Th´ eor` emes de comparaison

Les invariants dimensionnels d´etermin´es dans le th´eor`eme 3.2 ne permettent pas de distinguer par exemple les alg`ebres enveloppantes et les corps enveloppants de w(f) et w(g) lorsquef, g : Γ ,→ _K sont deux morphismes injectifs d´efinis sur le mˆeme groupe libre. On introduit donc d’autres m´ethodes pour les comparer. Dans la partie 3.1.4.1, on commence par d´eterminer la forme de tous les ´el´ements ad-diagonalisables (et mˆeme ad-localement finis) de U(w(f)) ; on

montre ensuite comment le spectre de la d´erivation int´erieure associ´ee `a un tel ´el´ement permet de reconstruire l’alg`ebrew(f). Dans la partie 3.1.4.3 on modifie ces notions pour les utiliser dans le cas de corps gauches.

3.1.4.1 Alg`ebres enveloppantes de mˆeme dimension

Rappelons qu’un ´el´ementx d’une alg`ebre associativeAest ditad-localement nilpotent(resp.

ad-diagonalisable) si ad x:A → A est localement nilpotent (resp. diagonalisable). On dit que

x est ad-localement fini si, pour tout y ∈ A, la famille {(ad x)m(y)}_m≥0 est li´ee. Les ´el´ements

ad-diagonalisables etad-localement nilpotents sont aussiad-finis.

Lemme 3.7 Soientf : Γ,→_Kun morphisme injectif etg=w(f)oug=V ir(f). Soitx∈ U(g). 1. Sixestad-localement fini, alors il existeλ∈_Ketζ un ´el´ement central tels quex=λe₀+ζ. 2. Si x est ad-diagonalisable et non-central, alors il existe λ∈_K? tel que l’ensemble des

va-leurs propres de ad x soit exactementλf(Γ).

Preuve. Rappelons d’abord le fait g´en´eral suivant. Soit A une alg`ebre filtr´ee. Une famille de vecteurs{yi}_i∈Iest libre dansAsi la famille des formes initiales{gr(yi)}_i∈Iest libre dansGr(A) (la r´eciproque est fausse en g´en´eral). On en d´eduit que si x ∈ A est ad-fini, alors l’´el´ement

X = gr(x) est ad-fini aussi relativement au crochet de Poisson dans Gr(A). En effet, soit

Y ∈Gr(Y), on veut montrer que la famille {(ad X)^mY}_m≥0 est li´ee. Il suffit de le voir siY est de la formeY =gr(y), poury ∈A. S’il existe un entier n≥1 tel que (ad X)ⁿ(Y) = 0, alors la famille{(ad X)m(Y)}_m≥0 est li´ee. Sinon on a pour tout m≥0 : (ad X)m(Y) =gr((ad x)m(y)) ; si la famille {(ad X)^m(Y)}_m≥0 ´etait libre, la famille (ad x)^m(y) serait libre aussi et x ne serait pasad-localement fini.

On peut maintenant d´emontrer le num´ero 1. On va traiter le cas o`u g=V ir(f) ; la d´ emons-tration dans le cas o`u g =w(f) est tout `a fait analogue et sera omise. On notera U =U(g) et

S=Gr(U). Soitxun ´el´ementad-localement fini non-central dansU. Quitte `a changerxenx−ζ

