2.2 Croissance et dimension des alg` ebres et modules de Poisson
2.2.1 Sous-espaces engendr´ es par des monˆ omes
2.2.1.1 Alg`ebres de Poisson
Notations 2.26 Pour toute alg`ebre de PoissonP et tous sous-espaces X, Y ⊆P on notera :
X ? Y =X.Y +Y.X+{X, Y}. (2.15)
D´efinition 2.27 SoientP une alg`ebre de Poisson etX ⊆P un sous-espace vectoriel. On d´efinit par r´ecurrence une famille croissante de sous-espaces{XP(n)}n≥1 de P de la mani`ere suivante :
XP(1) =X et, pourn≥1 :
XP(n+ 1) =XP(n) + X
i+j=n+1
XP(i)? XP(j). (2.16)
On dira queXP(n) est lesous-espace engendr´e par les monˆomes de Poisson de longueur au plus
nen les ´el´ements deX.
Par construction, on a donc les inclusions suivantes, pour tous i, j≥1 :
autrement dit XP(i)XP(j)⊆XP(i+j) et{XP(i), XP(j)} ⊆XP(i+j). Le sous-espaceP(X) =
[
n≥1
XP(n) est alors une sous-alg`ebre de Poisson de P; plus pr´ecis´ement c’est la sous-alg`ebre de Poisson de P engendr´ee parX.
Lemme 2.28 SoientP une alg`ebre de Poisson, X⊆P un sous-espace vectoriel et {XP(n)}n≥1
la famille d´efinie `a partir de X comme pr´ec´edemment. On a, pour tout n≥1 :
XP(n+ 1) =XP(n) +X ? XP(n). (2.18)
Preuve. On note pour simplifier X(k) au lieu de XP(k). On va d’abord ´etablir l’inclusion suivante, pour tous i, j≥1 :
X(i)? X(j)⊆X ? X(i+j−1). (2.19) On proc`ede par r´ecurrence suri. Pour i = 1 c’est ´evident, parce que X(1) = X. Supposons `a pr´esent la relation 2.19 ´etablie pour tout i ∈ {1, . . . , k} et ´etablissons-la pour i=k+ 1. On a
X(k+ 1) =X(k) +X ? X(k), d’o`u :
X(k+ 1)? X(j)⊆X(k)? X(j) + (X ? X(k))? X(j).
Par hypoth`ese de r´ecurrence on aX(k)? X(j)⊆X ? X(k+j−1)⊆X ? X(k+j). Examinons le deuxi`eme terme. On ´ecritX ? X(k) =X.X(k) +X(k).X +{X, X(k)}, d’o`u l’on d´eduit :
(X ? X(k))? X(j) = (X.X(k) +X(k).X+{X, X(k)}).X(j) +X(j).(X.X(k) +X(k).X +{X, X(k)}) +{X.X(k) +X(k).X+{X, X(k)}, X(j)}. On a, d’apr`es (2.17) : X.X(k).X(j) = X.(X(k)X(j))⊆X.X(j+k)⊆X ? X(j+k) ; X(k).X .X(j) = X(k).(XX(j))⊆X(k).X(j+ 1),
d’o`u, par hypoth`ese de r´ecurrence : X(k).X
.X(j)⊆X ? X(k+j). Ensuite, en utilisant le fait que{., .} est une bid´erivation, on a :
{X, X(k)}
.X(j)⊆ {X, X(k).X(j)}+X(k).{X, X(j)}.
Compte tenu de (2.17) et de l’hypoth`ese de r´ecurrence, il vient : {X, X(k)}
Ceci prouve que (X.X(k) +X(k).X+{X, X(k)}).X(j)⊆X?X(j+k). Un argument sym´etrique permet de voir que X(j) (X.X(k) +X(k).X+{X, X(k)}) ⊆ X ? X(j+k). Pour ´etablir que {X.X(k) +X(k).X+{X, X(k)}, X(j)} ⊆X ? X(j+k) on proc`ederait de mani`ere analogue.
On peut `a pr´esent ´etablir le lemme. Pour tout n≥1, on a, d’apr`es 2.19 :
X(n+ 1) = X(n) + X i+j=n+1 X(i)? X(j) ⊆ X(n) + X i+j=n+1 X ? X(i+j−1) =X(n) +X ? X(n)⊆X(n+ 1),
c’est la formule annonc´ee.
Remarque 2.29 Une alg`ebre de Poisson peut ˆetre engendr´ee par un sous-espace de dimension finie en tant qu’alg`ebre de Poisson sans ˆetre de type fini comme alg`ebre associative. Par exemple, sigest de dimension infinie et engendr´ee par un sous-espace de dimension finie X⊆g, l’alg`ebre de PoissonS(g) est engendr´ee parK+X, qui est de dimension finie. Par contre, en tant qu’alg`ebre associative seulement,S(g) s’identifie `a une alg`ebre de polynˆomes `a une infinit´e de variables et n’est donc pas de type fini.
