Théorème de Witt

. (22)

On a alors

Sp_2ν(K)={U∈GL_2ν(K)|^tUJ_2νU=J_2ν}. (23) Décomposant la matrice par blocs,

U= µA B

C D

¶ , il vient U∈Sp_2ν(K) si et seulement si

tAC=^tCA, ^tBD=^tDB, ^tAD−^tCB=I_ν. (24)

En particulier, on a Sp₂(K)=SL₂(K). On a en fait l’inclusion Sp_2ν(K)⊆SL_2ν(K)

pour toutνÊ1, mais elle n’est pas facile à démontrer (cor. 7.2 et cor. III.4.8).

5. Théorème de Witt

Le théorème de Witt est un théorème de prolongement des isométries. Il est essentiel dans la théorie.

Théorème 5.1(Witt). — Soient (V,b) et(V⁰,b⁰) des espaces isométriques non dégénérés.

SoitWun sous-espace deVet soit u: W→V⁰une isométrie. Il existe une isométrie v: V→V⁰ telle que v|W=u.

Commeno¸ns par le cas simple où W est de dimension 1, engendré par un vecteurx.

Le vecteury:=u(x) vérifieb(x,x)=b(y,y) et il s’agit de trouver une isométrievtelle que v(x)=y. Pour résoudre ce problème, nous aurons besoin de la construction suivante.

5. THÉORÈME DE WITT 71

Exemple 5.2(Réflexions). — Sib(x,x)6=0 (en particulier,b est symétrique), on a V= x^⊥⊕Kxet laréflexion(ou symétrie hyperplane) par rapport àx^⊥est l’endomorphismesx

de V de valeurs propres 1 et−1 sur cette décomposition. Il s’agit manifestement d’une isométrie, donnée explicitement par la formule

s_x(y)=y−2b(x,y) b(x,x)x.

Sib(x,x)=b(y,y)6=0 et qu’on note la forme quadratique associée f, le théorème de Witt résulte alors du lemme suivant.

Lemme 5.3. — Si f(x)=f(y)6=0, il existe une isométrie v telle que v(x)=y.

Démonstration. — Def(x+y)+f(x−y)=2(f(x)+f(y))=4f(x), on déduit que l’un au moins des vecteursx+y etx−yest non isotrope, disons par exemplex+y. Alors la ré-flexion par rapport à (x+y)^⊥envoiexsur−y, et on la compose par−Id.

Le deuxième cas qu’on va traiter est celui d’un espace W totalement isotrope (c’est-à-dire tel queb|W≡0). On construit pour cela un espace hyperbolique contenant W.

Lemme 5.4. — SoitVun espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire symétrique ou alter-née non dégénérée, soitWun sous-espace vectoriel totalement isotrope deVet soit(e1, . . . ,er) une base deW. Il existe(e⁰₁, . . . ,e⁰_r)dansVtels que

— chaquePi:= 〈e_i,e⁰_i〉est un plan hyperbolique ;

— P₁, . . . , P_rsont en somme directe orthogonale.

En outre, toute isométrieW→V⁰se prolonge en une isométrieP₁⊕ · · ·^⊥ ⊕^⊥P_r→V⁰.

Démonstration. — Le casr=1 est le lemme 4.9. On raisonne ensuite par récurrence surr.

Posons W₁= 〈e₂, . . . ,e_r〉.

L’hyperplane^⊥₁ contiente₁ et W₁; soit V₁un supplémentaire de e₁ danse^⊥₁ conte-nant W₁. La restriction debà V₁est non dégénérée ; on applique l’hypothèse de récur-rence à son sous-espace totalement isotrope W₁et il existe donc des plans hyperboliques P₂, . . . , P_r dans V₁avec les propriétés du lemme. La somme directe P₂⊕· · ·^{⊥ ⊥}⊕P_rest alors or-thogonale àe₁et la restriction deby est non dégénérée. Son orthogonal contient donce₁ et la restriction deby est aussi non dégénérée. On peut y appliquer le lemme 4.9 au vec-teure₁: il existee₁⁰ orthogonal à P₂⊕ · · ·^⊥ ⊕^⊥P_r et formant avece₁un plan hyperbolique.

L’extension d’une isométrie u: W → V⁰ se montre en étendant im(u) dans V⁰ de la même manière que W : comme b est non dégénérée, u est injective et u(W) =

〈u(e₁), . . . ,u(er)〉 est un sous-espace totalement isotrope de V⁰; on construit alors des plans hyperboliques〈u(ei),e_i⁰⁰〉et on prolongeuen envoyant chaquee⁰_isure⁰⁰_i.