pour un ´el´ement centralζ convenablement choisi, on peut supposer gr(x)6∈_K[Z] (on utilise le lemme 3.5, n^o3). AppelonsX = gr(x)∈ S la forme initiale dex. Cet ´el´ement est aussi ad-fini sur S. Notons V(X) ={α ∈Γ |∂_α(X) 6= 0} : les variables non-centrales desquelles d´epend la fraction rationnelle X sont exactement les E_α pour α ∈ V(X). Par hypoth`ese,V(X) est non-vide. Si V(X) 6= {0}, on peut choisir un ordre sur Γ tel que M V(X) = maxV(X) > 0. Mais alors, pour tout ´el´ement homog`ene Y ∈ S tel que M V(Y) > M V(X), on voit par r´ecurrence (en utilisant le lemme 3.4, no3) que M V((ad X)mY) = M V(Y) +mM V(X). Ces ´el´ements de Γ sont deux `a deux distincts ; on en d´eduit facilement que les (ad X)<sup>m</sup>Y sont lin´eairement ind´ependants, contradiction. DoncV(X) ={0}, autrement dit X ne d´epend que deE<sub>0</sub> et deZ. On en d´eduit que∂<sub>0</sub>(X) = <sub>∂E0</sub><sup>∂X</sup> ne d´epend ´egalement que deE<sub>0</sub> etZ. La sous-alg`ebre engendr´ee

par E0 et Z ´etant commutative relativement au crochet de Poisson, il vient {X, ∂0(X)} = 0. Or pour tout ´el´ement α ∈ Γ, on a {X, E_α} = ∂₀(X).f(α)E_α. On en d´eduit par r´ecurrence que, pour tout m ≥ 0, (ad X)m(E_α) = (f(α)∂₀(X))mE_α. Lorsque α 6= 0, ces ´el´ements sont lin´eairement d´ependants si et seulement si la famille {∂0(X)^m}_m≥0 est li´ee. Ceci implique que

∂₀(X) =λ∈ _K?; comme par ailleurs X =gr(x) est un polynˆome (en E₀ et Z) homog`ene, on voit qu’il est de la formeX=λE<sub>0</sub>+λ<sup>0</sup>Z. Il vientν(x−λe<sub>0</sub>−λ<sup>0</sup>z)≤0, d’o`ux−λe₀−λ⁰z∈_K. Prouvons le num´ero 2. Soitxun ´el´ementad-diagonalisable, non-central ; en particulierxest

ad-fini. Il existe λ∈_K? etζ central tels quex=λe₀+ζ. Remplacerxparx−ζ ne modifie pas les valeurs propres (ni les vecteurs propres) de ad x; on se ram`ene `a d´eterminer le spectre de

ad(λe0). `A l’aide de la base de Poincar´e-Birkhoff-Witt d´eduite de la base naturelle de g, il est facile de voir que celui-ci est pr´ecis´ement ´egal `aλf(Γ). Le lemme est d´emontr´e.

Notons `a pr´esent L_d(K) l’ensemble des sous-groupes libres, de rangddu groupe additif K; L_d(_K) est non-vide si et seulement s’il existe un plongement Γ =_Z^d,→_K. Dans ce cas, on peut regarder l’action par homoth´eties du groupe multiplicatif_K^? surL_d(_K).

Th´eor`eme 3.8 Soientf, gdeux plongementsΓ,→<sub>K</sub>. Les conditions suivantes sont ´equivalentes : i. les alg`ebres enveloppantes U w(f) etU w(g) sont isomorphes ;

ii. les alg`ebres enveloppantes U V ir(f)

etU V ir(g)

sont isomorphes ; iii. les alg`ebres de Lie w(f) et w(g) sont isomorphes ;

iv. les orbites de f(Γ) et g(Γ) sous l’action de _K^? sont ´egales.

Preuve. Remarquons d’abord que, pour tous plongements f, g: Γ ,→ _K les orbites de f(Γ) et g(Γ) sont les mˆemes si et seulement s’il existe λ ∈ _K? et σ ∈ Aut(Γ) tel que λg = f ◦σ. L’´equivalence iii) ⇐⇒ iv) est alors simplement une autre formulation de [41, th´eor`eme 3.8]. L’implication iii) ⇒ i) et ii) est ´evidente. Montrons i) ⇒ iv). Si Φ :U(w(g))−→ U^∼ (w(f)) est un isomorphisme, alors ad(Φ(e0)) est un ´el´ement ad-diagonalisable de U(w(f)) ayant le mˆeme spectre quead(e₀)∈End_k U w(g)

, c’est-`a-direg(Γ). D’apr`es le lemme pr´ec´edent, n^o2, il existe

λ∈_K? tel queg(Γ) =λf(Γ). L’implication ii)⇒iv) se d´emontre de mˆeme.