2.2.1.2 Cas des alg`ebres associatives ou de Lie
Pour des alg`ebres associatives ou de Lie, il existe d´ej`a des notions classiques de sous-espaces engendr´es par des monˆomes (voir par exemple [33]). On va voir que la notion introduite ici en est une g´en´eralisation.
Soit (S,·) une alg`ebre associative ou de Lie. Les sous-espaces engendr´es par les monˆomes de longueur≤nen les ´el´ements de X sont d´efinis classiquement de la mani`ere suivante :X1 =X
et, pourn≥1 :
Xn+1=Xn+X·Xn. (2.20)
Pour les alg`ebres associatives, cela signifie que tout ´el´ement deXnest une combinaison lin´eaire de produits d’´el´ements de X de la formex1x2. . . xk, o`u k≤n. Dans le cas des alg`ebres de Lie, cela signifie que tout ´el´ement de Xn est une combinaison lin´eaire de crochets it´er´es d’´el´ements de X de la forme [x1,[x2, . . . ,[xk−1, xk]. . .]] aveck≤n.
Lemme 2.30 Avec les notations pr´ec´edentes, on a pour tout n≥1 : Xn=XP(n). Autrement dit, pour la structure de Poisson naturelle sur une alg`ebre associative ou de Lie, les sous-espaces engendr´es par les monˆomes de Poisson de longueur ≤n ou par les monˆomes classiques de lon-gueur≤n en les ´el´ements deX sont les mˆemes.
Preuve. On proc`ede par r´ecurrence surn, le cas n= 1 ´etant clair.
Supposons dans un premier temps que S est associative. Pour X, Y ⊆ S, on a X ? Y =
X·Y +Y ·X+ [X, Y] =X·Y +Y ·X. Supposons avoir XP(k) =Xk pour toutk∈ {1, . . . , n}; on a alors : XP(n+ 1) = XP(n) + X i+j=n+1 XP(i)? XP(j) =Xn+ X i+j=n+1 Xi·Xj ⊆ Xn+ X i+j=n+1 XiXj ⊆Xn+1.
L’inclusionXn+1⊆XP(n+ 1) ´etant claire, le r´esultat est d´emontr´e siS est associative.
Supposons maintenant queSest une alg`ebre de Lie, et notons [., .] son crochet. PourX, Y ⊆
S, on a alorsX ? Y =X.Y +Y.X+ [X, Y] = [X, Y]. Pour toutn≥1, on a d’apr`es la d´efinition (2.20) et le lemme 2.28 :
Xn+1 =Xn+ [X, Xn] =XP(n) +X ? XP(n) =XP(n+ 1),
d’o`u le r´esultat siS est une alg`ebre de Lie.
2.2.1.3 Monˆomes de Poisson
SoientP une alg`ebre de Poisson etX⊆P un sous-espace. On consid`ere la suite{XP(n)}n≥1 des sous-espaces engendr´es par les monˆomes de Poisson en les ´el´ements de X d´efinie en 2.27. Par ailleurs, on peut consid´ererP comme une alg`ebre de Lie seulement (en oubliant la structure associative) ; on a alors une autre famille de sous-espaces {XLn}n≥1, `a savoir les sous-espaces engendr´es par les monˆomes de Lie en les ´el´ements de X d´efinis par les formules (2.20). Ces sous-espaces sont li´es par les identit´es suivantes :
Lemme 2.31 Avec les notations pr´ec´edentes, on a, pour tout n≥1 :
XP(n) = X
j1+...+jk≤n
XLj1XLj2. . . Xjk
L.
Autrement dit, tout ´el´ement de XP(n) se d´ecompose comme combinaison lin´eaire d’´el´ements de la forme ξ1. . . ξk, o`u chaque ξk est un crochet it´er´e d’´el´ements de X de la forme ξk = {xk,1,{. . . ,{xk,jk−1, xk,jk}. . .}}, avec xk,j ∈X pour tousk, j et j1+. . .+jk≤n.
Preuve. On pose Sn = X
j1+...+jk≤n
XLj1XLj2. . . Xjk
L. On veut d´emontrer que XP(n) = Sn pour toutn. Grˆace aux relations (2.17), l’inclusionXP(n)⊇Snest ´evidente ; on va d´emontrer l’inclu-sion r´eciproque par r´ecurrence. Pour n= 1, on a XP(1) =X =S1; supposons `a pr´esent n≥1
etXP(k)⊆Sk pour toutk≤n. Soienti, j≤n tels quei+j=n+ 1. Alors : XXP(n) ⊆ XL1 X j1+...+jt≤n XLj1. . . Xjt L ⊆ X j0+j1+...+jt≤n+1 XLj0. . . Xjt L =Sn+1.
De mˆeme, on montre que XP(n)X ⊆ Sn+1. Enfin, compte tenu du fait que {., .} est une bid´erivation d’alg`ebre associative :
{X, XP(n)} ⊆ X j1+...+jt≤n {X, XLj1. . . Xjt L} ⊆ X j1+...+jt≤n t X s=1 XLj1. . . Xjs−1 L {X, Xjs L}Xjs+1 L . . . Xjt L ⊆ X j1+...+jt≤n t X s=1 XLj1. . . Xjs−1 L X1+js L Xjs+1 L . . . Xjt L ⊆ X i1+...+it≤n+1 XLi1. . . Xit L =Sn+1.
