Algèbre extérieure

On a introduit dans la section précédente l’algèbre tensorielle TV=LT^dV, où T^dV est canoniquement le dual de Mult^d(V^d,K) (les formesd-linéaires sur V). Dans cette sec-tion, nous faisons une construction analogue pour l’espace vectoriel Alt^d(V) desformes d -linéaires alternéessur V, c’est-à-dire satisfaisanta(v₁, . . . ,v_d)=0 dès qu’au moins deux des vecteursv₁, . . . ,v_dsont égaux.

L’algèbre extérieureVV, avec une inclusionι: V,→VV, sera la solution du problème universel pour les applications linéairesf: V→A de V vers une algèbre avec unité A, sa-tisfaisant l’identité

f(v)²=0. (36)

Compte tenu de la propriété universelle de l’algèbre TV, l’injectionι doit se factoriser via TV ; en même temps, comme dans les cas précédents, VV sera engendrée par les images des tenseurs décomposables. Il est donc légitime de chercherVV comme quotient de TV, sous la forme⁽²⁾

VV :=TV/I.

Il faut mettre dans l’idéal I tout ce dont on a besoin pour factoriser les applications satisfaisant (36). Les éléments de la formev⊗v, pourv∈V sont de ce type, puisqu’ils sont envoyés sur 0. Il est alors naturel de définir I⊆TV comme l’idéal bilatère engendré par les éléments de typev⊗v, pourv∈V, c’est-à-dire l’ensemble des sommes finies d’éléments de TV du type

a⊗v⊗v⊗b, pourv∈V eta,b∈TV, et l’algèbre extérieurepar

VV=TV/I.

La composition V,→TV→TV/I fournit l’applicationι: V→VV.

Proposition 3.1. — L’algèbre extérieure satisfait la propriété universelle suivante : si f: V→Aest une application linéaire vers une algèbre avec unité, telle que f(v)²=0pour tout v, alors f se factorise de manière unique en f =fˆ◦ι, oùfˆ:VV→Aest un morphisme d’algèbres :

V A

VV.

f

ι fˆ

2. Comme pour les anneaux, on peut définir le quotient d’une algèbre A par un idéal bilatère I, c’est-à-dire un sous-espace vectoriel I⊆A satisfaisant AI⊆I et IA⊆I. On forme alors le quotient comme espace vectoriel A/I et les propriétés AI⊆I et IA⊆A sont exactement ce qu’il faut pour que la multiplication passe au quotient.

3. ALGÈBRE EXTÉRIEURE 109

Démonstration. — Par la propriété universelle de TV (prop. 2.2), on a une factorisation def par une application linéaireg: TV→A. Puisqueg(v⊗v)=f(v)²=0, l’applicationg s’annule sur l’idéal I donc g passe au quotient pour fournir un morphisme d’algèbres fˆ:VV=TV/I→A. Il est manifestement unique puisqueVV est engendré par les tenseurs décomposables. La démonstration se résume ainsi par le diagramme

V A

TV

VV.

f

ι

g

fˆ

Comme conséquence de la prop. 3.1 ou du même énoncé pour le produit tensoriel, on obtient le résultat suivant.

Proposition 3.2. — Si f: V→West une application linéaire, elle induit un morphisme d’algèbresVf:VV→VWtel queιW◦f =Vf◦ιV. En outre,V(f ◦g)=Vf◦Vg .

Décrivons maintenant de manière plus concrète l’algèbreVV. Pour cela, remarquons que I est unidéal homogènede TV, c’est-à-dire qu’on a

I=M

d

(I∩T^dV).

En effet, un élément de I est une somme finie d’éléments de typea⊗v⊗v⊗b, poura,b∈TV etv∈V. En écrivantaetbcomme somme d’éléments homogènes, on voit que chaque a⊗v⊗v⊗best somme d’éléments homogènes qui sont dans I⁽³⁾.

Il en résulte que le quotientVV=TV/I est encore une algèbre graduée : VV=L

dT^dV/(T^dV∩I)=:L

dVdV, oùVdV est appelée lapuissance extérieure d -ièmede V.

Puisque l’idéal I est engendré par les élémentsv⊗v, il ne rencontre T⁰V et T¹V=V qu’en 0, donc

V0V=K, V1V=V et le morphismeι: V→VV est une injection.

