L’INT´ EGRALE DE CAUCHY
4.5. La th´ eorie de Cauchy sur un ouvert convexe
[z,z+h]
f(ζ)dζ−f(z)
[z,z+h]
dζ
≤ |h| sup
|ζ−z|≤|h||f(ζ)−f(z)|.
Comme f est continue en z, le dernier membre est de la forme |h|(h) : F est d´erivable en z de d´eriv´eef(z).
4.5. La th´eorie de Cauchy sur un ouvert convexe
D´efinition 4.5.1. — Une partie X de C est convexe si, pour tout a, b ∈X, le segment [a, b] est contenu dans X.
On laisse la d´emonstration des propri´et´es suivantes (faciles mais im-portantes) au lecteur :
1. Un convexe est connexe.
2. Un disque (ouvert ou ferm´e) est convexe.
3. Un demi-plan (ouvert ou ferm´e) (d´efinition ?) est convexe.
4. L’intersection d’une famille de convexes est convexe.
5. L’int´erieur d’un convexe est convexe.
6. L’adh´erence d’un convexe est convexe.
La Propri´et´e 4. permet la d´efinition suivante :
D´efinition 4.5.2. — L’enveloppe convexe deX ⊂C est l’intersection de tous les convexes de C qui contiennentX. C’est«le plus petit convexe de C qui contient X ».
Le lemme suivant est crucial. La premi`ere partie de l’´enonc´e r´esout le probl`eme des primitives sur un ouvert convexe, mais la pr´ecision apport´ee par la deuxi`eme partie est indispensable pour d´emontrer la formule de Cauchy.
Lemme 4.5.3 (Goursat). — Soit Ω un ouvert convexe de C et f ∈
O(Ω). On a :
[a,b,c,a]
f(z)dz = 0
4.5. LA TH´EORIE DE CAUCHY SUR UN OUVERT CONVEXE 61
pour tout a, b, c∈Ω. De plus, le r´esultat reste vrai si f est continue sur Ω et d´erivable en tout point de Ω, sauf peut-ˆetre un.
Remarque 4.5.4. — Il peut ˆetre utile de remarquer, pour ceux qui connaissent la th´eorie de l’int´egration des formes diff´erentielles dans le plan, que si la fonction f est suppos´ee de classe C1, le lemme pr´ec´edent est une cons´equence de la formule de Green-Riemann(1). Dans l’´enonc´e, on suppose seulement que f est d´erivable : on ne suppose pas quef soit continue.
D´emonstration. — On d´emontre d’abord la premi`ere partie.
Soita, b, cles milieux respectifs des segments [b, c], [c, a] et [a, b]. Dans le calcul suivant, on omet d’´ecrire l’int´egrant f(z)dz :
C’est plus clair sur un dessin ! Ce calcul est correct car tout les arcs sur lesquels on int`egre sont contenus dans Ω, puisque Ω est convexe.
On a d´ecompos´e l’int´egrale initiale en la somme de quatre int´egrales du mˆeme type, dans lesquelles le triangle initial est remplac´e par des triangles semblables, dans des similitudes de rapport 1/2. Posons :
M :=
[a,b,c,a]
f(z)dz .
(1)Voir Cartan, opus cit´e, pour la relation entre l’int´egrale de Cauchy et l’int´egrale des formes diff´erentielles.
62 CHAPITRE 4. L’INT´EGRALE DE CAUCHY
Parmi les quatre triangles qu’on a introduits, il en existe au moins un, dont on note les sommets a1, b1, c1, tel qu’on ait :
[a1,b1,c1,a1]
f(z)dz ≥ M
4 .
On peut continuer ind´efiniment cette construction. Si L d´esigne la lon-gueur et D le diam`etre du triangle initial, on obtient ainsi une suite de
«triangles pleins» (les enveloppes convexes des sommets) emboˆıt´es de sommets an, bn, cn, de longueurs L/2n et de diam`etres D/2n, tels que :
[an,bn,cn,an]
f(z)dz ≥ M
4n.
Il est clair que les suites an, bn, cn convergent vers un point d ∈ Ω.
Comme f est d´erivable en d, on a le d´eveloppement limit´e : f(z) =f(d) +f(d)(z−d) +|z−d|(z−d).
Comme
[an,bn,cn,an] dz = 0 et
[an,bn,cn,an](z −d)dz = 0 (les polynˆomes holomorphes ont des primitives), l’int´egrale de f sur [an, bn, cn, an] se r´eduit `a l’int´egrale du dernier terme. On en d´eduit :
[an,bn,cn,an]
f(z)dz
≤DnLnn
o`un→0 etDn etLnsont respectivement le diam`etre et la longueur du triangle de sommets an, bn, cn. On a donc :
M ≤n×(LD) donc M = 0, et le r´esultat.
