FONCTIONS HARMONIQUES DANS LE PLAN
10.1. Fonctions harmoniques
Une fonction harmonique sur un ouvert Ω de IRn est une fonction u∈C2(Ω) qui v´erifie l’´equation aux d´eriv´ees partielles :
x∈Ω,
n k=1
∂2u
∂x2k(x) = 0.
Sin = 2, il existe une relation tr`es simple entre les fonctions holomorphes et les fonctions harmoniques. Cette relation permet d’obtenir facilement les propri´et´es fondamentales de celles-ci. Beaucoup de ces propri´et´es sont vraies en dimension plus grande, mais leurs d´emonstrations dans ce cas exigent des m´ethodes diff´erentes.
D´efinition 10.1.1. — Soit Ω un ouvert de C . Une fonction harmo-nique sur Ω est une fonctionu∈C2(Ω) qui v´erifie l’´equation :
(63) ∀z ∈Ω, ∂2u
∂x2(z) + ∂2u
∂y2(z) = 0.
On note H(Ω) l’espace des fonctions harmoniques sur Ω et H(Ω,IR) le sous-espace des fonctions harmoniques sur Ω `a valeurs r´eelles.
L’op´erateur :
(64) ∆ :C2(Ω)→C0(Ω), ∆ := ∂2
∂x2 + ∂2
∂y2 est appel´e le Laplacien. C’est un op´erateur lin´eaire :
∀u, v∈C2(Ω), ∀a, b∈C, ∆(au+bv) =a∆u+b∆v.
136 CHAPITRE 10. FONCTIONS HARMONIQUES DANS LE PLAN
C’est aussi un «op´erateur r´eel» i.e. ∆u est une fonction r´eelle si u est une fonction r´eelle. Si f = u+iv ∈ C2(Ω) (forme canonique), ∆f =
∆u+i∆v est l’´ecriture de ∆f sous forme canonique. On a obtenu : Lemme 10.1.2. — Si Ω est un ouvert de C, H(Ω) est un espace vec-toriel sur C. Une fonction u∈ C2(Ω) est harmonique si et seulement si sa partie r´eelle et sa partie imaginaire le sont.
D’apr`es le th´eor`eme de Schwarz, on a :
siuest une fonction de classeC2. On en d´eduit la d´ecomposition suivante du Laplacien
comme produit (de composition) de deux op´erateurs diff´erentiels du pre-mier ordre. Aucune d´ecomposition de ce type n’existe en dimension plus grande. En notation complexe, la formule pr´ec´edente s’´ecrit :
(65) ∆ = 4 ∂2
∂z∂z.
On notera que les op´erateurs ∂/∂z et ∂/∂z commutent (quand on les fait agir sur une fonction de classeC2), en raison encore du th´eor`eme de Schwarz.
Th´eor`eme 10.1.3. — Soit Ω un ouvert de C et f ∈ O(Ω). Les fonc-tions f, Ref et Imf sont harmoniques sur Ω. Si de plus Ω est sim-plement connexe, toute u ∈ H(Ω,IR) est la partie r´eelle d’une fonction holomorphe sur Ω. f est harmonique et aussi Ref et Imf.
Pour la r´eciproque, remarquons d’abord que
∂u
10.1. FONCTIONS HARMONIQUES 137
et que si f =u+iv ∈ O(Ω) (forme canonique) :
∂u
∂z +i∂v
∂z = 0, ∂u
∂z +i∂v
∂z =f(z).
En prenant la conjugu´ee dela premi`ere ´equation, on obtient ∂v/∂z =
−i∂u/∂z, d’o`u :
f(z) = 2∂u
∂z. Soit maintenant u∈H(Ω,IR). On a :
∂
∂z ∂u
∂z
= 0, donc 2∂u
∂z ∈ O(Ω).
Si Ω est simplement connexe,la fonction holomorphe 2∂u/∂z admet une primitive (holomorphe) f ∈ O(Ω). Soit f =u1+iv1 (forme canonique) ; on a :
f = 2∂u1
∂z = 2∂u
∂z, donc ∂(u−u1)
∂z = 0.
Maisu−u1 est r´eelle :∂(u−u1)/∂x=∂(u−u1)/∂y = 0. Comme Ω est connexe,u−u1 ≡c∈IR :uest la partie r´eelle de la fonction holomorphe f +c.
Le deuxi`eme r´esultat est faux si l’on ne suppose pas Ω simplement connexe :
Exemple 10.1.4. — Montrer que la fonctionz →ln|z|est harmonique sur C∗ mais n’est pas la partie r´eelle d’une fonction holomorphe sur C∗. Montrer qu’une fonction r´eelle u ∈ C2(C∗) est harmonique si et seulement s’il existef ∈ O(C∗) etc∈IR, tels queu(z) = Ref(z)+cln|z|.