3.1.4.2 D´ecomposition des ´el´ements de Gr K(g)

On consid`ere toujoursg=w(f) ouV ir(f),S(g) =Gr U(g)

etQ(g) =Gr K(g)

. L’alg`ebre

S(g) ´etant l’alg`ebre sym´etrique de l’espace vectoriel Γ-gradu´e g, cette graduation se prolonge en une Γ-graduation de S(g), avec pds(Eγ) = γ pour tout γ ∈ Γ. Le degr´e associ´e est encore appel´epoidset les ´el´ements homog`enesisobares. Les ´el´ements isobares sont les vecteurs propres dead E₀pour le crochet de Poisson. Cette Γ-graduation ne se prolonge pas `aQ(g) : par exemple, si γ ∈Γ<sub>r</sub>{0}, l’´el´ement E0+Eγ ∈S(g) est homog`ene au sens classique, donc inversible dans Q(g). Toutefois,E₀+E_γ n’´etant pas isobare, l’´el´ement (E₀+E_γ)⁻¹ ne peut pas s’´ecrire comme combinaison lin´eaire de fractions rationnelles `a num´erateur et d´enominateur isobares. On va

rem´edier `a cette situation en montrant qu’on peut d´ecomposer les ´el´ements deQ(g) en somme infinie d’´el´ements isobares, en un sens que l’on pr´ecisera. Soient Q<sub>iso</sub> le localis´e deS(g) en les ´el´ements isobares etH le sous-corps de Q<sub>iso</sub> form´e par les fractions isobares, de poids nul. On identifiera Q<sub>iso</sub> `a une sous-alg`ebre de Frac S(g).

Lemme 3.9 L’alg`ebreQ<sub>iso</sub> est isomorphe `a l’alg`ebre de groupe H[Γ].

Preuve. Choisissons une base {ε₁, . . . , ε_d} de Γ. On v´erifie que l’application Ψ d´efinie pour

h ∈ H et (a₁, . . . , a_d) ∈ _Zd par Ψ h.(a₁, . . . , a_d)

= h.E_ε1^a1. . . E^ad

ε_d se prolonge en un isomor-phisme deH[Γ] surQ_iso.

Un ordre sur le groupe Γ ´etant fix´e, on peut plonger H[Γ] dans un corps de s´eries de Malcev-NeumannH[[Γ]] (voir par exemple [31, 11, 10, 1]). Les ´el´ements deH[[Γ]] sont des s´eries formelles

x = ^X

γ∈Γ

xγ, o`u chaque xγ est isobare, de poids γ, et o`u l’ensemble {γ ∈ Γ | xγ 6= 0} est une partie bien-ordonn´ee de l’ensemble ordonn´e Γ. Le produit de deux telles s´eries est donn´e par la formule : (^X i∈Γ x_i)(^X j∈Γ y_j) =^X γ∈Γ ( ^X i+j=γ x_iy_j).

Le corps Frac S(g) se plonge dans H[[Γ]] ; on pourra donc dor´enavant identifier Frac S(g) `a un sous-corps de H[[Γ]]. A fortiori, l’alg`ebre Q(g) sera identifi´ee `a une sous-alg`ebre de H[[Γ]]. On d´emontre facilement :

Lemme 3.10 Conservons les notations pr´ec´edentes. Soient x=P

x_γ ∈ Q(g) eth ∈ Q(g), on note{h, x}=P

uγ la d´ecomposition en s´erie de l’´el´ement {h, x} ∈ Q(g). Si h est une fraction isobare, de poids nul, alors on a :

(∀γ ∈γ) : uγ={h, xγ}.

3.1.4.3 Corps enveloppants de mˆemes degr´es de transcendance

Soient D un corps gauche et x ∈ D. On dira que x est quasi-localement fini (resp. quasi-diagonal) s’il existe une sous-alg`ebreB deD contenantx telle que (ad x)_|B:B →B soit locale-ment fini (resp. diagonalisable), et telle queD= Frac(B).

