Les techniques centralisées

Le tableau A.3 contient les valeurs sociales optimales ainsi qu’une allocation correspondante selon la notion de bien-être que l’on considère. Les distributions des ressources sont ensuite discutées.

Table A.3: Exemple d’allocation optimal pour tous les bien-êtres. Bien-être social Valeur Allocation de ressources

sw_u 53 [{r₁, r3, r₄}{r2, r5, r6}{}]

sw_e 8 [{r₁}{r₅}{r₂, r₃, r₄, r₆}]

swn 1800 [{r1, r3}{r2, r5}{r4, r6}]

sw_eℓ 39 [{r₁, r2, r3, r₄r5, r6}{}{}]

L’utilisation du bien-être utilitaire nous donne une allocation dans laquelle un agent, l’agent

3, n’obtient aucune ressource. En effet, certains agents peuvent être complètement négligés si,

pour chaque ressource, il existe un autre agent qui lui associe une valeur d’utilité plus importante. Une telle situation pourrait être problématique.

Lorsque le bien-être égalitaire est utilisé, tous les agents obtiennent au moins une ressource. Donc, si le nombre total de ressources est supérieur au nombre d’agents, (n < m), aucun agent ne sera laissé de coté. En revanche, la répartition des ressources peut être très inégale. Un agent

qui a des préférences faibles, comme l’agent3, drainera les ressources de la société. De tels agents

pourront obtenir la plupart des ressources pour compenser la faiblesse de leur préférences. L’utilisation du bien-être de Nash permet de ne négliger aucun agent : tous obtiendront au moins une ressource comme dans le cas d’une société égalitaire. Mais la répartition des ressources sera plus équilibrée et le phénomène de drainage des ressources sera évité. Néanmoins, ce bien-être ne peut bien-être considéré que si les utilités sont toutes positives.

Quand on considère le bien-être élitiste, seul un agent n’est pas négligé et obtient toutes les ressources (si les utilités sont toutes positives). Cette notion est principalement utilisée lorsqu’il est important qu’une tâche soit accomplie, peu importe qui le fait.

Notons finalement que les valeurs obtenues avec les différents bien-être sociaux sont très différentes. Toute comparaison est cependant vide de sens puisque les différentes notions de bien-être sont utilisées dans des buts différents. Le choix de l’une d’elles dépend principalement du contexte d’application.

A.2 Les techniques centralisées

Les problèmes d’allocation de ressources peuvent être bien sûr résolus par des tech-niques centralisées. Ces techtech-niques considèrent les problèmes d’allocation de ressources comme des problèmes d’optimisation. Elles sont parfaitement adaptées à la résolution de certaines familles d’applications, mais pas pour toutes. En effet, les hypothèses sur lesquelles ces techniques sont basées, ne sont pas toujours satisfaites. Ces hypothèses sont décrites dans cette section. Les caractéristiques des applications qui ne sont pas adaptées à ces techniques de résolution sont présentées. Nous décrivons finalement une famille d’applications pour laquelle ces techniques centralisées sont très efficaces.

A.2.1 Description

Toutes les techniques centralisées sont basées sur le même principe. Le processus de résolution peut être décomposé en plusieurs étapes, comme décrit dans la figure 1.2 : la collecte d’informations, les calculs, et la notification du résultat à tous les agents.

0 1 2 Central entity u₀, {,,} u₁, {♣,!} u₂, {, ♠}

1: Collecte d’informations 2: Calculs

Entité centrale ¹ 0 2 {, ♣} {!,} {, ♠, }

3: Allocation des ressources Figure A.2: Principes des techniques centralisées

D’abord, tous les agents de la population doivent envoyer leurs informations privées à l’entité centrale, c’est-à-dire leur préférences et la liste des ressources qu’ils possèdent. L’entité centrale peut aussi bien être un agent ou une entité extérieure au système. Cette entité peut être considérée comme omnisciente puisqu’elle rassemble toutes les informations : elle connaîtra les préférences de tous les agents et la liste complète de toutes les ressources disponibles dans le système. Selon l’objectif social considéré, l’entité centrale détermine une allocation maximisant cet objectif. Finalement, une fois les calculs achevés, il notifie le résultat aux agents et leur distribue les ressources en conséquence. Notons que ces techniques ne considèrent pas que les ressources sont initialement allouées aux agents du système, ils supposent seulement qu’elles sont disponibles, libres de toutes contraintes, et déterminent une allocation optimale.

Les problèmes d’allocations de ressources sont bien souvent assimilés à des prob-lèmes d’optimisation, qui sont efficaces pour certaines classes d’application seulement. Puisque l’espace des solutions est fini d’après la propriété 1.2, une méthode de réso-lution exacte existe toujours. En effet, l’énumération explicite de toutes les soréso-lutions possibles en gardant la meilleure est toujours possible. Mais la taille exponentielle de l’espace de recherche rend cette méthode complètement inutilisable en pratique. D’autres limitations existent et sont décrites dans la section suivante.

A.2.2 Cas limites

Les processus de résolution centralisés ne sont efficaces que pour certaines familles d’applications, qui ont des caractéristiques spécifiques. Cette section décrit les carac-téristiques rendant les techniques centralisées peu efficaces voire inutilisable.