Comme tout disque ouvert est simplement connexe, on a :
Corollaire 10.1.5. — Une fonction r´eelle u sur l’ouvert Ω ⊂ C est harmonique si et seulement si, pour tout D(a, r)⊂ Ω, u est sur D(a, r) la partie r´eelle d’une fonction holomorphe sur D(a, r).
Les trois th´eor`emes suivants sont des cons´equences presque imm´ediates de la relation qu’on vient d’´etablir entre les fonctions harmoniques r´eelles et les fonctions holomorphes.
Th´eor`eme 10.1.6. — Soit Ω un ouvert de C. Toute u∈H(Ω) est de classe C∞ et mˆeme IR-analytique : pour tout x0 +iy0 ∈ Ω, il existe un
138 CHAPITRE 10. FONCTIONS HARMONIQUES DANS LE PLAN
voisinage de x0 +iy0 sur lequel u est la somme d’une s´erie enti`ere de x−x0, y−y0.
D´emonstration. — Par lin´earit´e, il suffit de le d´emontrer quand u est r´eelle. Notons a=x0+iy0. Sur D(a, r)⊂Ω, u est la partie r´eelle d’une fonction holomorphe, donc de la somme d’une s´erie enti`ere convergente :
+∞
n=0
an((x−x0) +i(y−y0))n.
On sait qu’on peut r´e´ecrire cette s´erie comme une s´erie enti`ere conver-gente de x−x0, y−y0, sur le voisinage de a d´efini par :
|x−x0|+|y−y0|< r.
En prenant sa partie r´eelle, on obtient le r´esultat.
Th´eor`eme 10.1.7 (Propri´et´e de la moyenne)
Soit Ω un ouvert de C et u∈H(Ω). Si D(a, r)⊂Ω, on a : u(a) = 1
2π 2π
0
u(a+reit)dt= 1
πr2 D(a,r) u(x+iy)dx dy.
D´emonstration. — Par lin´earit´e, il suffit de d´emontrer ces formules quand u est r´eelle. Soit D(a, r) ⊂ D(a, s) ⊂ Ω. Sur D(a, s), u est la partie r´eelle d’une fonction f ∈ O(D(a, s)) etf(a) est ´egal `a la moyenne de f sur ∂D(a, r) ou surD(a, r). En prenant la partie r´eelle, on obtient les mˆemes propri´et´es pour u.
Th´eor`eme 10.1.8 (Principe du maximum). — SoitΩ⊂C un ou-vert connexe et u ∈ H(Ω,IR). Si la fonction u a un maximum local (ou un minimum local) en a∈Ω, u est constante sur Ω.
D´emonstration. — Siuest harmonique, −uaussi ; il suffit donc de prou-ver la propri´et´e du maximum. Supposons que u a un maximum local en a∈Ω. On a donc, pour r >0 assez petit :
|z−a| ≤r ⇒ u(z)−u(a)≤0.
D’autre part, si 0< s≤r, la propri´et´e de la moyenne donne : 2π
0
(u(a+seit)−u(a))dt= 0.
Comme la fonction int´egr´ee est ≤0 et continue, ce n’est possible que si elle est nulle sur le segment [0,2π]. On en d´eduit queuest constante sur le
10.2. LE PROBL`EME DE DIRICHLET SUR UN DISQUE 139
disqueD(0, r). On peut conclure (par exemple) en appliquant le principe de prolongement analytique, qui est vrai pour les fonctions IR-analytiques de deux variables.
On a la variante suivante du principe du maximum :
Corollaire 10.1.9. — Soit Ω un ouvert connexe born´e de C et u une fonction r´eelle continue sur Ω, harmonique sur Ω. Alors :
sup
D´emonstration. — Il suffit de d´emontrer la premi`ere propri´et´e. Comme Ω est born´e, Ω est un compact et u atteint son maximum en un point a ∈ Ω. Si a ∈ ∂Ω, il n’y a rien `a d´emontrer. Si a ∈ Ω, u est constante d’apr`es le principe du maximum, donc u atteint son maximum en tout point de Ω, donc en n’importe quel point de ∂Ω, qui est non vide ! 10.2. Le probl`eme de Dirichlet sur un disque
Soit Ω un ouvert born´e de C . Le probl`eme de Dirichlet sur Ω est le probl`eme suivant :
Etant donn´´ e u0 ∈C0(∂Ω), trouver une fonction u∈C0(Ω), telle que : 1. u est harmonique sur Ω,
2. u(z) =u0(z) pour tout z ∈∂Ω.
Le probl`eme de Dirichlet n’a pas toujours de solution, par exemple si Ω est un disque ´epoint´e. On peut montrer qu’il a toujours une solution si Ω est un ouvert born´e dont la fronti`ere est la r´eunion d’une famille finie de courbes ferm´ees simples disjointes. Plus modestement, on va ´etudier le probl`eme de Dirichlet quand Ω est un disque.