Le produit dansVV est appeléproduit extérieuret noté∧. LeK-espace vectorielVV est engendré par lesv₁∧ · · · ∧v_d pourd∈Netv₁, . . . ,v_d∈V. Le fait que l’algèbreVV soit graduée s’écrit

VdV∧VeV⊆V_d+eV.

3. Plus généralement, un idéal d’une algèbre graduée qui est engendré par des éléments homogènes (comme c’est le cas pour I) est homogène.

Sif: V→W est une application linéaire, il s’ensuit qu’on a Vf =L

dVdf, avecVdf:VdV−→VdW.

Proposition 3.3. — L’application d -linéaire V^d−→VdV (v₁, . . . ,v_d)7−→v₁∧ · · · ∧v_d

est alternée. En particulier, elle est antisymétrique : pour toutσ∈S_det v₁, . . . ,v_d∈V, on a v_σ(1)∧ · · · ∧v_σ(d)=ε(σ)v1∧ · · · ∧v_d. (37) Démonstration. — Par définition de I et deVV, l’expressionv₁∧ · · · ∧v_dest nulle dès que deux consécutifs des vecteursv1, . . . ,v_dsont égaux. Dev∧v=w∧w=(v+w)∧(v+w)=0, on déduit l’identitéw∧v= −v∧w. Cela entraîne que la relation (37) est vérifiée lorsqueσ est une des transpositions (12), (23), . . . , ((d−1)d). Or, si cette relation est vérifiée pour des permutationsσetτet tousv₁, . . . ,v_d∈V, on a

v_τσ(1)∧ · · · ∧v_τσ(d)=ε(τ)v_σ(1)∧ · · · ∧v_σ(d)

=ε(τ)ε(σ)v₁∧ · · · ∧v_d,

c’est-à-dire qu’elle est vérifiée pour le produitτσ. Comme les transpositions (12), (23), . . . , ((d−1)d) engendrentS_d(ex. I.1.8.2°), cela démontre (37).

Si deux des vecteursv₁, . . . ,v_dsont égaux, on se ramène par une permutation adéquate au cas où ils sont consécutifs, d’où on déduit (en utilisant (37))v₁∧ · · · ∧v_d=0 ; l’applica-tion (v₁, . . . ,v_d)7→v₁∧ · · · ∧v_dest donc bien alternée.

Proposition 3.4. — L’algèbre graduéeVVestanticommutative, c’est-à-dire que siα∈VdV etβ∈VeV, on aβ∧α=(−1)^{d e}α∧β.

Démonstration. — Il suffit de le montrer lorsqueαetβsont des produits extérieurs d’élé-ments de V. Cela se déduit de l’identitéw∧v= −v∧w.

Proposition 3.5(Propriétés deVdV). — 1° L’application d -linéaire alternée V^d−→VdV

(v1, . . . ,v_d)7−→v1∧ · · · ∧v_d

satisfait la propriété universelle suivante : si on a une application d -linéaire alternée a: V^d→E, il existe une unique application linéaireaˆ:VdV→Etelle que le diagramme

V^d E

VdV

a

ˆ a

soit commutatif. En particulier,Alt^d(V)'(VdV)^∗.

2° Si(e₁, . . . ,e_n)est une base deV, alors(e_i1∧ · · · ∧e_id)_1Éi1<···<idÉnest une base deVdV.

En particulier, on aV_d

V=0pour d>n, et

dim(VdV)=¡n d

¢.

3. ALGÈBRE EXTÉRIEURE 111

3° SiVest de dimension finie n et0ÉdÉn, la forme bilinéaire VdV×Vn−dV−→VnV'K

(α,β)7−→α∧β

est non dégénérée. En particulier, on a un isomorphisme non canonique⁽⁴⁾ (VdV)^∗'V_n−dV.

4° Il existe une application bilinéaire V_d

(V^∗)×V_d V−→K

(α1∧ · · · ∧αd,v₁∧ · · · ∧v_d)7−→d´et(αi(v_j))_1Éi,jÉd

et elle est non dégénérée. SiVest de dimension finie, on en déduit un isomorphisme cano-nique

Vd(V^∗)'¡VdV¢_∗ .

5° SiVest de dimension finie n, on adim(VnV)=1par le point 2°. Si u∈End(V), l’endo-morphismeVnu deVnVest donc la multiplication par un scalaire, qui estd´et(u).