1. Soit x un ´el´ement quasi-localement fini de K(g). Il existe λ∈_K, ζ un ´el´ement central et

x⁰ ∈K(g) tels que x=λe₀+ζ+x⁰ et ν(x⁰)≤0.

2. Si x ∈ K(g) est quasi-diagonal et non-central, il existe λ ∈ _K? tel que l’ensemble des valeurs propres de ad x (agissant dans K(g)) soit contenu dans λf(Γ).

Preuve. Commen¸cons par une observation utile. Soit B une sous-alg`ebre de K(g) telle que

K(g) = Frac(B). Si Gr(B) est contenue dans une sous-alg`ebre Q<sup>0</sup> ⊆ Q(g) stable par inversion, alors Q<sup>0</sup> = Q(g). En effet, soit Y = gr(y) ∈ Q(g) un ´el´ement homog`ene non-nul. En ´ecrivant

y=u⁻¹v avec u, v∈B, on a aussiY =gr(y) =gr(u)⁻¹gr(v). Commegr(u), gr(v)∈Gr(B) ⊆ Q⁰, et queQ⁰ est stable par inversion, on en d´eduit queY ∈ Q⁰, d’o`u le r´esultat. En particulier, on voit que Gr(B) n’est pas contenue dans le sous-corps H ⊆ FracS(g) form´e des fractions isobares, de poids nul. De mˆeme, Gr(B) n’est pas contenu dans une sous-alg`ebre de la forme

Q(γ), avec γ ∈ Γ (form´ee de fractions rationnelles ne d´ependant pas des variables Eα lorsque

α > γ, voir la section 3.3).

D´emontrons le num´ero 1. On va le faire dans le cas o`ug=V ir(f) ; le cas o`ug=w(f) se traite de mani`ere analogue. SoitB une sous-alg`ebre deK(g) contenantx et telle que FracB=K(g). On suppose (ad x)_|B:B → B localement fini. On peut supposer que B contient le centre de

K(g), et que l’´el´ement x est non-central dans B (sinon x est central dans K(g) et le r´esultat est ´evident). Quitte `a changerx enx−ζ pourζ central bien choisi, on peut donc supposer que

gr(x) 6∈ _K[Z, Z⁻¹] (lemme 3.5, n^o3). Cette op´eration est justifi´ee, car ad x = ad(x−ζ), donc

x−ζ ∈B est encore quasi-localement fini. Dans ce cas, l’´el´ement X=gr(x) estad-localement fini sur Gr(B). Montrons queX ne d´epend que deE0 et de Z. Supposons que ce ne soit pas le cas. On peut choisit un ordre sur Γ tel que γ =M V(X)>0. Comme Gr(B) 6⊆ Q(γ), il existe

y ∈B tel que M V gr(y) > M V(X). Comme dans la preuve du lemme 3.7, on en d´eduit que les ´el´ements{(ad x)^m(y)}_m≥0 sont lin´eairement ind´ependants, contradiction. DoncX (ainsi que ses d´eriv´ees) ne d´ependent que de E0 et de Z, et ∂0(X) 6= 0 carX 6∈_K[Z, Z⁻¹]. Notons aussi que, commeE₀ etZ sont isobares, de poids nul, il en est de mˆeme de l’´el´ement∂₀(X) = _∂E0^∂X.

SoitY ∈Gr(B). On d´ecomposeY en s´erie formelleY =P

Yγ comme dans la partie 3.1.4.2 ; en particulier chaqueY_γ est isobare, de poidsγ. CommeGr(B)6⊆ H, on peut choisirY de sorte que Y 6∈ H, autrement dit il existe γ0 ∈Γr{0} tel queYγ0 6= 0. Par r´ecurrence on montre que (ad X)^mY =∂0(X)^m(ad E0)^mY pour tout entierm≥0 ; on en d´eduit la d´ecomposition en s´erie de (ad X)^m(Y) :

(ad X)^m(Y) =^X

γ

∂₀(X)^mf(γ)^mY_γ.