On note D le disque unit´e. Soit d’abord r > 1 et u une fonction harmonique r´eelle sur D(0, r). Sur D(0, r), u est la partie r´eelle d’une fonction holomorphe f :
140 CHAPITRE 10. FONCTIONS HARMONIQUES DANS LE PLAN
avec convergence normale sur tout D(0, s) ⊂ D(0, r). En particulier, puisque r >1, on a :
t∈IR, u(eit) =a0+ +∞
k=1
(akeikt+ake−ikt),
avec convergence normale. En multipliant les deux membres par e−int et en int´egrant entre 0 et 2π, on obtient :
converge normalement sur [0,2π]. On peut donc ´ecrire : z ∈D, u(z) =
Th´eor`eme 10.2.1 (Formule de Poisson). — Soit u une fonction continue sur D et harmonique sur D. On a :
(67) z ∈D, u(z) = 1
10.2. LE PROBL`EME DE DIRICHLET SUR UN DISQUE 141
D´emonstration. — Par lin´earit´e, il suffit de d´emontrer la formule de Pois-son quand uest r´eelle.
Avant l’´enonc´e du th´eor`eme, on a d´emontr´e cette formule sous l’hy-poth`ese que u est harmonique sur D(0, r), r > 1. Si u est seulement harmonique sur Det n >1, on remarque que la fonction
un(z) =u((1−1/n)z)
est harmonique sur D(0,1/(1−1/n)). La formule de Poisson est vraie pour cette fonction :
(68) un(z) = 1
2π 2π
0
un(eit) 1− |z|2
|eit−z|2 dt.
Si de plus u est continue sur D, elle est uniform´ement continue. On en d´eduit queun−−−−→
n→+∞ uuniform´ement sur∂Dpuis, que z∈D´etant fix´e, la suite de fonctions :
un(eit)
|eit−z|2
converge uniform´ement sur [0,2π] vers la fonction u(eit)/|z−eit|2 quand n →+∞. On peut donc «passer `a la limite» dans (68), ce qui termine la d´emonstration.
La fonction :
(69) P(z, z) := 1− |z|2
|z−z|2,
qui est d´efinie et continue sur C2\{(z, z), z=z}estle noyau de Poisson pour le disque unit´e. Il permet de r´esoudre le probl`eme de Dirichlet sur le disque unit´e :
Th´eor`eme 10.2.2. — Pour toute fonction u0 ∈C0(∂D), il existe une et une seule fonction u, continue sur D et harmonique sur D, telle que u=u0 sur ∂D. Elle est donn´ee par :
(70) u(z) = 1
2π
2π
0 u0(eit)|z−e1−|zit|2|2 dt, si z ∈D,
u0(z) si z ∈∂D.
D´emonstration. — D’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, si le probl`eme de Di-richlet a une solution u, elle est bien donn´ee par les formules (70). Ceci d´emontre en particulier l’unicit´e de la solution. Il reste `a montrer qu’en
142 CHAPITRE 10. FONCTIONS HARMONIQUES DANS LE PLAN
d´efinissantu par (70), on obtient bien une solution du probl`eme de Diri-chlet.
D’abord, pour t∈[0,2π] fix´e, la fonction z∈D, Q(z, t) =−1
2+ Re 1 1−e−itz
est de classe C∞ et ses d´eriv´ees sont continues en (z, t) ∈ D×[0,2π].
On peut donc, si l’on d´efinit u comme ci-dessus, d´eriver sous le signe d’int´egration. Comme z → Q(z, t), la partie r´eele d’une fonction holo-morphe, est harmonique sur D, on en d´eduit que u est harmonique sur D (en particulier, u est continue sur D).
Par d´efinition,u=u0 sur le cercle ∂D, mais il reste `a montrer, et c’est le point d´elicat, que la fonction u est continue en tout point de ∂D.
Sia ∈∂D, on ´ecrit :
|u(z)−u(a)| ≤ |u(z)−u0(z/|z|)|+|u0(z/|z|)−u0(a)|.
Le second terme du membre de droite tend vers 0 quandz ∈Dtend vers a, puisque u0 est continue. Le th´eor`eme r´esulte du lemme suivant.
Lemme 10.2.3. — Si u est d´efinie par (70) et
0< r <1, z ∈∂D, ur(z) :=u(rz), alors ||ur−u0||∂D −−−→
r→1− 0.
D´emonstration. — On r´e´ecrit ur(eiθ) sous la forme suivante : u(reiθ) =
2π 0
u0(eit)Pr(t−θ)dt= 2π
0
u0(ei(t+θ))Pr(t)dt, o`u 0≤r <1 et les fonctions Pr ∈C0(IR) sont donn´ees par :
Pr(t) = 1 2π
1−r2
|1−reit|2.