Il vient : XP(n+ 1) =XP(n) +X ? XP(n)⊆Sn+1. Le lemme est d´emontr´e.
2.2.1.4 Modules de Poisson
Notations 2.32 Soient P une alg`ebre de Poisson et M un module de Poisson sur P. Soient
X⊆P etE⊆M deux sous-espaces vectoriels, on pose :
X ? E =X.E+E.X+{X, E}M ⊆M. (2.21)
D´efinition 2.33 Soient P une alg`ebre de Poisson et M un module de Poisson sur P. Soient
X⊆P etE⊆M deux sous-espaces vectoriels. On d´efinit par r´ecurrence une suite{EMX(n)}n≥1 de sous-espaces deM de la mani`ere suivante :EMX(1) =E et, pourn≥1 :
EMX(n+ 1) =EMX(n) + X
i+j=n+1
XP(i)? EMX(j). (2.22)
Remarque 2.34
1. Lorsque M =P consid´er´e comme un P-module de Poisson et qu’on choisit X =E, on a
EX
2. Pour tousi, j≥1, on aXP(i)? EMX(j)⊆EMX(i+j).
Si X est un sous-espace g´en´erateur de P, le sous-espace M(E) = [
n≥1
EMX(n) est un sous-module de Poisson de M. Plus pr´ecis´ement, c’est le sous-module de Poisson de M engendr´e par E. En particulier, M est de type fini si et seulement s’il existe un sous-espace E ⊆M de dimension finie tel queM =M(E). Si de plusP est de type fini, on peut choisirXde dimension finie aussi ; dans ce cas, tous les sous-espacesEXM(n) sont de dimension finie.
Lemme 2.35 Soient P une alg`ebre de Poisson, M un module de Poisson sur P et X ⊆ P,
E ⊆M deux sous-espaces. On a, pour tout n≥1 :
EXM(n+ 1) =EMX(n) +X ? EXM(n). Preuve. On proc`ede de mˆeme que dans le lemme 2.28.
SoitM unP-module de Poisson. CommeM peut ˆetre consid´er´e comme un module `a gauche sur l’alg`ebre enveloppanteA(P), on s’int´eresse `a la comparaison des sous-espaces de monˆomes comme d´efinis ci-dessus dansM en tant queP-module de Poisson et dansM en tant queA(P )-module `a gauche.
Lemme 2.36 Soient P une alg`ebre de Poisson, A =A(P) son alg`ebre enveloppante et M un
P-module de Poisson, consid´er´e comme un A(P)-module `a gauche. SoientX⊆P,E ⊆M deux sous-espaces. On note [X]0 ⊆A(P) le sous-espace de P engendr´e par les ´el´ementsxλ, xρ et x$
tels que x ∈ X et [X] = [X]0 +K.1A ⊆ A(P) le sous-espace de A(P) engendr´e par [X]0 et l’´el´ement unit´e 1A. On a :
X ? E = [X]0·E et E+X ? E = [X]·E.
Preuve. La deuxi`eme identit´e r´esulte imm´ediatement de la premi`ere. D´emontrons celle-ci. Le sous-espace X ? E est engendr´e par les ´el´ements :
x.m, m.x ou {x, m}M, avec x∈X, m∈E.
Par d´efinition de la structure deA(P)-module `a gauche surM, il s’agit exactement des ´el´ements de la forme :
xλ·m, xρ·m ou x$·m, avec x∈X, m∈E.
Soient P une alg`ebre de Poisson, M un module de Poisson sur P et A = A(P) l’alg`ebre enveloppante de P. On consid`ere des sous-espaces E ⊆M etX ⊆P. Notons [X]⊆A le sous-espace engendr´e par Xλ +Xρ+X$ et l’´el´ement unit´e 1A ∈ A. On d´efinit des sous-espaces
EMX,P(n) etEM[X],A(n), pour n≥1, de la mani`ere suivante. Les sous-espacesEMX,P(n) sont ceux d´efinis par EMX,P(1) = E et la relation de r´ecurrence (2.22). Les sous-espaces EM[X],A(n) sont d´efinis classiquement par :
EM[X],A(n) = [X]n−1·E,
avec la convention [X]0=K1A (voir par exemple [24, chapitre 5]).
Proposition 2.37 Avec les notations pr´ec´edentes, on a : (∀n≥1) : EMX,P(n) =EM[X],A(n).
Preuve. Pour all´eger les notations on noteraEP(n) etEA(n) au lieu deEMX,P(n) etEM[X],A(n). Pour n= 1 on a bien EP(1) = E = EA(1). Supposons maintenant n≥1 et EA(n) =EP(n) ; montrons queEA(n+ 1) =EP(n+ 1) aussi. En utilisant le lemme 2.36 et le lemme pr´ec´edent, on a :
EA(n+ 1) = [X]EA(n) = [X]EP(n) =EP(n) +X ? EP(n) =EP(n+ 1).
La proposition est ´etablie.