2.5 Exemples de propriétés d’un liquide de Lüttinger
2.5.1 Propriétés thermodynamiques
Le système unidimensionnel de fermions en interactions est maintenant décrit par un modèle de bosons libres. Rappelons sa relation de dispersion :
E(k) = ¯h
∑
j
vj|k|. (2.44)
Nous nous intéressons ici à la chaleur spécifique, la compressiblité et la susceptibilité de spin.
Chaleur spécifique
Elle est définie par la variation de l’énergie en fonction de la température, à pression constante [100] :
Cv(T) = d
dT E(p)fB,F(E(p))
!
, (2.45)
où fB,F(E(p))est la fonction de distribution d’une statistique bosonique ou fermionique. L’introduction de l’expression de l’énergie dans celle de la chaleur spécifique
conduit, pour un système de bosons libres, à : CBv = πkB 3 kBT
∑
j 1 vj, (2.46)qui dépend des secteurs de charge et de spin, lesquels contiennent les deux branches du spectre, caractéristique d’un liquide de Lüttinger. Cette expression est à comparer à la chaleur spécifique d’un gaz de fermions unidimensionnel :
CvF = 2 πkB
3
kBT
vF , (2.47)
où le facteur 2 qui apparaît ici vient de la prise en compte des deux branches du spectre. Nous remarquons que chaque chaleur spécifique dépend linéairement de la tempé-rature. Il s’agit, en effet, du comportement standard d’un gaz de fermions à n’importe quelle dimension et que, comme cela a été montré au chapitre précédent, le modèle de bosons libres peut être vu comme celui d’une chaîne d’oscillateurs.
Le rapport de ces chaleurs spécifiques s’écrit alors, dans le cas d’invariance par rota-tion de spin (Ks=1) : CB v CF v = γ γ0 , γ γ0 = 1 2 vF vc +1 . (2.48)
Il ne dépend que des paramètres Kjet vj. Compressibilité et susceptibilité de spin
La compressibilité définit la variation de volume, de surface, ou comme ici de lon-gueur d’un solide sous l’effet d’une pression. Cependant, nous choisissons de la dé-finir comme une fonction de l’énergie de l’état fondamental par rapport à la densité totale [96] :
κ−1 = ∂
2E0(ρ)
∂ρ2fil . (2.49)
En se limitant aux contributions à variation lente de l’opérateur densité (premier terme de l’équation (2.35)), nous obtenons pour le rapport entre compressibilité de système de bosons libres et de gaz de fermions :
κ
κ0 = vFKc
vc =K2
c, (2.50)
qui ne dépend que du paramètre d’interaction coulombienne du secteur de charge Kc. Par ailleurs, il s’agit du seul secteur affecté car c’est le seul apparaissant dans l’opérateur
densité. Nous pouvons également nous intéresser à la susceptibilité de spin définie par :
χ−1 = ∂
2E(σ)
∂σ2f il , (2.51)
où σf il est l’opérateur de densité de spin. Cependant, comme nous l’avons évoqué précédemment, les interactions sont invariantes par rotation de spin. Le secteur de spin n’y est donc pas sensible et ses paramètres ne sont pas renormalisés. Nous trouvons alors un rapport des susceptibilités de spin égal à l’unité.
Notons cependant que des mesures expérimentales de la chaleur spécifique, de la compressibilité ou encore de la susceptibilité de spin, peuvent permettre de détermi-ner les valeurs des paramètres Kj et vj pour n’importe quel modèle. Cela permet de déterminer les interactions dans un liquide de Lüttinger.
Cependant, toutes ces propriétés sont identiques à celle obtenues dans le cas d’un liquide de Fermi. La présence des paramètres Kj et vj n’a qu’un effet renormalisant sur les quantités propres à un système sans interaction. Ce constat permet de mettre en lumière la difficulté à distinguer un liquide de Lüttinger d’un liquide de Fermi par la présence d’une séparation spin-charge ou de comportement en loi de puissance de certaines propriétés du système.
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté et utilisé la technique de bosonisation afin de rendre quadratique et donc diagonalisable le hamiltonien d’un système de fermions en interaction en une dimension, en le décrivant par un modèle de bosons libres. Le modèle ainsi obtenu est résoluble pour des interactions, même très fortes. En revanche, la solution reste limitée à des processus de diffusion vers l’avant.
Cette technique nous a également permis de déterminer les expressions bosonisées du lagrangien et de l’action euclidienne qui sont nécessaires pour la détermination des fonctions de Green, lesquelles portent les informations pertinentes pour l’étude des pro-priétés d’un système.
De manière générale, nous avons retrouvé une correspondance systémique entre les opérateurs d’un système fermionique et ceux d’un système bosonique, déjà bien connue et très utilisée.
3
Transport hors équilibre et
propriétés d’un liquide de
Lüttinger
Sommaire
3.1 Fonctions de corrélations . . . . 69 3.1.1 De l’intérêt des fonctions de corrélations retardées . . . . 69
3.2 Fonctions de Green hors équilibre . . . . 69 3.2.1 Théorie des perturbations usuelle . . . . 70 3.2.2 Formalisme de Keldysh . . . . 72
3.2.3 Expression des fonctions de Green fermioniques et bosoniques . . . . 75
3.3 Propriétés spectrales d’un liquide de Lüttinger . . . . 77 3.3.1 La densité d’états du fil quantique . . . . 77 3.3.2 La fonction spectrale . . . . 79 3.3.3 Fonctions de corrélations à n-particules . . . . 86
Conclusion . . . . 87
Les propriétés thermodynamiques ne montrent pas clairement le caractère propre à un liquide de Lüttinger, comme la séparation spin-charge ou un comportement en loi de puissance. Il paraît nécessaire de s’intéresser à d’autres quantités s’appuyant sur le calcul de fonctions de corrélations. Elles peuvent être reliées aux propriétés du spectre, comme la fonction spectrale ou la densité d’états, ou propres aux phénomènes de transport tels que le courant, le bruit, la conductance, etc . . .
Le choix du modèle d’un liquide de Lüttinger simplifie le calcul des fonctions de cor-rélations d’un système d’électrons fortement corrélés. En effet, la représentation boso-nique des opérateurs nous assure que leur valeur moyenne est donnée par une moyenne 67
de fonctions gaussiennes et la détermination des fonctions de corrélations est alors exacte. Nous en verrons quelques applications dans ce chapitre.