b) Si βx n’est pas nulle, alors la restriction de g `a l’orbite H.x est non d´eg´en´er´ee, de signature (p0, q0). Ainsi p0 ≤pet q0 ≤q. Le groupe Ad (H) se voit comme un sous-groupe deO(p0, q0), et le th´eor`eme 4.4 en d´ecoule.
Dans le cas g´en´eral, R. Zimmer prouve le th´eor`eme 4.4 en utilisant l’applica-tion de Gaussσ, ainsi que la notiond’enveloppe alg´ebriqueque nous n’´ evoque-rons pas ici. Le lecteur trouvera une pr´esentation claire et concise de la preuve dans [WMZ88].
4.4 Th´ eor` eme de plongement pour les g´ eom´
4.4.1 De nouvelles applications de Gauss
Consid´erons donc un groupe de Lie H, agissant par automorphismes d’une g´eom´etrie de Cartan (M,M , ω) model´ˆ ee sur un espace homog`ene X=G/P. Il y a une restriction technique dans les ´enonc´es que nous allons donner, qui est quele groupe AdP est suppos´e presque alg´ebrique dans GL(g), c’est-`a-dire qu’il est d’indice fini dans sa clˆoture de Zariski. Dans toutes les g´eom´etries
“classiques”, cette hypoth`ese est satisfaite.
L’int´erˆet de travailler avec des g´eom´etries de Cartan vient du fait que de nouvelles applications de Gauss vont apparaˆıtre. Pour d´efinir ces applica-tions, il faut consid´erer l’action du groupe sur le fibr´e ˆM plutˆot que sur M elle-mˆeme. Soit X un ´el´ement de l’alg`ebre de Lieh, et{ϕtX}t∈R le groupe `a un param`etre de diff´eomorphismes qu’il induit sur ˆM. En posant en chaque point ˆx de ˆM
X(ˆˆ x) = d
dt|t=0ϕtX.ˆx,
on d´efinit un champ de vecteurs sur ˆM. On h´erite alors d’une application lin´eaire ˆαxˆ :h→g d´efinie par
ˆ
αxˆ(X) =ωxˆ( ˆX(ˆx)).
Comme nous l’avons d´ej`a soulign´e, l’action deHsur ˆM pr´eserve un paral-l´elisme, et par cons´equent cette action est libre. L’application ˆαxˆ est donc injective, et ˆαˆx identifie en chaque point ˆxde ˆM l’alg`ebre de Lieh`a un sous-espace vectoriel hˆx = ˆαxˆ(h) de g. Notons bien que cette identification est lin´eaire, mais n’est pas un morphisme d’alg`ebres de Lie (sauf aux points o`u la courbure de la connexion de Cartan s’annule, voir [BFM09, Lemme 2.1]).
Finalement, nous obtenons une nouvelle application de Gauss : ˆ
α: Mˆ → Hom (h,g) ˆ
x 7→ αˆxˆ
Le groupe GL(h)×GL(g) agit sur Hom (h,g) de la mani`ere suivante : (l1, l2).α(u) =l−12 (α(l1−1(u))).
On v´erifie que α est H×P ´equivariante, l’action de H ×P sur Hom (h,g) transitant par le morphismeρ:H×P →GL(h)×GL(g), qui `a (h, p) associe (Adh,Adp).
Remarquons que ωx−1ˆ (hxˆ ∩p) est l’alg`ebre de Lie du stabilisateur de x dansH (les points o`uhxˆ est transverse `a l’alg`ebrepse projettent donc sur les points x∈ M o`u l’action est localement libre). Remarquons ´egalement que l’application ˆM → Gr(h), qui `a ˆx∈ Mˆ associe ( ˆαxˆ)−1(hxˆ∩p) est invariante
sous l’action de P, et induit sur M l’application de Gauss σ : M → Gr(h) utilis´ee par R. Zimmer. Mais comme nous allons le voir, ˆαv´ehicule beaucoup plus d’information que σ.
4.4.2 Enonc´ ´ e du th´ eor` eme de plongement
Avant d’´enoncer notre th´eor`eme de plongement, nous introduisons les nota-tions suivantes. SiSest un sous-groupe du groupeH, alors on d´esigne parS∗ l’adh´erence de Zariski, dans GL(h), du groupe AdS. Ce groupe alg´ebrique S∗ a pour alg`ebre de Lies∗, que l’on voit comme une sous-alg`ebre de End (h).
Rappelons que nous avons fait l’hypoth`ese que AdP ´etait presque alg´ebrique.
Th´eor`eme 4.9. [BFM09, Th´eor`eme 4.1] Soit(M,C)une g´eom´etrie de Car-tan model´ee sur un espace X=G/P. Soit H un groupe de Lie agissant par automorphismes de (M,C), et S un sous-groupe deH pr´eservant une mesure bor´elienne finie µ sur M. Si S∗ ne comporte aucun sous-groupe alg´ebrique normal et cocompact, alors il existe un ensemble Λ ⊂ M de mesure pleine relativement `a µ, tel que pour tout xˆ ∈ Mˆ au-dessus de x, il existe une sous-alg`ebre s∗xˆ ⊂ad p isomorphe `a s∗, laissant hxˆ invariant, et telle que αˆxˆ conjugue l’action de s∗xˆ sur hxˆ `a celle de s∗ sur h.