Cette famille ´etant li´ee, les familles des composantes isobares{∂₀(X)mf(γ)mY_γ}_m≥0 sont ´ egale-ment li´ees, pour toutγ ∈Γ. En particulier, pourγ =γ0, commef(γ0)Yγ0 6= 0, on en d´eduit que {∂₀(X)^m}_m≥0 est li´ee, d’o`u∂₀(X) =λ∈_K?. Par suite, il existeλ⁰ ∈_Ktel queX=λE₀+λ⁰Z, en particulierν(x−λe₀−λ⁰z)≤0 et x a la forme annonc´ee dans le num´ero 1.

D´emontrons le num´ero 2. On peut supposer x = λe0 +x⁰, avec ν(x⁰) ≤ 0. En particulier,

ν(x)≤1. Soitµune valeur propre dead x. On peut supposerµ6= 0, sinonx serait central dans

B, et par suite dans K(g), contrairement aux hypoth`eses. Il existe y ∈ B tel que [x, y] = µy. On en d´eduit que ν(y) = ν[x, y] ≤ ν(y) +ν(x)−1 ≤ ν(y). Toutes ces in´egalit´es sont donc des ´egalit´es. On en d´eduit d’abord que ν(x) = 1, c’est-`a-dire λ 6= 0, d’o`u gr(x) = λE<sub>0</sub>; en-suite on voit que {gr(x), gr(y)} = gr[x, y], car ν([x, y]) = ν(y) +ν(x)−1. On en d´eduit que {λE0, gr(y)}=µgr(y), et donc µest une valeur propre de ad(λE0). Il vient µ∈λf(Γ), d’o`u le num´ero 2.

Proposition 3.12 Soient f, g : Γ,→ _K deux plongements. On suppose que les corps K w(f) etK w(g) sont isomorphes, ou que les corps K V ir(f) et K V ir(g) sont isomorphes. Alors il existe un scalaire λ∈ _K? tel que λg(Γ) ⊆f(Γ). Cette condition ´equivaut aussi `a l’existence d’un scalaire λ∈_K? et d’un endomorphisme injectif τ: Γ,→Γ tels que λg=f◦τ.

Preuve. Si Φ est un isomorphisme K w(g) −→^∼ K w(f), on voit que Φ(e0) est un ´el´ement quasi-diagonal deK w(f)

et le spectre dead(Φ(e₀)), agissant dansK(w(f)), est le mˆeme que celui dead e0agissant dansK(w(g)), c’est-`a-direg(Γ). D’apr`es le lemme pr´ec´edent, n^o2, il existe

λ∈_K? tel queg(Γ)⊆λf(Γ), autrement ditλ⁻¹g(Γ)⊆f(Γ).

Ensuite il est facile de v´erifier queλg(Γ)⊆f(Γ) si et seulement s’il existe un endomorphisme injectifτ: Γ,→Γ tel queλg =f ◦τ.

3.1.4.4 Exemples

On va maintenant utiliser le crit`ere de la proposition 3.12 pour donner des exemples de corps enveloppants d’alg`ebres de type Witt (ou Virasoro) ayant mˆeme degr´e de transcendance de ni-veau 3 mais qui ne sont pas isomorphes. Soient A, B ∈ L_d(_K) des sous-groupes additifs libres, de rangd, de _K. On ´ecrira A≡B s’il existe un scalaireλ∈_K? tel queλA⊆B.

Lemme 3.13

1. La relation ≡ est une relation d’´equivalence sur L_d(K).

2. Soient A, B ∈ L_d(K) tels que A ≡ B. Soient a ∈ Ar{0}, b ∈ B r{0}. Alors a⁻¹A

et b⁻¹B sont des sous-groupes libres de rang d de _K, contenant l’´el´ement 1_k, tels que

a⁻¹A ≡ A ≡ b⁻¹B. De plus, les sous-corps de _K engendr´es par a⁻¹A d’une part et par

b⁻¹B d’autre part sont ´egaux.

