Dimension et niveau d’une fonction

2.1.2.1 Fonctions de jauge

On va introduire `a pr´esent les familles de fonctions de jauge d´efinies par P´etrogradsky [33]. En comparant une fonctionf `a ces fonctions de jauge, on obtient ainsi des invariants de croissance, le niveau et la dimension de f. D´efinissons par r´ecurrence :

ln⁽¹⁾n= lnn et ln^(q+1)n= ln(ln^(q)n), q= 1,2, . . . .

On pose alors, pour tousα∈]0,+∞[ etn∈_Nsuffisamment grand :

Φ¹_α(n) =α ; Φ²_α(n) =n^α ; Φ³_α(n) = exp(nα^α+1) ; Φ^q_α(n) = exp ⁿ (ln^(q−3)n)1/α

!

, q= 4,5, . . . .

Notons que, pour q≥4, les fonctions Φ^qα(n) ne sont pas d´efinies pour nau voisinage de 0.

Lemme 2.9 Pour tous q≥2 et α >0, on aΦ^qα∼2Φ^qα.

Preuve. En se servant du lemme 2.8, n^o4, c’est tr`es facile.

Lemme 2.10 Pour q, r≥1 et α, β >0 on a les in´egalit´es strictes : 1. Φ^qα(n)≺Φ^q_β(n) siα < β;

2. Φ^qα(n)≺Φ^r_β(n) siq < r; 3. Φ^q_α(n)≺exp(n).

2.1.2.2 Dimensions et niveaux

Soitf :N→_R+ une fonction positive. Pour toutq ≥1 on appelledimension de niveau q de

f (resp. dimension inf´erieure de niveau q def) la quantit´e suivante :

Dim^q(f) = inf{α >0 |f(n)Φ^q_α(n)} resp. Dim^q(f) = sup{α >0 |f(n)Φ^q_α(n)}.

Ainsi Dim^q(f),Dim^q(f) ∈ [0,+∞]. Par construction, il s’agit d’un invariant de la croissance Γ(f). Grˆace au lemme 2.10, on voit que s’il existe q ≥ 1 tel que Dim^q(f) ∈]0,+∞[, alors Dim^r(f) = 0 pour r > q et Dim^r(f) = +∞ pour r < q. L’entier q est alors d´efini de mani`ere unique et appel´e niveau de la fonction f, not´e lev(f). S’il existe q ≥1 tel que Dim^q(f) = +∞ et Dim^q+1(f) = 0, on dira quef est situ´ee entre les niveauxq et q+ 1.

2.1.2.3 Dimensions fortes

Il est techniquement agr´eable d’introduire la notion de dimension forte d’une fonction, l´eg`erement diff´erente en g´en´eral de la notion introduite pr´ec´edemment. On appelle dimension forte de niveauq de f (resp.dimension inf´erieure forte de niveauq def) la quantit´e suivante :

stdim^q(f) = inf{α >0 |f(n)≤Φ^q_α(n) pour nassez grand}

resp. stdim^q(f) = sup{α >0 |f(n)≥Φ^q_α(n) pourn assez grand}. Lemme 2.11 On consid`ere un entier q≥1.

1. On supposeq≥2. Soientc, β, ε >0 etρ >1des r´eels. Il existeN₀ ∈_N? tel que, pour tout

n≥N0 : ρΦ^q_β(cn)≤Φ^q_β+ε(n).

2. Soit f:_N→ _R+ une fonction. On a : Dim^q(f) = stdim^q(f) et Dim^q(f) ≥stdim^q(f). Si de plusf est croissante, alors Dim^q(f) = stdim^q(f).

Preuve. Il s’agit essentiellement du r´esultat [33, lemme 2]. On va toutefois en reprendre la d´emonstration. D´emontrons le no1 par exemple pourq = 3 ; les autres cas se traitent de mani`ere analogue. Notonsb= _β^β₊₁ eta= _β+^β+_ε+1^ε . Pour tout entiern≥1, on a l’´equivalence :

ρexp((cn)^b)≤exp(n^a) ⇐⇒ exp(c^bn^b−n^a)≤ ¹

ρ ^(2.1)

Comme 0< b < a, on a lim

n→∞(c^bn^b−n^a) =−∞; l’in´egalit´e de droite dans (2.1) est donc v´erifi´ee sinest suffisamment grand.