L’´enonc´e un peu technique du th´eor`eme m´erite quelques commentaires.
a) Le th´eor`eme 4.9 comporte encore une hypoth`ese sur l’existence d’une mesure invariante, mais il faut noter que celle-ci porte sur le sous-groupe S, et non sur le groupe H en entier. Aussi, lorsque M est une vari´et´e compacte, le th´eor`eme va s’appliquer `a tout sous-groupe S ⊂ H qui est moyennable (par exemple r´esoluble). En effet, de tels groupes pr´eservent automatiquement une mesure finie surM.
b) Aucune hypoth`ese alg´ebrique n’est faite sur le groupe H. De plus, ce groupe peut ne pas ˆetre connexe, mais le th´eor`eme n’apporte (h´elas) au-cune information pour des actions de groupes discrets. La seule hypoth`ese de nature alg´ebrique porte surS∗, et elle sera satisfaite en pratique pour de nombreux sous-groupes S. Il est important de noter que la conclusion du th´eor`eme porte sur l’alg`ebres∗, qui peut ˆetre beaucoup plus grosse que ads. Par exemple, un groupe discretS peut donner lieu `a une alg`ebre s∗ non triviale.
c) Concernant les restrictions alg´ebriques que le th´eor`eme 4.9 peut apporter sur le groupe H, on trouve un ´enonc´e de port´ee comparable (mais peut-ˆetre moins maniable) dans [Gr86, Section 5.2.A]. L’int´erˆet du th´eor`eme 4.9
r´eside plus dans les informations g´eom´etriques qu’il apporte sur l’action de H. En effet pour certains groupes S, les conclusions du th´eor`eme vont impliquer que sur l’ensemble Λ, le sous-espace hxˆ ne peut pas ˆetre transverse `a p. On aura donc des groupes `a un param`etre de H qui stabilisent les points de Λ, et l’´etude dynamique au voisinage de ces points fixes peut apporter beaucoup de renseignements : c’est l’id´ee qui conduit au th´eor`eme de rigidit´e 4.11 que nous verrons un peu plus loin.
4.4.3 Id´ ees de preuve
Au vu des outils introduits dans la section 4.3, la preuve va d´ecouler de la remarque suivante : les conclusions du th´eor`eme sont satisfaites en tout point ˆ
x de ˆM o`u la S∗-orbite de ˆαxˆ est incluse dans la P∗-orbite de ˆαˆx. En effet, si ˆx est un tel point, alors pour tout s∗ ∈ S∗, il existe p∗ ∈ P∗, laissant hˆx invariant, et tel que la restriction de p∗ `a hˆx soit exactement ˆαˆxs∗αˆ−1xˆ . Ainsi, l’alg`ebre ˆαxˆ.s∗.αˆ−1xˆ est la restriction `a hˆx d’une sous-alg`ebre de adp (rappelons que adp=p∗ car AdP est suppos´e presque alg´ebrique). Il suffit alors de poser s∗xˆ = ˆαxˆ.s∗.ˆα−1ˆx pour obtenir le th´eor`eme 4.9.
L’application ˆα : ˆM → Hom (h,p) descend en une application S-´ equiva-riante α : M → W, o`u W = Hom (h,g)/P∗. Tout revient donc `a montrer l’existence d’un ensemble Λ de µ-mesure pleine pour lequel αx est un point fixe de l’action de S∗ sur W. On va se ramener au th´eor`eme 4.7 en remar-quant que mˆeme siW n’est pas `a proprement parler une vari´et´e alg´ebrique, l’action de S∗ sur W poss`ede les caract´eristiques d’une action alg´ebrique.
Par exemple, les orbites de S∗ sur W sont localement ferm´ees. Si l’on sup-pose la mesure µ ergodique, ce que nous faisons dans un premier temps, alors la mesure image ν = α∗(µ), qui est S-invariante, va ˆetre port´ee par une seule S∗-orbite (ceci d´ecoule de [Zim84a, Proposition 2.1.12]). Cette or-bite est un espace homog`ene S∗/Sw∗, et l’on v´erifie que le stabilisateur Sw∗ est un sous-groupe presque alg´ebrique de S∗. Maintenant, sur l’espace ho-mog`ene S∗/Sw∗, le sous-groupe de S∗ qui laisse la mesure ν invariante est lui-mˆeme alg´ebrique. Cest un fait remarquable observ´e par S.G Dani dans [D82, Corollaire 2.6]. La mesureν surS∗/Sw∗ est donc invariante parS∗, car Sest suppos´e Zariski dense dansS∗. Enfin, on peut conclure par un th´eor`eme de Chevalley, qui nous assure qu’il va exister un morphisme alg´ebrique injec-tif ρ :S∗ → GL(m+ 1,R), pour un certain m ∈ N, de sorte que ρ(Sw∗) soit exactement le stabilisateur, dans ρ(S∗), d’une direction R.v ⊂Rm+1. Ainsi, on peut pousser la mesure ν en une mesure ν0 sur l’espace projectif RPm, invariante par le groupe ρ(S∗). Le th´eor`eme 4.7 va assurer l’existence de S0∗ ⊂ S∗, normal, cocompact et alg´ebrique, de sorte que l’action de S0∗ sur l’orbite S∗/Sw∗ soit triviale. Par hypoth`ese, S0∗ = S∗ et le support de ν est
bien contenu dans les points fixes de S∗.
Lorsque µ n’est pas ergodique, une d´ecomposition de µ en composantes ergodiques permet de conclure.