Preuve. La r´eflexivit´e et la transitivit´e de la relation ≡ sont ´evidentes. Il reste `a voir que

tels quef(_Z^d) =A,g(_Z^d) =B. L’hypoth`eseA≡B entraˆıne l’existence d’un morphisme injectif

τ:_Z^d,→_Zdet deλ∈_K? tels queλf =g◦τ. Or on sait qu’il existe un morphismeτ^#:_Z^d→_Zd

tel queτ◦τ#= det(τ)Id: la matriceM atB(τ#) deτ#dans une baseBdonn´ee est la transpos´ee de la comatrice deM atB(τ). On v´erifie qu’alorsλf◦τ^#= det(τ)g, et doncλ⁻¹det(τ)g=f◦τ^#, d’o`uλ<sup>−1</sup>det(τ)B =λ<sup>−1</sup>det(τ)g(<sub>Z</sub><sup>d</sup>)⊆f(<sub>Z</sub><sup>d</sup>) =A, d’o`uB ≡A. Le num´ero 1 est d´emontr´e.

D´emontrons le num´ero 2. Soient A ∈ L_d(_K) un sous-groupe additif de _K et a ∈ A_r{0}. Il est clair que a⁻¹A est un sous-groupe libre de rang d de _K, contenant l’´el´ement 1_K, tel que

a⁻1A≡A. Soient B∈ L_d(_K) tel que B≡A etb∈B_r{0}; on a alors b⁻1B ≡B ≡A≡a⁻1A

comme annonc´e. Pour la suite de la preuve, on remplace A para⁻¹A et B par b⁻¹B, de sorte qu’on supposera 1_K ∈ A∩B. Notons _Q(A) (resp. _Q(B)) le sous-corps de _K engendr´e par A

(resp. par B).

Supposons A ≡ B; montrons que _Q(A) = _Q(B). Comme A ≡ B, il existe λ ∈ _K? tel que λA ⊆ B. On a donc A ⊆ λ⁻¹B, d’o`u Q(A) ⊆ _Q(λ⁻¹B). Or 1_K ∈ A, on en d´eduit que

λ=λ.1_K∈B_r{0}. On a donc aussiλ⁻¹B ⊆_Q(B), d’o`u<sub>Q</sub>(λ<sup>−1</sup>B)⊆<sub>Q</sub>(B), d’o`u_Q(A)⊆_Q(B). Un argument de sym´etrie prouve que_Q(B)⊆_Q(A) : le num´ero 2 est d´emontr´e.

Notations 3.14 Soient A ∈ L_d(_K) et a∈ A_r{0}. D’apr`es le lemme, le sous-corps de _K en-gendr´e par a⁻¹Ane d´epend pas du choix dea: on pourra donc le noter Q(A).

Corollaire 3.15 Soient f, g: Γ ,→ _K deux plongements. Si les sous-corps _Q(f(Γ)) et _Q(g(Γ)) sont diff´erents, alors les corps enveloppants K(w(f))et K(w(g)) ne sont pas isomorphes ; et il en va de mˆeme pour les corps K(V ir(f))et K(V ir(g)).

Preuve. S’ils ´etaient isomorphes, on aurait f(Γ) ≡ g(Γ) d’apr`es la proposition 3.12, et donc

Q(f(Γ)) =_Q(g(Γ)) d’apr`es le lemme pr´ec´edent.

Exemple 3.16 Les corps enveloppants d’alg`ebres de Witt (ou de Virasoro) associ´es aux plon-gementsf<sub>k</sub>:<sub>Z</sub><sup>2</sup>,→<sub>C</sub>(k= 1,2,3) sont deux `a deux non-isomorphes :

f₁(x, y) =x+iy ; f₂(x, y) =x+πy ; f₃(x, y) =x+π²y.