D´emontrons le n^o2. Si f(n) ≤ Φ^qα(n) pour n assez grand, on a aussi f Φ^qα. L’in´egalit´e Dim^q(f)≤stdim^q(f) est alors claire. De mˆeme, il est facile de montrer que stdim^q(f)≤Dim^q(f). Il reste `a ´etablir les in´egalit´es inverses. On traite s´epar´ement les casq = 1 etq≥2.

Commen¸cons par le cas o`u q ≥ 2. Posons α = Dim^q(f). Soient ρ > 1 et ε > 0. Il existe

C, N ∈_N?tels quef(n)≤ρΦ^q_α+ε(Cn), pourn≥N. D’apr`es le n<sup>o</sup>1, il existe un entierN<sup>0</sup> ≥N tel queρΦ<sup>q</sup><sub>α+ε</sub>(Cn)≤Φ<sup>q</sup><sub>α+2ε</sub>(n) pour toutn≥N<sup>0</sup>. Il vientf(n)≤Φ<sup>q</sup><sub>α+2ε</sub>(n) pournassez grand, d’o`u stdim^q(f)≤α+2ε. En faisant tendreεvers 0, on en d´eduit l’in´egalit´e stdim^q(f)≤α= Dim^q(f). Supposons `a pr´esentf croissante. On pose maintenantα= Dim^q(f). Soitρ >1. Pour ε >0 assez petit, il existeC, N₁∈_N? tels que Φ^q_α−ε(n)≤ρf(Cn) pour n≥N₁. Par ailleurs, il existe

N2 ∈_N? tel que Φ^q_α−ε(n) ≥ρΦ^q_α−2ε((C+ 1)n) pour n≥N2. Posons N = max{CN1, CN2, C²}. Pour tout n ≥ N, on peut ´ecrire n= Cm+r, avec 0 ≤r < C. Comme n ≥ N ≥C², on en d´eduit quem≥C; en particulier, (C+ 1)m≥Cm+C ≥Cm+r=n. De mˆeme,m≥N₁. On en d´eduit les in´egalit´es suivantes :

f(n) ≥ f(Cm) (par croissance de f) ≥ ¹ ρ^Φ q α−ε(m) (parce quem≥N1) ≥ Φ^q_α−2ε (C+ 1)m (d’apr`es le n^o1) ≥ Φ^q_α−2ε(n) (par croissance de Φ^q_α−2ε).

On a ainsi montr´e que f(n) ≥Φ^q_α−2ε(n) pourn assez grand. Il vient stdim^q(f) ≥α−2ε pour toutε >0 assez petit, puis stdim^q(f)≥α par passage /‘a la limite quandε tend vers 0.

Traitons `a pr´esent le cas o`uq = 1. On note encoreα= Dim¹(f). Pour tousρ >1 etε >0, il existeC, N >0 tel quef(n)≤ρΦ¹_α+ε(Cn) =ρ(α+ε) si n≥N. Il vient stdim¹(f)≤ρ(α+ε), d’o`u stdim<sup>1</sup>(f)≤α par passage `a la limite quand ρ tend vers 1 et εtend vers 0.

Supposons maintenantf croissante ; on poseα= Dim¹(f). On a, pour toutε >0 assez petit, Φ_α−εf. Pour toutρ >1, il existe N >0 tel que α−ε≤ρf(Cn) sin≥N. Par croissance de

f, on en d´eduit, pourn≥CN :

α−ε

ρ ^≤f(n).

L’in´egalit´e stdim¹(f)≥α s’obtient par passage `a la limite quandρ tend vers 1 etεtend vers 0.