Démonstration du th. 5.1. — On commence par étendre u à un sous-espace ¯W de V contenant W sur laquelle la formebest non dégénérée.

Soit W⁰un supplémentaire de W∩W^⊥dans W. La restriction debà W⁰est non dégéné-rée, donc aussi la restriction debà W^0⊥. Ce dernier espace contient le sous-espace vecto-riel totalement isotrope W∩W^⊥. Par le lemme 5.4, on peut donc étendreu|W^0⊥à un sous-espace hyperbolique H de W^0⊥(sur laquellebest non dégénérée). On a ainsi étenduuen ¯u

au sous-espace ¯W :=H^⊥⊕W⁰, sur lequelbest non dégénérée. Remarquons que la restriction deb⁰àu( ¯W) est aussi non dégénérée.

Sibest alternée, les restrictions (non dégénérées) debà ¯W^⊥ et deb⁰à ¯u( ¯W)^⊥ sont équivalentes (à isométrie près, il n’y a qu’une seule forme alternée non dégénérée sur un espace vectoriel de dimension paire). On a ainsi étenduuà ¯W⊕^⊥W¯^⊥=V.

Supposons doncbsymétrique. De plus, comme (V,b) et (V⁰,b⁰) sont isométriques, on peut les supposer égaux. Le cas dim( ¯W)=1 est alors fourni par le lemme 5.3.

On raisonne alors par récurrence sur dim( ¯W). Si dim( ¯W)Ê2, on écrit ¯W=W1

⊕⊥W2, avec W1et W2non nuls, où la restriction debà W1et à W2est non dégénérée (cf.§ 4.2).

Par l’hypothèse de récurrence,u|W₁se prolonge en une isométriev₁de V, qui induit par restriction une isométriev1|_W⊥

1 : W₁^⊥→^∼u(W1)^⊥. On applique alors à nouveau l’hypothèse de récurrence àu|W2: W₂→u(W₁)^⊥pour le prolonger en une isométriev₂: W₁^⊥→^∼u(W₁)^⊥. On prend alorsv=u|W1⊕v₂: W₁⊕W₁^⊥→u(W₁)⊕u(W₁)^⊥.

Corollaire 5.5. — 1° Si W et W⁰ sont des sous-espaces isométriques de V, les sous-espacesW^⊥etW^0⊥sont isométriques.

2° Tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimensionν, appelée l’indice de b.

3° Tous les sous-espaces hyperboliques maximaux ont même dimension2ν.

4° SiHest un sous-espace hyperbolique maximal, on peut écrireV=H⊕^⊥W, avecWsans vecteur isotrope non nul (West anisotrope).

On notera qu’au vu de 3°, on aνɹ₂dim(V).

D’autre part, dans le cas alterné, le corollaire résulte de la classification des formes al-ternées non dégénéréees ; on aν=¹₂dim(V) et l’espace anisotrope W du 4° est nul.

Démonstration. — Le 1° résulte du théorème de Witt.

On prouve le 2°. Si W et W⁰sont totalement isotropes et dim(W)Édim(W⁰), n’importe quelle application linéaire injectiveu: W→W⁰ est une isométrie, donc s’étend en une isométrievde V. Alors W est contenu dansv⁻¹(W⁰), qui est aussi totalement isotrope. Il en résulte que tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont même dimension.

Tout sous-espace hyperbolique contient un sous-espace totalement isotrope de di-mension moitié, et inversement, comme on l’a vu dans le lemme 5.4, tout sous-espace totalement isotrope est contenu dans un sous-espace hyperbolique de dimension double.

Le 3° résulte donc du 2°.

Le 4° a déjà été vu dans le § 4.4.

Exemples 5.6. — 1° SiKest un corps quadratiquement clos, une forme quadratique non dégénérée de dimensionnest d’indicebn/2c(ex. 4.10.1°).

2° Dans le cas d’une forme quadratique non dégénérée surRⁿ, de signature (s,t=n−s), on voit que l’indice est inf(s,t) (ex. 4.10.2°), donc la signature est bien un invariant de la forme quadratique.

3° Dans le cas d’un corps finiFq(de caractéristique différente de 2), rappelons que les formes quadratiques sont de deux types :

〈1, . . . , 1〉 et 〈1, . . . , 1,α〉,