S’il existe un point α ∈ Ω tel que f soit continue mais ne soit pas d´erivable en α, on distingue plusieurs cas :
– Siαn’appartient pas `a l’enveloppe convexe dea, b, c,la d´emonstration pr´ec´edente s’applique.
– Sinon, on d´ecompose
[a,b,c,a] en une somme d’int´egrales du mˆeme type, appartenant soit au premier cas, soit au suivant.
– Siα=a, on d´ecompose
[α,b,c,α]en la somme d’int´egrales qui rentrent dans le premier cas, donc nulles, et d’une int´egrale
[α,b,c,α], sur un arc de longueur aussi petite qu’on veut. Cette int´egrale est aussi petite qu’on veut.
4.5. LA TH´EORIE DE CAUCHY SUR UN OUVERT CONVEXE 63
On peut maintenant d´emontrer :
Th´eor`eme 4.5.5 (Th´eor`eme de Cauchy, pour un convexe) Soit Ω un ouvert convexe de C. Toute fonction f ∈ O(Ω) a une pri-mitive sur Ω. Le r´esultat reste vrai si f ∈ C0(Ω) est d´erivable en tout point de Ω, sauf peut-ˆetre un.
D´emonstration. — Compte tenu du Th´eor`eme 4.4.1, il suffit de montrer
que car les images des arcs sur lesquels on int`egre sont contenues dans Ω. On en d´eduit le r´esultat par r´ecurrence sur N.
D´efinition 4.5.6. — Soitcun chemin ferm´e dans C etz ∈C\c; on
Th´eor`eme 4.5.7 (Formule de Cauchy, pour un convexe)
Soit Ω un ouvert convexe de C et f ∈ O(Ω). Pour tout chemin ferm´e Par d´efinition de l’indice :
1
64 CHAPITRE 4. L’INT´EGRALE DE CAUCHY
D’autre part, le pointz /∈ c´etant fix´e, on d´efinit la fonctiongz : Ω→C gz(ζ) =
(f(ζ)−f(z))/(ζ−z) si ζ =z,
f(z) si z ∈Ω et ζ =z.
La fonction gz est continue sur Ω et holomorphe sur Ω\{z}. D’apr`es la deuxi`eme partie du Th´eor`eme de Cauchy,
cgz(ζ)dζ = 0. On en d´eduit la formule de Cauchy.
Le cas o`u le chemin ferm´e cest un cercle «orient´e dans le sens trigo-nom´etrique» est le plus important. C’est le seul qu’on utilisera dans le prochain chapitre :
Notation 4.5.8. — On note ∂D(a, r) le chemin ferm´e c(t) = a+reit, 0≤t≤2π, et sif ∈C0(C(a, r)), on note
∂D(a,r)
f(z)dz l’int´egrale de f sur c.
Th´eor`eme 4.5.9. — SoitΩun ouvert de C etf ∈ O(Ω). Si D(a, r)⊂ Ω, on a :
(40) 1
2iπ
∂D(a,r)
f(ζ) ζ−z dζ =
f(z) si z ∈D(a, r), 0 si z /∈D(a, r).
D´emonstration. — Si D(a, r)⊂Ω, il existes > r tel queD(a, s)⊂Ω, et D(a, s) est un ouvert convexe. On applique la formule de Cauchy sur cet ouvert. On obtient le r´esultat, compte tenu du lemme suivant, qui donne l’indice d’un point s /∈C(a, r) par rapport `a∂D(a, r).
Lemme 4.5.10. — Pour tout z /∈C(a, r), on a : (41) Ind(z, ∂D(a, r)) =
1 si z ∈D(a, r), 0 si z /∈D(a, r).
D´emonstration. — Si z ∈D(a, r), on a : 1
ζ−z = 1
(ζ−a)−(z−a) = +∞
n=0
(z−a)n (ζ−a)n+1,
4.5. LA TH´EORIE DE CAUCHY SUR UN OUVERT CONVEXE 65
avec convergence normale enζ ∈C(a, r). On peut int´egrer terme `a terme.
Tous les termes ont des primitives en ζ sur C\{a} sauf le premier. On en d´eduit :
1 2iπ
∂D(a,r)
dζ
ζ−z = 1 2iπ
∂D(a,r)
dζ
ζ−a = 1.
Siz /∈D(a, r), on a : 1
ζ−z = 1
(ζ−a)−(z−a) =− +∞
n=0
(ζ−a)n (z−a)n+1,
avec convergence normale enζ ∈C(a, r). On peut int´egrer terme `a terme.
Tous les termes ont des primitives enζ sur C . Les int´egrales sont nulles.