Remarque 2.12 L’in´egalit´e stdim^q(f)≤Dim^q(f) est stricte en g´en´eral. Consid´erons par exemple

f:_N → _R+, d´efinie par f(n) = n si n est pair, et f(n) = 0 si n est impair. Il est clair que stdim²(f) = 0, et comme Φ2

1(n) = n ≤ f(2n), on a Dim²(f) ≥ 1 (on voit facilement que Dim²(f) = 1 en fait).

2.1.2.4 Dimension de Gelfand-Kirillov et superdimension

Introduisons, pour une fonctionf :N→_R+ les notions de dimension de Gelfand-Kirillov et de superdimension de f. On pose :

GKdim(f) = lim sup

n→∞

lnf(n)

lnn ^{; GKdim(f) = lim inf}n→∞

lnf(n)

Sdim(f) = lim sup

n→∞

ln lnf(n)

lnn ^{; Sdim(f) = lim inf}n→∞

ln lnf(n) lnn ^. Lemme 2.13 [33, Corollary 2]Soit f :_N→_R+ une fonction positive.

1. La dimension forte (resp. dimension inf´erieure forte) de niveau 1 de f co¨ıncide avec la limite sup´erieure (resp. limite inf´erieure) de f :

stdim¹(f) = lim sup

n→∞ f(n) ; stdim¹(f) = lim inf

n→∞ f(n).

2. Les dimensions fortes de niveau 2def co¨ıncident avec les dimensions de Gelfand-Kirillov def :

stdim²(f) = GKdim(f) ; stdim²(f) = GKdim(f).

3. Les dimensions fortes de niveau 3 de f co¨ıncident, `a une normalisation pr`es, avec les superdimensions def :

stdim³(f) = ^Sdim(f)

1−Sdim(f) ^{; stdim}

3(f) = ^Sdim(f) 1−Sdim(f)^. 4. Les dimensions fortes de niveau q ≥4 de f peuvent se calculer comme suit :

stdim^q(f) = lim sup

n→∞ ln^(q−2)n lnn−ln lnf(n) ^{; stdim} q(f) = lim inf n→∞ ln^(q−2)n lnn−ln lnf(n)^.

Preuve. On ´ecrit les d´emonstrations pour stdim^q; le cas de stdim^q peut s’´etablir de la mˆeme mani`ere. Supposons d’abordq = 1. Comme Φ¹_α≡α, on a :

stdim¹(f) = inf{α >0|f(n)≤α pour n0}.

Par ailleurs, on a lim sup

n→∞

f(n) = lim

n→∞sup

k≥n

{f(k)}; on v´erifie alors imm´ediatement que stdim¹(f) = lim sup

n→∞ f(n).

Supposons maintenant q = 2. Notons α = stdim²(f). Pour tout α⁰ > α, il existe N ≥1 tel que pour toutn≥N :f(n)≤Φ²_α0(n) =n^α0. Il vient :

(∀n≥N) : ^lnf(n) lnn ^≤α

0,

d’o`u GKdim(f)≤α⁰; en faisant tendreα⁰versαon obtient GKdim(f)≤stdim²(f). D´emontrons l’in´egalit´e r´eciproque. On pose β = GKdim(f). Pour tout β⁰ > β, il existe N ≥ 1 tel que l’on ait : sup n≥N {^lnf(n) lnn ^{} ≤β} 0,

d’o`uf(n)≤n^β0 pour tout n≥N. Il vient stdim²(f)≤β⁰; en faisant tendreβ⁰ versβ on trouve bien stdim²(f)≤GKdim(f).

