Théories sur les tubes flexibles

La notion de pression transmurale représente la différence de pression entre l’extérieur, et l’intérieur du tube. Lorsqu’une pression négative est appliquée à l’intérieur d’un tube flexible, celui-ci se déforme tout d’abord de manière symétrique, puis lorsque la pression augmente, il s’écrase sur lui-même. Ainsi la déformation du tube peut former plusieurs lobes (Figure 2.13) [14].

Figure 2.13 : Différentes géométries de collapsus et les sections correspondantes : (a) deux lobes, (b) trois lobes [14]

La loi de déformation du tube en fonction des contraintes de pression s’appelle la loi des tubes. Cette loi a été généralisée par plusieurs chercheurs, dont Shapiro [15] (Figure 2.14).

Figure 2.14 : Loi de tube et quelques approximations pour une section de tube [15]

La pression du fluide dans le tube est représentée par la variable p, pe correspond à la pression

extérieure, ainsi P est la pression transmurale à un facteur près, noté Kp. Le facteur Kp dépend

de l’épaisseur et du rayon de la tubulure ainsi que de son module d’Young. Une autre étude réalisée par Heil [16] a pris en compte la tension longitudinale dans la loi de tube et a permis de connaitre la loi de tube en trois dimensions.

Grâce à la loi des tubes de Shapiro, la déformation d’une section peut être évaluée en fonction de la pression transmurale et des paramètres intrinsèques au tube sur une section de tube donnée. En revanche, cette loi ne permet pas de prendre en compte l’influence de la tension longitudinale ni de la dynamique du système. En effet, lorsqu’il y a un écoulement dans le tube, le champ de pression évolue le long de ce dernier. Différents cas sont alors observables en fonction de la pression en amont, le débit, la pression extérieure et de la pression en aval comme le montre la Figure 2.15. Elad et al. [17] ont montré qu’il suffit de connaitre le débit ainsi que deux des trois variables suivantes pour définir entièrement le système en régime stationnaire : 𝑝2− 𝑝1; 𝑝𝑒− 𝑝1 ou 𝑝𝑒− 𝑝2 . Ils ont ajouté que le fait de diminuer la pression

en amont du tube revient à augmenter la pression extérieure à celui-ci.

Figure 2.15 : Différentes déformations du tube en fonction des gradients de pression [18]

Dans un tube rigide, la perte de charge induite dans le tube est proportionnelle au carré de la vitesse du fluide (cas a de la Figure 2.15). Dans un tube flexible, l’évolution de la géométrie et

les interactions fluide/structure modifient les pertes de charge et le champ de pression dans le tube. Ainsi le tube va localement se déformer selon la loi des tubes (cas c de la Figure 2.15). Lorsque la pression dans le tube diminue, un contact va apparaitre entre les parois opposées du tube en un point. Finalement, ce contact va se propager sur une ligne et le tube va totalement être occlus (cas b de la Figure 2.15).

En régime stationnaire, le champ de pression dans le tube peut être décrit par l’équation de Bernoulli stationnaire:

𝑃_{𝑎𝑚𝑜𝑛𝑡} = 𝑃_{𝑎𝑣𝑎𝑙} − 1 2𝜌𝑣

2 _{− ∆𝑃}

𝑝𝑑𝑐 (5)

Le terme ∆𝑃𝑝𝑑𝑐 représente les pertes de charge régulière et singulière induites par le tube. Ces

dernières ne sont pas linéaires par rapport au débit comme l’ont montré les expériences de Katz et al. [19] et Conrad [20] (Figure 2.16).

La graphique (c) de la Figure 2.17 a été réalisée en utilisant un protocole particulier appelé le protocole de Conrad [20]. Ce dernier consiste à garder la résistance en aval et la pression extérieure fixées, puis à augmenter progressivement le débit en relevant la perte de charge induite par la tubulure.

Le mécanisme derrière l’évolution de la perte de charge est le suivant : lorsqu’un écoulement s’établit, la pression à l’intérieur diminue à cause des pertes de charge. Pour une pression extérieure constante, la pression transmurale va alors diminuer également. Le tube se déforme (loi des tubes), et le fluide accélère (effet Venturi). La dynamique de ce phénomène implique à la fois celle du fluide et celle de la structure ainsi que leurs interactions. La perte de charge induite par le tube dépend alors de la pression dans le tube et de la loi des tubes. Elle montre également un caractère hystérétique. En effet, plusieurs auteurs tels que Conrad [20], Katz et al [19], Scroggs [6] ou encore Jensen [21] ont étudié les régimes stationnaires de ce type de système. Les résultats dépendent du protocole utilisé comme en témoignent les courbes expérimentales montrant la perte de charge en fonction du débit (Figure 2.17). Les tubes testés sont des tubes en latex ou en PVC de différentes géométries.

Figure 2.17 : Perte de charge 𝑝2− 𝑝1 en fonction du débit avec (a) 𝑝1− 𝑝𝑒 fixé, (b) 𝑝2− 𝑝𝑒 fixé, (c) le protocole de Conrad [21]

Les expériences ont été réalisées avec une force motrice en amont (modélisant le cœur ou la pression pleurale qui résulte de la contraction des muscles respiratoires, de l’élasticité des

poumons et de la cage thoracique) et une pression aval atmosphérique ou positive. En VLT, l’expiration active provoque une dépression en aval.

Une revue sur les écoulements dans les tubes flexibles a été réalisée par Grotberg et Jensen [22]. La plupart des études réalisées sur les écoulements transitoires et les instabilités se sont penché sur des phénomènes d’oscillation des parois du tube en petites et moyennes déformations. Ces dernières appelées ondes TWF (travelling wave flutter) ou encore TS (Tollmien Schlichting) sont des oscillations auto entretenues qui tirent leur énergie de l’écoulement. Une grande quantité d’oscillations a été identifiée. Ces dernières dépendent des propriétés du matériau, de la tension longitudinale du tube, de sa géométrie, mais aussi du débit et des différentes pressions en amont, en aval et extérieure. La complexité de l’interaction entre le fluide et la structure permet d’observer sous certaines conditions des phénomènes non linéaires, ou encore des hystérésis. Ces instabilités n’aboutissent cependant pas à un collapsus avec une chute drastique de pression comme il en est question en VLT.