Le point 4° est utile notamment en géométrie différentielle : les applications deRⁿ dansVd(Rⁿ)^∗sont en effet lesd-formes différentielles surRⁿ.

Démonstration. — 1° Par la propriété universelle de T^dV, l’applicationd-linéairease fac-torise ena=g◦i, oùg∈Hom(T^dV, E) etiest l’applicationd-linéaire canonique V^d→T^dV.

Mais, parce queaest alternée,gs’annule sur I∩T^dV, donc se factorise à travers le quo-tientVdV en une application linéaire ˆa∈Hom(VdV, E). L’unicité de ˆaprovient du fait que VdV est engendré par lesv₁∧ · · · ∧v_d.

2° et 3° Par (37), les (e_i1∧ · · · ∧e_id)_1Éi1<···<idÉn engendrentVdV et il reste à voir qu’ils sont linéairement indépendants. C’est le cas lorsqued=n : il existe en effet une forme n-linéaire alternée non nulle, à savoir le déterminant (dans une base donnée), doncVnV n’est pas nul. Comme il est engendré pare₁∧ · · · ∧e_n, il est de dimension 1 et ce vecteur n’est pas nul.

Fixons 1Éj₁< · · · <j_n−dÉn; le seul cas où le produit extérieur dee_i1∧ · · · ∧e_id avec e_j1∧· · ·∧e_jn−dest non nul est lorsque {j₁, . . . ,j_n−d} est le complémentaire de {i₁, . . . ,i_d} dans {1, . . . ,n}. On en déduit que les (e_i1∧ · · · ∧e_id)_1Éi1<···<idÉnsont linéairement indépendants, ce qui montre le point 2°, ainsi que le point 3°.

4° Compte tenu des propriétés d’antisymétrie du déterminant, la formule proposée est alternée en lesαi et en lesv_j et fournit donc bien une application bilinéaireb:Vd(V^∗)× VdV→K. Si (e_i) est une base de V et (eⁱ) la base duale, et que 1Éi₁< · · · <i_d Én et 1Éj₁< · · · <j_dÉn, on ab(eⁱ¹∧ · · · ∧e^id,e_j1∧ · · · ∧e_jd)=1 ou 0 suivant quei_k=j_kpour toutkou non. Ainsi la formebest non dégénérée et on obtient une dualité dans laquelle (eⁱ¹∧ · · · ∧e^id)_1Éi1<···<idÉnest la base duale de (e_i1∧ · · · ∧e_id)_1Éi1<···<idÉn.

5° On aVnu(e₁∧ · · · ∧e_n)=u(e₁)∧ · · · ∧u(e_n)=(P

iu_i1e_i)∧ · · · ∧(P

iu_{i n}e_i)=d´et(u)e₁∧

· · · ∧e_naprès développement.

4. Il dépend du choix d’un isomorphismeVnV'K. L’isomorphismeVnV⊗(VdV)^∗'V_n−dV est lui canonique (l’espace vectorielVnV est de dimension 1, mais n’est pas canoniquement isomorphe àK).

Remarque 3.6(Produit vectoriel). — Vous avez peut-être déjà rencontré le produit vec-toriel de deux vecteurs dans l’espace vecvec-toriel euclidien orientéR³, ou plus généralement le produit vectoriel den−1 vecteurs dans l’espace vectoriel euclidien orienté V=Rⁿ, qu’on notev₁∧ · · · ∧v_n−1en France, maisv₁× · · · ×v_n−1dans le monde anglo-saxon ; adoptons cette dernière notation pour faire la différence avec le produit extérieur. Ce vecteur est défini par la propriété

∀v∈V 〈v₁× · · · ×v_n−1,v〉 =d´et(v₁, . . . ,v_n−1,v),

le déterminant étant pris dans une base orthonormale directe (il ne dépend alors pas du choix de cette base).

D’autre part, le produit extérieur desnvecteurs d’une telle base fournissent un géné-rateur canonique deVnV donc, par prop. 3.5.4° (et surtout la note 4), un isomorphisme canoniqueV_n−1V'V^∗. Si on le compose avec l’isomorphisme V^∗'V donné par le pro-duit scalaire, on peut voir l’élémentv₁∧ · · · ∧v_n−1deV_n−1V comme un élément de V. Le lecteur vérifiera que ce n’est autre que le produit vectorielv₁× · · · ×v_n−1.

