Théorie du bien-être social

L’évaluation collective d’une allocation de ressources constitue un problème important. “Comment peut-on évaluer une allocation à partir du bien-être de tous les agents ?”. On peut trouver une réponse à cette question dans la littérature grâce à la théorie du choix social (Arrow, 1963; Moulin, 1988; Sen, 1970). Cette théorie, qui vient de l’économie, définit un ensemble d’outils permettant de mesurer le bien-être d’une société d’agents, prenant en compte le bien-être de tous ses agents. Différentes notions existent et la plupart d’entre elles peuvent être utilisés dans le cadre des problèmes d’allocation (Arrow et al, 2002; Moulin, 2004; Sen, 1997). Dans cette section, ces notions sont détaillées avec leurs conséquences sur la distribution des ressources.

Bien-être utilitaire

La notion la plus utilisée pour évaluer une allocation de ressources est le bien-être utilitaire. Le bien-être de la population est évalué grâce à la somme des bien-être

A.1. Description du problème 167

individuels de tous les agents de la société. Cette notion est souvent utilisée afin de maximiser le bien-être moyen des agents de la société.

Définition A.4 (Bien-être utilitaire) Le bien-être utilitaire d’une allocation de ressource A,

que l’on notera sw_u(A), correspond à la somme des utilités individuelles.

swu(A) =^X i∈P

u_i(R_i), A ∈ A.

Le bien-être utilitaire n’est cependant pas adapté dans tous les cas. En effet, cette notion se révèle inefficace lorsque l’égalité entre les agents est considérée. Dans de tels cas, le bien-être égalitaire doit être utilisé.

Bien-être égalitaire

Le bien-être égalitaire d’une allocation de ressources correspond au bien-être individuel de l’agent le plus pauvre de la population. La maximisation de cette notion réduit les inégalités au sein d’une population. Le partage équitable est un enjeu crucial dans de nombreuses applications (Brams and Taylor, 1996; Moulin, 2004; Rawls, 1999; Sen, 1995).

Définition A.5 (Bien-être égalitaire) Le bien-être égalitaire d’une allocation de ressources A,

que l’on notera sw_e(A), correspond à l’utilité individuelle de l’agent le plus pauvre.

sw_e(A) = min

i∈P u_i(R_i), A ∈ A.

Le produit de Nash

Le produit de Nash considère le bien-être moyen dans une population tout en réduisant les inégalités en son sein (Ramezani and Endriss, 2009). Le produit de Nash est une notion qui peut être vue comme un compromis entre le bien-être utilitaire et le bien-être égalitaire. Cette notion est indépendante des échelles d’utilité, et normalise également les utilités des agents. En dépit de ces qualités, un inconvénient demeure : cette notion n’a de sens que si toutes les valeurs d’utilité sont positives.

Définition A.6 (Le produit de Nash) Le produit de Nash d’une allocation de ressources A,

que l’on notera swn(A), correspond au produit des utilités individuelles.

swn(A) =^Y i∈P

u_i(R_i), A ∈ A.

Bien-être élitiste

Le bien-être élitiste est à l’opposé du bien-être égalitaire. Cette notion ne considère que le bien-être de l’agent le plus riche dans la société. Cette notion est souvent utile dans un contexte de sociétés artificielles par exemple, où tous les agents ont un objectif commun. Cet objectif doit être rempli quel que soit l’agent qui le fait.

Définition A.7 (Bien-être élitiste) Le bien-être élitiste d’une allocation de ressource A, que

l’on notera sw_eℓ(A), correspond à l’utilité individuelle de l’agent le plus riche dans la population.

sweℓ(A) = max

Autres notions

L’évaluation d’allocation de ressources peut également se faire par d’autres notions. Selon l’absence d’envie (Brams and Taylor, 1996), les agents évaluent leur bien-être indi-viduel par une comparaison avec le bien-être que lui procurerait le panier de ressources d’un autre. En effet, si tous les agents sont au moins aussi heureux avec leur panier de ressources qu’ils ne le seraient avec celui d’un autre agent, alors l’allocation de ressources est dite “sans envie”. Plus formellement, une allocation de ressources est dite “sans envie” si la condition suivante est satisfaite :

ui(Ri) ≥ ui(Rj) ∀i, j ∈ P.

Dans un société d’agents jaloux, ils évaluent leur bien-être par une comparaison avec le bien-être des autres. Les agents ne sont pas jaloux si leur bien-être est supérieur à celui des autres. Plus formellement, une allocation de ressources est dépourvue de jalousie lorsque la condition suivante est satisfaite :

u_i(R_i) ≥ u_j(R_j) ∀i, j ∈ P.

Une allocation Pareto optimal (Moulin, 1988) est une allocation dans laquelle aucun agent ne peut accroître son bien-être sans diminuer celui d’un autre agent. Cette notion ne nécessite pas de structure de préférence numérique. Plus formellement, une allocation A ∈ A est Pareto optimal si :

∄A′ ∈ A, sw(A) < sw(A′) ∀i ∈ P, u_i(A) ≤ u_i(A′).

L’optimalité de Lorenz (Moulin, 1988) est une notion combinant les aspects utilitaires et égalitaires du bien-être social. L’idée est de favoriser les allocations augmentant le bien-être utilitaire sans pour autant diminuer le bien-être égalitaire.

Des études théoriques focalisant sur ses notions ainsi que sur les propriétés des allocations ont été réalisées (Chevaleyre et al, 2007, 2009; Endriss et al, 2006). En dépit de leur intérêt, nous n’étudierons pas ces notions dans cette thèse. Ainsi, seules les quatre principales notions de bien-être seront considérées : le bien-être utilitaire, le bien-être égalitaire, le produit de Nash et le bien-être élitiste.

Impact sur la distribution des ressources

Les quatre principales notions de bien-être ont des impacts différents sur la distribution des ressources. En effet, l’usage d’une notion de bien-être spécifique peut avoir des effets indésirables selon le contexte d’application.

Exemple A.9 Considérons une population de 3 agents P = {1, 2, 3} ainsi qu’un ensemble de 6

ressources R = {r₁, r₂, r₃, r₄, r₅, r₆}. Le tableau A.2 décrit les préférences des agents.

Table A.2: Impact du bien-être social - Préférences des agents Population P _r ^{Ressources R}

1 r2 r3 r₄ r5 r6

1 10 7 10 9 2 1

2 6 10 3 4 8 6