Supposons ensuiteq = 3. Observons d’abord qu’on a une bijection croissante Θ :]0,∞[↔]0,1[ d´efinie par Θ(a) = _a+1^a pour tout a ∈]0,+∞[. La bijection r´eciproque Θ⁻¹ est donn´ee par Θ⁻¹(b) = ₁₋^b_b pour tout b ∈]0,1[. On pose maintenant α = stdim³(f). Pour tout α⁰ > α, il existeN ≥1 tel que pour tout n≥N :f(n)≤Φ3

α0(n) = exp(nα⁰/(α⁰+1)). Il vient : (∀n≥N) : ^{ln lnf(n)}

lnn ^≤

α⁰ α0+ 1^,

d’o`u Sdim(f) ≤ α⁰/(α⁰ + 1). En faisant tendre α⁰ vers α, il vient Sdim(f) ≤ α/(α+ 1). En appliquant Θ⁻¹, on obtient ₁₋^Sdim(_Sdim(^f)_f) ≤ stdim³(f). Similairement, on montre que stdim³(f) ≤

Sdim(f) 1−Sdim(f).

Supposons enfin q ≥4. Posons `a nouveauα= stdim^q(f). Pour toutα⁰ > α, il existe N ≥1 tel que :

(∀n≥N) : f(n)≤exp ⁿ (ln^(q−3)n)1/α0

! .

Pour toutn≥N, on a donc ln lnf(n)≤lnn− ¹

α^{0 ln}

(q−2) n, d’o`u l’on tire :

(∀n≥N) : α⁰≥ ^ln

(q−2)(n) ln(n)−ln lnf(n)^.

On en d´eduit comme pr´ec´edemment que α⁰ ≥ lim sup

n→∞

ln^(q−2)n

lnn−ln lnf(n)^{, puis que stdim}

q(f) ≥

lim sup

n→∞

ln^(q−2)n

lnn−ln lnf(n)^{. L’in´egalit´e r´eciproque se d´emontre de mani`ere analogue.}

Remarque 2.14 D’apr`es le lemme 2.11, le r´esultat pr´ec´edent reste valable en rempla¸cant stdim^q par Dim^q; si de plus f est croissante, on peut aussi remplacer stdim^q par Dim^q.

On cherche maintenant `a savoir comment se comportent les dimensions d’un niveau donn´e par rapport aux op´erations naturelles sur les croissances.

1. Pour q= 1 :

Dim¹(f+g) = Dim¹(f) + Dim¹(g) = Dim¹(f +g) = Dim¹(f) + Dim¹(g) ;

Dim¹(f g) = Dim¹(f) Dim¹(g) = Dim¹(f g) = Dim¹(f)Dim¹(g).

2. Pour q= 2 :

Dim²(f+g) = sup{Dim²(f),Dim²(g)} ; Dim²(f+g)≥sup{Dim²(f),Dim²(g)} ;

Dim²(f g)≤Dim²(f) + Dim²(g) ; Dim²(f g)≥Dim²(f) + Dim²(g).

3. Pour q≥3 :

Dim^q(f +g) = sup{Dim^q(f),Dim^q(g)} ; Dim^q(f+g)≥sup{Dim^q(f),Dim^q(g)} ; Dim^q(f g)≤sup{Dim^q(f),Dim^q(g)} ; Dim^q(f g)≥sup{Dim^q(f),Dim^q(g)}. Preuve. Pour le n^o1, on observe que pour une fonction croissante f, la limite de f en +∞ existe. D’apr`es le lemme 2.13, on a dans ce cas Dim¹(f) = Dim¹(f) = lim

n→∞f(n). D`es lors, les identit´es annonc´ee sont ´evidentes.

Pour le no2, notonsα= Dim²(f) etβ= Dim²(g). On peut supposerα ≥β. Pour toutε >0, on a, d’apr`es le lemme 2.10 :

f+gΦ²_α+ε+φ²_β+ε2Φ²_α+ε∼Φ²_α+ε,

d’o`u Dim<sup>2</sup>(f+g)≤α+ε. En faisant tendreεvers 0, on obtient Dim<sup>2</sup>(f+g)≤α. Comme par ailleursf ≤f +g, on a aussi α = Dim<sup>2</sup>(f)≤Dim<sup>2</sup>(f +g). Les autres in´egalit´es et le casq≥3 se traitent de mˆeme `a l’aide du lemme 2.10.

Dans le document Corps enveloppants des algèbres de Lie en dimension infinie et en caractéristique positive (Page 35-40)