a) E [φ(X)] =
∞
X
i=1
φ(xi)P (X = xi), se X v.a. discreta com f. probabilidade pi= P (X = xi), ∀i.
(b) E [φ(X)] = Z +∞
−∞
φ(x)f (x)dx, se X v.a. cont´ınua com fun¸c˜ao densidade f (.). desde que os lados direitos das igualdades anteriores convirjam absolutamente.
Corol´ario 4.1.1 Seja X uma v.a.. Definem-se momentos de ordem k (em torno da origem) da v.a. X por:
(a) mk= E [Xk] = ∞
X
i=1
xkiP (X = xi), se X v.a. discreta com f. probabilidade pi= P (X = xi), ∀i.
(b) mk= E [Xk] =
Z +∞
−∞
xkf (x)dx, se X v.a. cont´ınua com fun¸c˜ao densidade f (.). desde que os lados direitos das igualdades anteriores convirjam absolutamente.
Corol´ario 4.1.2 Seja X uma v.a., a e b constantes reais. Ent˜ao: X E (b) = b;
X E (aX + b) = aE (X) + b.
Exemplo 4.3 Relativamente ao exemplo 4.2, em que a v.a. X representa o peso que se perde em
duas semanas de regime, imagine que vocˆe tinha vontade de continuar por mais 2 semanas a referida dieta. No entanto, a conselho m´edico, a nova dieta n˜ao deve ser t˜ao rigorosa como a anterior, sendo de prever que o que vai abater neste novo per´ıodo de regime (traduzido numa nova v.a. Y ) seja apenas
metade do que tinha acontecido anteriormente (Y = X2). Quanto espera vir a emagrecer nestas outras duas semanas?
Apetece logo responder 1.5Kg. Confirmemos:
E [Y ] = E X 2 = Z +∞ −∞ x 2f (x) dx = Z 4 2 x 2 × 1 2dx = x2 8 4 2 = 1.5 kg ou E [Y ] = E X 2 = 1 2× E [X] = 1 2 × 3 = 1.5 kg 2
Defini¸c˜ao 4.2 Seja X uma v.a.. Definem-se momentos centrais de ordem k da v.a. X por:
µk= E [(X − µ)k], desde que o lado direito da igualdade exista.
O caso k = 2 ´e especialmente importante:
Defini¸c˜ao 4.3 Seja X uma v.a.. Chamamos a µ2 a variˆancia da v.a. X, e escreve-se σ2= V (X) =
E [(X − µ)2], desde que o lado direito da igualdade exista. A σ =pV (X) chamamos desvio padr˜ao
da v.a. X.
Proposi¸c˜ao 4.1 Se X ´e uma v.a., para a qual existe variˆancia, ent˜ao V (X) = E X2 − E2(X)
Exemplo 4.4 Retomemos o exemplo 4.1 da v.a. X que representa o n´umero de caras sa´ıdas em 4
lan¸camentos de uma moeda equilibrada. Calculemos a variˆancia e o desvio padr˜ao de X, relembrando- -nos que E [X] = 2: V (X) = E [X2] − E2[X] = 4 X x=0 x2P (X = x) − 22 = 5 − 4 = 1 caras2 σ =pV (X) = 1 caras. 2
Exemplo 4.5 Retomemos agora o exemplo 4.2 da v.a. X que representa o peso perdido em 2 semanas
de dieta. Calculemos a variˆancia e o desvio padr˜ao de X (E [X] = 3):
V (X) = E [X2] − E2[X] = Z +∞ −∞ x2f (x)dx − 32 = Z 4 2 x2×1 2dx − 9 = x3 6 4 2 − 9 ' 0.33 Kg2 σ =pV (X) ' 0.58 Kg. 2
Probabilidades e Estat´ıstica Isabel Nat´ario 45
Proposi¸c˜ao 4.2 Seja X uma v.a., a e b constantes reais. Ent˜ao: X V (b) = 0;
X V (aX + b) = a2V (X).
Teorema 4.2 (Desigualdade de Chebychev)
Se X ´e uma v.a. para a qual existe variˆancia σ2 e k > 0 ´e uma constante real positiva, ent˜ao P (|X − µ| ≥ kσ) ≤ 1
k2 ⇔ P (|X − µ| < kσ) ≥ 1 −
1 k2
Observa¸c˜ao: Este teorema permite-nos concluir que a probabilidade da v.a. X assumir valores no intervalo [µ − 2σ, µ + 2σ] ´e superior a 1 − 1/4 = 0.75 (caso k = 2). J´a se k = 3, podemos afirmar que a probabilidade da v.a. X assumir valores no intervalo [µ − 3σ, µ + 3σ] ´e superior a 1 − 1/9 = 0.89. Estas conclus˜oes s˜ao independentes da forma da distribui¸c˜ao da v.a.!