2.2 Théorie
2.2.3 Théories instationnaires
et les valeurs de ' +
permettent de calculer la vitesse '
+ et l’épaisseur de moment '
+ dans la région du canal glottique située en amont du point de séparation. Ces équations sont résumées dans le système ci-dessous :
' + ' + / ' + ' + - ' + ' + / ' + ' + ' + - ' + - (2.24)
La position du point de séparation est tout naturellement donnée par
puisque cette quantité reflète la compétition entre les termes antagonistes intervenant dans le phénomène de séparation. Thwaites a déterminé expérimentalement la valeur critique de
pour laquelle la séparation survient :
- /
. Pelorson et coll.([20]) a noté que dans le cas d’un profil de vitesse polynômial d’ordre 3, la valeur de
était calculable analytiquement et qu’elle était égale à :
= -0.0992. Dans ce qui suit, nous gardons cette valeur analytique de
. Il apparaît dans ce cas que la méthode de Thwaites donne essentiellement les mêmes résultats que la méthode de Pohlhausen d’ordre 3, comme nous le vérifierons à la section 2.3.
En aval du point de séparation, nous faisons l’hypothèse d’un jet droit quasi-stationnaire. La pression dans le jet est uniforme et égale à la pression supraglot-tique
. La méthode de Thwaites ne permet pas d’évaluer numériquement cette hypothèse puisque cette méthode ne considère l’écoulement qu’en amont du point de séparation. En revanche une méthode basée sur la résolution directe de Navier-Stokes permet de poursuivre le calcul en aval du point de séparation. Grâce aux comparaisons effectuées avec les méthodes RNS et NS présentés dans le cha-pitre prochain, nous pourrons donc discuter de l’hypothèse de pression uniforme en aval du point de séparation.
Comme nous l’avons mentionné pour la méthode de Pohlhausen d’ordre 3, le fait que le débit
n’est pas connu a priori et la non-linéarité des équations 2.24 rend leur résolution difficile. Nous devons utiliser une méthode implicite passant par l’estimation des paramètres de couche limite et l’utilisation de boucles de re-laxation permettant d’assurer la convergence du calcul. Les détails de la méthode de résolution sont présentés en annexe B.
2.2.3 Théories instationnaires
Lors de la collision des cordes vocales, la hauteur du canal glottique diminue tellement que les effets instationnaires et les effets visqueux deviennent prédo-minants. La méthode de Thwaites (quasi-stationnaire et basé sur l’hypothèse de
couche limites minces) n’est donc pas appropriée pour décrire l’écoulement pen-dant la collision. Nous allons détailler dans ce qui suit, un ensemble de théories simples utilisables dans de telles conditions.
Les théories instationnaires que nous allons décrire sont appliqués uniquement à des géométries à canal droit pour lesquelles la position du point de séparation est triviale. Dans le cas de géométries arrondies pour lesquelles la position du point de séparation n’est plus triviale, les théories instationnaires n’ont pas de solution analytique simple et nous nous contenterons d’appliquer les théories stationnaires équivalentes.
Ecoulement instationnaire non visqueux : Bernoulli
Une description négligeant la viscosité de l’écoulement ne peut pas prédire la modulation du débit par les cordes vocales. Les effets visqueux induisent la sépa-ration de l’écoulement et la formation d’un jet libre turbulent. La dissipation de l’énergie cinétique dans le jet explique le contrôle du débit glottique. Néanmoins, si l’on néglige les effets de viscosité autres que la dissipation turbulente dans le jet, on peut relier la vitesse en entrée de canal u(0) à la vitesse en tout point du canal u(x) par l’équation de Bernoulli pour un fluide instationnaire incompressible :
' + # % ' + % 1 ' + - ' + # % ' + % 1 ' + (2.25)
où est le potentiel de vitesse défini par :
' + / ' + - (2.26)
Si l’on suppose que la pression en amont du canal,
provient d’un grand ré-servoir dans lequel la vitesse de l’écoulement est faible on peut poser :
1 ' + % ' + - (2.27)
L’équation 2.25 peut se réécrire :
1 ' + - % # ' + / ' + / ' + (2.28)
Pour un écoulement incompressible, le principe de conservation de la masse s’écrit : $# - / (2.29)
Ce qui donne, dans le cas d’un canal de hauteur uniforme : ' + - ' + / # (2.30)
Le potentiel ' + peut donc s’exprimer de la manière suivante :
' + -' + % ' + / # (2.31)
En injectant les expressions de '
+ et u(x) dans l’équation de Bernoulli mo-difiée 2.28 on obtient : 1 ' + - % # # / ' + # / ' + / # (2.32)
En appliquant cette équation en x = L, position pour laquelle p(x) =
est connue, on obtient une équation différentielle pour la vitesse en entrée de canal, u(0) : ' + # - / % # # / ' + / # (2.33) La pression transglottique ' /
+ et la hauteur h(t) étant connues, cette équation peut être intégrée numériquement suivant t. Nous utilisons pour cela une méthode de Newton-Raphson d’ordre 1. Une fois connue u(0), il est possible de calculer la pression glottique
en utilisant l’équation de Bernoulli (2.32) appli-quée en x =
.
Théorie de la lubrification de Reynolds
Nous considérons maintenant la théorie de la lubrification de Reynolds qui néglige les effets d’inertie dans l’équation de Navier-Stokes (2.1). En supposant que les forces de pression sont du même ordre que les forces visqueuses, le profil de vitesse est donné par la formule de Poiseuille ([22]) :
' + - / 1 ' / + (2.34)
En intégrant sur une section verticale du canal, on obtient le débit glottique ' + : ' + - ' + - / 1 (2.35)
Le profil de vitesse 2.34 combiné avec l’équation de conservation de la masse (2.29) permet d’obtenir l’équation :
1 - "# (2.36)
Pour un canal de hauteur uniforme, l’équation 2.36 peut être intégrée :
1 ' # + / -' / + % # ' / + (2.37) Le débit glottique
' + est alors donné par :
' # + -0/ / % # ' / + (2.38)
Pour un canal de section non uniforme, l’intégration de l’équation 2.29 n’est pas triviale. Nous nous contentons d’appliquer une théorie de Reynolds statique que nous nommerons par la suite théorie de Poiseuille.