Exemple 3.7(Grassmanniennes). — Soit V un espace vectoriel de dimension n. Pour tout sous-espace vectoriel W⊆V de dimensiond, la droite vectorielleVdW est un sous-espace vectoriel deVdV engendré par un tenseur décomposable. On peut donc la consi-dérer comme un point de l’espace projectifP(VdV). Inversement, tout point deP(VdV) qui correspond à une droite engendrée par un tenseur décomposable (non nul)v₁∧ · · · ∧v_d définit un sous-espace vectoriel W⊆V de dimensiond, à savoir〈v₁, . . . ,v_d〉.

On a ainsi identifié l’ensemble des sous-espaces vectoriels de V de dimension fixéedà un sous-ensemble (dit « grassmannienne ») de l’espace projectifP(VdV) ; on le note G(d, V) (lorsqued=1, ce n’est autre que l’espace projectifP(V) !).

LorsqueK=R, c’est une variété différentiable de dimensiond(n−d).

Exercice 3.8. — a) Montrer que dansP(V2K⁴), la grassmannienne G(2,K⁴) est la quadrique projective définie par l’« équation »ω∧ω=0.

b) Montrer que toute grassmannienne G(d, V)⊆P(V_d

V) est intersection de quadriques pro-jectives.

Exercice 3.9. — SoitKun corps et soit V unK-espace vectoriel de dimensionn. On a défini (prop. 3.2) un morphisme de groupes

φGL: GL(V)−→GL¡V2V¢ u7−→V2u.

a) Déterminer le noyau deφGL(Indication :on pourra distinguer le casn=2).

b) SoitB=(e₁, . . . ,en) une base de V. Soit a∈Ket soitul’endomorphisme de V défini paru(e_i)=e_i+aδ1ie₂, pour touti∈{1, . . . ,n}. Calculer d´et¡V2u¢

.

c) Exprimer d´et(V2u) en fonction de d´et(u) (Indication : on pourra commencer par le cas d´et(u)=1).

d) Pour tout entierdÊ0, exprimer d´et(V_d

u) en fonction de d´et(u).

3.1. Tenseurs antisymétriques. — Supposons car(K)=0. Dans ce cas, on peut réali-serVdV comme sous-espace vectoriel de T^dV de la manière suivante. Chaqueσ∈S_d

3. ALGÈBRE EXTÉRIEURE 113

induit un endomorphismeK-linéaire ¯σde T^dV défini sur les tenseurs décomposables par σ¯(v₁⊗ · · · ⊗v_d)=v_σ(1)⊗ · · · ⊗v_σ(d).

Un tenseurt∈T^dV est ditantisymétriquesi ¯σ(t)=ε(σ)tpour toute permutationσ∈S_d. On noteraa^dV⊆T^dV le sous-espace vectoriel des tenseurs antisymétriques.

Considérons l’application linéaire d’antisymétrisation

Proposition 3.10. — L’application linéaire p est un projecteur (p²=p), de noyauI∩T^dV et d’image a^dV. Elle induit donc un isomorphisme a^dV'VdV.

L’image depest donc contenue dansa^dV.

Sit∈a^dV, on ap(t)=_d!¹P

σ∈S_dε(σ)ε(σ)t=t. Doncpest l’identité sura^dV etp²=p: c’est un projecteur d’imagea^dV.

Montrons maintenant que I∩T^dV est contenu dans le noyau dep. L’espace vectoriel I∩T^dV est engendré par lest=v₁⊗ · · · ⊗v_d, oùv_i =v_i+1pour uni ∈{1, . . . ,d−1}. Pre-nons pourτla transposition (i i+1). On a alors ¯τ(t)=t, donc, par (38),p(t)=p(¯τ(t))= ε(τ)p(t)= −p(t). Comme on est en caractéristique nulle, on a bienp(t)=0.

L’applicationpse factorise ainsi en une application linéaire surjective ˆp:VdV^adV. A priori, cette formule ne définit Pf(A) que si car(K)=0. Néanmoins, en développantρ(A)ⁿ, on s’aperçoit que, pour car(K)=0, le pfaffien Pf(A) est un polynôme en les coefficients de la matrice A, indépendant deK, à coefficients entiers :

Pf∈Z[a_{i j}]. (40)

Pour un corpsKquelconque, on utilise le morphisme d’anneaux canoniqueφ:Z→Kpour définir à partir de (40) le pfaffien Pf∈K[a_{i j}].

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