Les applications dynamiques ne peuvent être résolues efficacement de manière centralisée. En effet, les données évoluent continuellement et les techniques centralisées ne peuvent prendre en compte ces évolutions. Pour intégrer les nouvelles données, un nouveau processus de résolution est nécessaire : l’évolution continuelle des données ne peut être gérée efficacement. Un processus de résolution adaptatif est nécessaire dans le cadre d’applications dynamiques. Par exemple, dans les réseaux pair-à-pair avec les applications de partage de fichiers (Deshpande and Venkatasubramanian, 2004; Ge et al, 2003), les agents entrent et sortent du système en permanence avec leurs fichiers. Ainsi, les techniques centralisées ne sont pas adaptées à la résolution de problèmes dynamiques. Nous considérons qu’une application est dynamique lorsque son temps de résolution est supérieure au temps entre deux évolutions des données.

A.2. Les techniques centralisées 171

population et selon le nombre total de ressources disponibles dans le système. En effet, le nombre de solutions possibles est exponentiel : des problèmes dit “large-échelle” ne sont pas résolvables par des techniques centralisées. Même si le processus est centralisé, les calculs peuvent être distribués. Il existe en effet des problèmes d’optimisation avec des contraintes distribuées (Petcu et al, 2006). Selon la structure du problème, la distri-bution des calculs est plus ou moins facile et efficace. Dans tous les cas, l’amélioration de calculabilité due à la simple distribution des calculs reste limitée.

Le respect de la vie privéen’est pas tellement compatible avec une technique cen-tralisée. En effet, selon le contexte d’application, les agents peuvent souhaiter garder certaines informations privées. En particulier dans les applications Internet, de plus en plus d’utilisateurs ne veulent pas que leurs informations personnelles soient divul-guées. Mais l’entité centrale doit rassembler toutes les informations pour entamer la résolution. Les notions d’égoïsme et de confidentialité doivent cependant être distin-guées. Ce n’est pas parce qu’un agent ne veut pas révéler ses informations personnelles qu’il est forcément égoïste. Les agents peuvent tout de même avoir un objectif com-mun, et donc un comportement coopératif, mais ne pas accepter pour autant de révéler toutes les informations qui leur sont relatives. En revanche, des agents égoïstes refusent généralement de partager leurs informations (Nisan, 1999; Sen, 1996). Ces deux notions ne sont donc pas équivalentes.

Les possibilités de communication. Les techniques centralisées fournissent une solution mais ne s’intéresse pas à la manière de l’atteindre en pratique. Elles supposent que la solution est toujours atteignable par une séquence de transactions. Une telle séquence peut toujours être identifiée de manière centralisée, mais la calculabilité est extrêmement restreinte même sur de petits jeux de données. Les techniques centralisées supposent de manière implicite que les agents peuvent toujours communiquer avec tous les autres agents de la société. Cette hypothèse n’est pas plausible pour la plupart des applications. En général, dans une application s’appuie sur une communauté, un agent ne connaît qu’un nombre très limité d’agents avec qui il lui est possible de communiquer. Par exemple, dans un réseau pair-à-pair, un pair spécifique ne connaît qu’un sous-ensemble très restreint de l’ensemble des pairs du système. Les techniques centralisées ne s’intéressent pas à la manière dont l’allocation optimale est atteinte en pratique. Supposer que les possibilités de communication sont totales revient à supposer que les ressources peuvent circuler sans restriction du panier de ressources initiale à celui de son détenteur final. Dès que les possibilités de communication sont restreintes, les solutions fournies par les techniques centralisées ne sont plus forcément atteignables. Une séquence de transactions menant à une allocation optimale n’est pas identifiable par une technique centralisée en un temps raisonnable. Lorsque les communications sont restreintes, il n’existe pas de test simple permettant de déterminer si une telle séquence existe. La complexité d’un tel problème est exponentiellement plus importante que celle d’un simple problème d’allocations.

A.2.3 Une application adaptée : les enchères combinatoires

Les méthodes centralisées sont très efficaces pour certaines classes de problèmes. En effet, une des applications les plus populaires en économie peut être résolues par des techniques centralisées. Les problèmes d’enchères combinatoires ont été largement étudiées (Bellosta et al, 2006; Boutilier et al, 1999; Cramton et al, 2006; De Vries and Vohra, 2003; Nisan, 2000; Sandholm, 2002). Plusieurs types d’enchères existent et différents modèles peuvent être utilisés pour les résoudre.

La structure des problèmes d’enchères convient parfaitement aux techniques cen-tralisées. En effet, les agents sont les clients des enchères. En pratique, les clients com-muniquent leurs préférences à un commissaire-priseur, qui représente l’entité centrale. Il peut alors déterminer une solution optimale et allouer les ressources en conséquence. Plusieurs types d’enchères existent (Krishna, 2002) : les enchères anglaises, les enchères hollandaises, les enchères de Vickrey, . . . Ces types d’enchères sont les plus importantes mais beaucoup d’autres existent. Chacune requiert un modèle spécifique pour être résolue efficacement. Cette famille d’application est très riche et beaucoup reste à faire (Lehmann et al, 2006; Sandholm, 2002).

En général, les techniques centralisées sont efficaces quand les applications ont des propriétés adaptées. Toute application statique où les relations entre les agents n’ont pas d’importance peut être résolue en les utilisant. Si aucune notion de vie privée n’est requise ou si nous sommes juste intéressés par l’allocation elle-même et non pas sur la manière de l’obtenir, les techniques de résolution centralisées sont privilégiées.