La théorie des liquides de Fermi a été introduite par L.D. Landau [21]. Elle permet, à partir de l’image simple et intuitive de quasi-particule, de tenir compte des interac-tions électron-électron dans un matériau en se basant sur l’approximation des électrons indépendants.
Jusqu’à présent, les modèles évoqués sont des extensions de la théorie des électrons indépendants et l’introduction des interactions entre électrons n’apporte qu’une modi-fication de la relation de dispersion (cf. Eq. (1.19)). Les états électroniques du système restent des états stationnaires dont l’écriture est identique à celle en l’absence d’interac-tion. Seule leur forme peut se trouver changer.
1.5.1 Concept dequasi-particule
La théorie de Landau est également une extension de la théorie des électrons in-dépendants. Elle se base sur une correspondance continue des états propres et des particules en l’absence et en présence d’interactions entre électrons dans un système, à condition que ces dernières ne provoquent pas de transition de phase (e.g. la création de paires de Cooper).
Les excitations dans un système sans interaction sont des paires électron-trou de moment k et d’énergie E(k) bien définis. Leur temps de vie est infini car ce sont des états propres du hamiltonien. En revanche, avec l’introduction adiabatique d’interac-tions électroniques, les excitad’interac-tions élementaires sont des quasi-particules. Il s’agit d’élec-trons habillés des fluctuations de densité les entourant. Ce nouvel état est donc régi par une statistique fermionique.
En toute rigueur, il faut également tenir compte des interactions entre quasi-particules dont le comportement est décrit par les paramètres de Landau. Cependant, l’image seule des quasi-particules suffit généralement pour obtenir une description correcte du système.
Ces quasi-particules évoluent autour du niveau de Fermi et, comme cela a déjà été énoncé, ont des propriétés correspondantes à celles d’électrons nus, i.e. elles possèdent le même nombre quantique que les électrons. Cependant, cette correspondance connaît des limites, les propriétés dynamiques de la quasi-particule étant renormalisées par les interactions. Ainsi, ce sont des excitations presque libres, leur temps de vie τ est donc
Figure 1.11 – Spectre des excitations dans un liquide de Fermi.
fini. Dans un métal à 3 dimensions, il s’écrit : τ ∝(E−EF)−2. Lorsqu’on considère des excitations dont le moment est proche de kF, c’est-à-dire, pour des énergies proches de celle de Fermi, le temps τ devient plus grand que l’inverse de l’énergie de l’excitation et donc la quasi-particule est un objet bien défini. En d’autres termes, la théorie de Landau est bien valide quand l’intérêt se porte sur les propriétés à basse énergie. Cette théorie est donc un outil puissant pour déterminer les propriétés de transport et thermodyna-miques d’un métal.
1.5.2 Propriétés à l’équilibre
Afin de connaître les propriétés physiques à basse énergie d’un système en pré-sence d’interaction, il est important d’obtenir des informations sur l’énergie des quasi-particules et de leur interactions.
Fonction de distribution et énergie d’une quasi-particule
L’état fondamental d’un gaz de particules en l’absence d’interaction est décrit par la fonction de distribution n0(k) qui présente une discontinuité d’amplitude égale à 1 à la surface de Fermi. Dans le cas d’un système en interaction, cette fonction du nombre d’occupation possède également une dicontinuité en kF mais dont l’amplitude devient Z <1. Cette quantité représente la partie des électrons qui se trouvent dans un d’état de quasi-particule (cf. Fig. (1.12)). La valeur de Z diminue avec l’augmentation de l’interaction entre les électrons.
Les excitations sont déterminées par les déviations qu’elles induisent dans la fonc-tion de distribufonc-tion par rapport à l’état fondamental : δn(k) = n(k) −n0(k) où le signe de δn(k) est ±1 selon qu’elle représente une quasi-particule ou un quasi-trou avec n(k) = 1/(eβE(k)+1). L’expression des changements δE de l’énergie d’une
quasi-Figure 1.12 – Comportement de la fonction de distribution en moment dans le cas d’un système en l’absence d’interaction (trait plein) et en présence d’interaction (tiret).
particule est développée en puissance de δn(k)[57] :
δE=
∑
k E0(k)δn(k) +1 2∑
k,k0 f(k, k0)δn(k)δn(k0), (1.22) où le premier terme représente l’énergie d’une quasi-particule et le deuxième corres-pond à l’interaction f(k, k0)entre quasi-particules.Si on néglige le deuxième terme, l’énergie d’une quasi-particule, en respectant l’état fondamental, s’écrit :
E(k) =EF+ k
m?(k−kF). (1.23)
Cette relation, qui montre que l’énergie d’une quasi-particule n’est pas l’énergie d’un électron, définit la masse effective m?
. Dans le cas d’un gaz d’électrons en l’absence d’in-teraction, m =m?
. En revanche, en présence d’interaction et pour des énergies proches de celle de Fermi, la relation de dispersion (1.23) induit le remplacement de la masse de l’excitation m en m?
. Par ailleurs, le moment k ne change pas car, d’après le théorème de Lüttinger, malgré les changements de la surface de Fermi induits par les interactions, le volume contenu reste un invariant [58].
Fonction spectrale d’une quasi-particule
La fonction spectrale, qui permet une caractérisation des excitations, se trouve également changée par la présence des interactions. La probabilité de trouver un état d’énergie ¯hω avec un moment k s’écrit, dans le cas d’un gaz d’électron indépendant
excitations dans ce type de système sont bien définies (cf. Fig. (1.13)).
Figure 1.13 – Allure de la fonction spectrale dans le cas d’un système en l’absence d’interaction (trait plein) et en présence d’interaction (tiret).
En présence d’interaction, la fonction spectrale est une lorentzienne dont le pic, cen-tré en E(k), s’affine quand la valeur du moment k s’approche de kF. Ceci s’explique par le fait que les quasi-particules sont des excitations, de mieux en mieux définies à l’ap-proche du niveau de Fermi. Le poids de cette lorentzienne est le paramètre de renorma-lisation Z. Le reste(1−Z)correspond à un fond continu d’excitations mal définies qui peut raisonnablement être ignoré à basse énergie.
Propriétés thermodynamiques
La chaleur spécifique à volume constant est définie comme la variation de l’énergie interne U du système en fonction de la température T :
CF
v = 1
V ∂U
∂T. (1.24)
La dépendance de l’énergie U par rapport à la température vient de l’excitation des quasi-particules par agitation thermique, déterminée par n(k). Ainsi, la chaleur spéci-fique s’écrit [57] :
CvF = m?kF
3 k2
BT. (1.25)
La différence avec un gaz d’électron réside dans la substitution de la masse réelle par la masse effective m?
La suceptibilité de spin à température nulle est définie par : χ0 = V∂2E0 ∂M2