Les propri´et´es cruciales des fonctions Pr sont les suivantes : 1. Pr est positive et 2π-p´eriodique pour tout 0≤r <1.
2. 2π
0 Pr(t)dt= 1 pour tout 0≤r <1.
3. Pour tout ∈]0,2π[,Pr r−→→1− 0 uniform´ement sur [,2π−].
10.2. LE PROBL`EME DE DIRICHLET SUR UN DISQUE 143
Noter le «conflit» entre les propri´et´es 2) et 3). Les propri´et´es 1) et 3) se lisent sur la d´efinition de Pr; la propri´et´e 2) r´esulte de la formule de Poisson, appliqu´ee `a la fonction constante 1 :
Pour tout r∈]0,1[ et tout θ∈IR, on a, compte tenu de 2) : u(reiθ)−u0(eiθ) =
2π 0
(u0(ei(θ+t))−u0(eiθ))Pr(t)dt, et compte tenu de 1) :
|u(reiθ)−u0(eiθ)| ≤ 2π
0 |u0(ei(θ+t))−u0(eiθ)|Pr(t)dt.
Etant donn´´ e ∈]0,2π[, on d´ecompose l’int´egrale du second membre en int´egrales sur [0, ], [,2π − ] et [2π − ,2π]. Compte tenu de la 2π-p´eriodicit´e de la fonction int´egr´ee, la somme des int´egrales sur [0, ] et [2π−,2π] est ´egale `a l’int´egrale sur [−,+], et compte tenu de 2), on a : +
−
|u0(ei(θ+t))−u0(eiθ)|Pr(t)dt≤ sup
|t−t|≤
|u0(eit)−u0(eit)|. D’autre part, en notant M =||u0||∂D :
2π−
|u0(ei(θ+t))−u0(eiθ)|Pr(t)dt≤4πM sup
t∈[,2π−]Pr(t).
En r´esum´e, on a :
||ur−u0||∂D ≤ sup
|t−t|≤
|u0(eit)−u0(eit)|+ 4πM sup
≤t≤2π−
Pr(t).
Etant donn´´ eη >0, le premier terme du second membre est < η si >0 est assez petit, compte tenu de la continuit´e uniforme de la fonction u0; un tel >0 ´etant fix´e, le second terme est < η quand r est assez voisin de 1, d’apr`es 3). D’o`u le lemme.
On en d´eduit le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 10.2.4. — Le probl`eme de Dirichlet sur un disque D(a, r) a une et une seule solution pour tout u0 ∈C0(∂D(a, r)).
D´emonstration. — On se ram`ene au cas du disque unit´e par une simili-tude convenable : la fonction
v0(z) =u0(a+rz)
144 CHAPITRE 10. FONCTIONS HARMONIQUES DANS LE PLAN
est continue sur le cercle unit´e ; soitvla solution du probl`eme de Dirichlet relatif `a D(0,1), avec donn´ee v0; on v´erifie sans difficult´e que
u(z) =v(z−a r ) est la solution cherch´ee.
En guise d’application, on va montrer que la propri´et´e de la moyenne est une propri´et´e caract´eristique des fonctions harmoniques :
Th´eor`eme 10.2.5. — Une fonction continue sur un ouvert Ω⊂C est harmonique si et seulement si elle a la propri´et´e de la moyenne, par exemple suivant les cercles.
D´emonstration. — On sait d´ej`a qu’une fonction harmonique a la pro-pri´et´e de la moyenne. Par lin´earit´e, il suffit de montrer que si une fonction r´eelle u∈C0(Ω) v´erifie :
u(a) = 1 2π
2π 0
u(a+reit)dt pour tout D(a, r)⊂Ω, u est harmonique.
Soit D(a, r) ⊂ Ω et soit ua la solution du probl`eme de Dirichlet sur D(a, r), avec u|∂D(a,r) comme donn´ee sur ∂D(a, r). On va montrer que u=ua sur le disque, ce qui implique le th´eor`eme.
La fonction va=u−ua est continue sur D(a, r) et nulle sur ∂D(a, r).
Elle a la propri´et´e de la moyenne surD(a, r), car une combinaison lin´eaire de fonctions qui ont cette propri´et´e l’a aussi. Soit
M = sup
D(a,r)
va, et K :={z ∈D(a, r), va(z) =M}.
L’ensemble K est un compact non vide contenu dans D(a, r). Soitb ∈K un point tel que :
d(K, ∂D(a, r)) =d(b, ∂D(a, r)).
Si b∈D(a, r), en ´ecrivant : va(b) = 1
2π 2π
0
va(b+seit)dt,
pour 0 < s < r− |b−a|, on montre comme dans la d´emonstration du principe du maximum que va est constante, ´egale `a M, sur D(b, s). Ceci contredit le choix qu’on a fait de b. Doncb∈∂D(a, r) et M = 0.