2.2 Théorie
2.2.2 Théories quasi-stationnaires
Les ordres de grandeur des différents nombres adimensionnels définis précé-demment nous permettent de considérer l’écoulement glottique comme locale-ment incompressible, quasi-stationnaire et isentropique. On peut distinguer deux zones : la zone principale dans laquelle l’écoulement est supposé parfait et unidi-mensionnel et la zone de couche limite pariétale où l’écoulement est visqueux et bidimensionnel. Le raccordement entre ces deux zones se fait par continuité de la vitesse et de sa dérivée tangentielle.
Equations de Prandtl
Dans la zone principale, l’équation de Navier-Stokes (2.1) et l’équation de conservation de la masse se réduisent à ([22]) :
- / - -(2.5)
La première équation est nommée équation d’Euler. C’est la raison pour laquelle on note la composante suivant x de la vitesse de l’écoulement dans cette région. La solution de cette équation est l’équation de Bernoulli stationnaire :
1 ' + % ' + -1" (2.6) où1
est la pression d’arrêt. Dans la couche limite, les approximations de couche mince et d’égalité des termes visqueux et convectifs permettent d’obtenir le sys-tème d’équations communément appelées équations de Prandtl ([22]) :
% - / % - % -(2.7)
L’équation de conservation de la masse, dans le cas d’un fluide incompressible et quasi-stationnaire s’écrit : - ' + (2.8)
Du fait de la conservation de la masse, le débit glottique est constant. Si l’on introduit la quantité définie par : ' + - / ' + ' + (2.9)
le débit s’écrit alors : - ' + / ' + ' + (2.10) La signification de
apparaît alors clairement. C’est la distance de laquelle il faudrait déplacer les parois pour obtenir le débit glottique
si l’écoulement était parfait dans tout le canal.
est nommée “épaisseur de déplacement”.
Nous avons vu précédemment que la description de la couche limite était va-lable en amont du point de séparation. En aval, les théories laminaires perdent rapidement leur sens car le jet devient turbulent. Dans cette zone de turbulence, l’énergie cinétique du jet est dissipée sans qu’il y ait modification de la pression. En faisant l’hypothèse d’un jet droit, la pression dans le jet peut être supposée uniforme et égale à la pression supraglottique
. En supposant une vitesse initiale négligeable devant la vitesse dans le jet , celle-ci est donnée par l’équa-tion de Bernoulli appliquée entre l’amont de la glotte et le jet libre :
- ' / + (2.11)
Le débit glottique est quant à lui donné par :
- ' / + (2.12) où et
sont la hauteur et l’épaisseur de déplacement au niveau du point de séparation.
La théorie de couche limite prévoit donc la modulation du débit glottique par l’oscillation des cordes vocales. La difficulté théorique principale revient à déter-miner et .
Résolution des équations de Prandtl
La détermination de
et
ne pose pas de problème dans le cas de canaux convergents ou de hauteur uniforme débouchant sur l’espace infini avec une arête abrupte. Dans ce cas, le point de séparation est fixé à l’arête du canal. Le débit glottique est alors facilement calculable. Dans le cas d’un canal avec un profil arrondi comme c’est le cas in-vivo, la position du point de séparation n’est plus triviale et nécessite des théories plus complexes.
Une méthode plus sophistiquée consiste à intégrer les vitesses et pressions sur un profil vertical. C’est la méthode intégrale de Von Kármán. A partir des équations de Prandtl, Von Kármán a obtenu l’équation ([22]) :
' + ' + % ' % + ' + ' + ' + - ' + (2.13)
où désigne l’épaisseur de moment, définie par : ' + - ' + ' + / ' + ' + (2.14)
où le facteur de forme H est défini par :
- (2.15)
et où la contrainte pariétale de cisaillement est donnée par :
' + - ' + (2.16)
Cette équation peut se résoudre de différentes façons. Une des méthodes con-siste à estimer le profil de vitesse dans la couche limite par un polynôme. C’est la méthode de Pohlhausen utilisée par Pelorson et coll.([20]) et Hofmans ([12]) avec un polynôme de degré 3. La résolution s’effectue alors jusqu’au point de séparation qui, dans le cas d’un écoulement stationnaire, est le point pour lequel la contrainte pariétale s’annule. Comme les équations dépendent du débit glot-tique
et que celui-ci dépend de la hauteur du canal au point de séparation
, une solution par intégration pas à pas diverge. Il est nécessaire d’employer une méthode implicite avec relaxation.
Une approximation plus simple consiste à considérer un profil de vitesse li-néaire dans la couche limite. Cependant cette approximation ne permet pas de calculer le point de séparation puisque une contrainte pariétale nulle signifie alors une vitesse identiquement nulle sur toute une section verticale. L’utilisation d’une approximation linéaire suffit cependant à décrire les canaux convergents ou droits se terminant abruptement pour lesquels la position du point de séparation est fixée par l’arête de fin de canal.
Méthode de Thwaites
Nous avons utilisé dans notre étude une méthode différente pour résoudre l’équation de Von Kármán. Cette méthode semi-empirique, proposée par Thwaites, se base sur une réécriture de l’équation de Von Kármán permettant d’introduire des grandeurs plus facilement interprétables ([22]). En multipliant chaque terme de l’équation 2.13 par , on obtient : ' + ' + ' + %(' % + ' + ' + - ' + ' + ' + (2.17)
– - , – - . Le paramètre
représente le rapport entre deux effets antagonistes : d’une part l’entraînement visqueux de l’écoulement pariétal par l’écoulement principal ( lié à un processus de diffusion d’impulsion dont le temps caractéristique est
) et d’autre part la vitesse de déformation des particules fluides (de temps caractéris-tique ).
En introduisant ces deux paramètres dans l’équation on obtient alors :
/ ' % + - ' + ' + ' + (2.18)
Thwaites a montré que les facteurs S et H dépendent principalement de
. Dans ce cas on peut poser :
' + ' + ' + - ' + (2.19)
En outre, Thwaites a constaté expérimentalement que la fonction '
+ était rai-sonnablement simplifiable en une droite d’équation :
' + - / (2.20)
En réintroduisant les expressions de F et
, on obtient, après quelques trans-formations, l’équation : ' + ' + - ' + (2.21)
Cette équation peut aussi être intégrée suivant x :
' + ' + / ' + ' + - ' + (2.22)
C’est l’expression que nous utiliserons par la suite.
L’équation de Thwaites (2.22) est une équation à deux inconnues. Elle doit donc être complétée par une seconde équation. L’équation de conservation de la masse nous donne :
' + / ' + ' + ' + - (2.23)
Cette équation introduit la quantité
'
+ dont les valeurs sont tabulées dans la littérature ([2]).
Les équations 2.22 et 2.23 ainsi que la définition de et les valeurs de ' +
permettent de calculer la vitesse '
+ et l’épaisseur de moment '
+ dans la région du canal glottique située en amont du point de séparation. Ces équations sont résumées dans le système ci-dessous :
' + ' + / ' + ' + - ' + ' + / ' + ' + ' + - ' + -