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Orthogonalité

Dans le document ALGÈBRE 1 (Page 64-70)

II. Groupes classiques

4. Orthogonalité

Dans la suite,bdésignera une forme bilinéairesymétrique ou alternéesur un espace vectoriel Vde dimension finiesur un corpsKde caractéristique6=2.

4.1. Définition. — On dit que des vecteursxetysontorthogonauxsib(x,y)=0 ; vu les propriétés deb, c’est la même chose que de demanderb(y,x)=0 : c’est donc une relation symétrique. L’orthogonald’une partie W de V est le sous-espace vectoriel, noté W, des vecteurs de V orthogonaux à tous les éléments de W. On a par exemple ker(b)=V. Proposition 4.1. — Si b estnon dégénéréeet queWest un sous-espace vectoriel deV, on a

dim(W)+dim(W)=dim(V).

En particulier, siW∩W=0(ce qui est équivalent à b|Wnon dégénérée),V=W⊕W. Démonstration. — L’application linéairer: V→Wde restriction des formes linéaires est surjective, donc la composée

rbˆ: V−→W x7−→b(x,·)

est linéaire surjective. Or ker(r◦b)ˆ =W, d’où la formule sur la dimension en écrivant que la dimension de V est la somme des dimensions du noyau et de l’image derb.ˆ

Voici quelques formules sur l’orthogonal (la seconde est vraie aussi en dimension infi-nie) :

(W)=W, (W+W0)=W∩W0⊥, (W∩W0)=W+W0⊥.

On dit qu’un vecteurx∈V estisotropesib(x,x)=0, c’est-à-dire sixx. On dit aussi que la droiteKxest isotrope.

Un sous-espace vectoriel W⊆V esttotalement isotropesib|W=0, ce qui est équivalent à W⊆W.

Exemple 4.2. — Comme on l’a vu dans le § 3.2, une forme quadratiquef surKn+1définit une quadrique projective ¯Q⊆Pn(K). Les points de Q sont en bijection avec les droites vectorielles D⊆Kn+1isotropes pourf.

SiK=R, l’orthogonal Dcorrespond à l’espace tangent à ¯Q en ce point ; cela résute de la formule

d f(x)(y)=2b(x,y)

donnant la différentielle de f en x, obtenue en différentiant la formule de polarisa-tion (20).

Dans l’ex. 3.1 de la conique Q d’équationx12x22+2x2+1=0 dansK2, si (a1,a2) est un point de Q, la droiteR(1,a1,a2) est isotrope pourf (elle définit un point de ¯Q) et son orthogonal pourf est défini par

a1x1a2x2+x2+a2x0+x0=0.

La droite tangente à Q en (a1,a2) a donc pour équation affinea1x1a2x2+x2+a2+1=0.

4. ORTHOGONALITÉ 65

4.2. Décomposition en somme directe orthogonale : cas d’un vecteur non isotrope. — Si la forme symétriquebn’est pas nulle, il résulte de la formule (20) qu’il existe un vec-teur non isotropex. Dans ce cas, on aKxx=0 donc V=Kxx. Par récurrence sur la dimension, en considérant la restriction debàx, on obtient l’existence d’unebase or-thogonale(e1, . . . ,en), c’est-à-dire satisfaisantb(ei,ej)=0 sii6=j. Posantαi=b(ei,ei), on obtient

f(x1, . . . ,xn)=α1x21+ · · · +αrx2r, (21) avec 0ÉrÉnetα1, . . . ,αrnon nuls ; c’est laréduction de Gaussde la forme quadratiquef. L’entierrne dépend que de la formef car c’est son rang.

Dans la base (a1e1, . . . ,anen), où aiK×, les coefficients αi deviennent αiai2. Si α1, . . . ,αn sont des scalaires non nuls, il est d’usage de noter la forme quadratique non dégénérée (x1, . . . ,xn)7→α1x12+ · · · +αnx2nsurKnpar le symbole

〈α1, . . . ,αn

et l’isométrie entre deux telles formes par le symbole '. Pour tous scalaires non nuls a1, . . . ,an, on a donc

〈α1, . . . ,αn〉 ' 〈a12α1, . . . ,a2nαn〉.

En d’autres termes, on peut considérer que les αi sont dans K×/K×2. On a l’égalité disc(〈α1, . . . ,αn〉)=α1· · ·αn.

Le problème de la classification des formes quadratiques est de savoir quand des formes〈α1, . . . ,αn〉 et〈β1, . . . ,βn〉 sont isométriques, avecα1, . . . ,αn1, . . . ,βnK×/K×2. Une condition nécessaire est que les discriminants soient les mêmes,α1· · ·αn1· · ·βn

dansK×/K×2, mais elle n’est en général pas suffisante.

Exemples 4.3. — 1° SiKest un corps algébriquement clos (ou plus généralement siKest quadratiquement clos,c’est-à-direK=K2), on peut toujours trouveraitel queai2=1/αi. Il en résulte qu’étant donnée une forme quadratique non dégénéréef surKn, il existe une base dans laquelle elle s’écrit

f(x)=x21+ · · · +x2n.

Son groupe orthogonal (indépendant donc def) est noté On(K).

2° SiK=R, on peut toujours trouveraitel quea2i = ±1/αi. En réordonnant la base, on déduit qu’étant donnée une forme quadratique non dégénéréef surRn, il existe une base dans laquelle elle s’écrit

f(x)=x21+ · · · +x2sx2s+1− · · · −x2n.

Le couple (s,ns) est la signature def; on verra plus loin (ex. 5.6.1°) que c’est un inva-riant def. Son groupe orthogonal est noté Os,n−s(R) et on note On(R) au lieu de On,0(R).

Comme les groupes orthogonaux def et de−f sont les mêmes, on a Os,t(R)'Ot,s(R). Le discriminant est (−1)nsdonc ne suffit pas à distinguer les formes quadratiques.

3° SiK=Fq, alorsF×q/F×q2est d’ordre 2 (car,qétant impair, le noyau dex7→x2dansF×q est {±1}). Donc on peut ramener chaqueαi non nul à être égal à 1 ou àα∉F×q2. Mais on peut en fait faire mieux.

Remarque 4.4(Sommes de puissances). — Supposons K = C. La réduction de Gauss nous dit qu’on peut décomposer tout polynôme à coefficients complexes ennvariables,

homogène de degré 2, en somme de carrés d’au plus n formes linéaires. On peut se demander plus généralement si on peut décomposer un polynôme P en n variables, homogène de degréd, en somme de puissancesd-ièmes desformes linéaires

P=`d1+ · · · +`ds.

Àdfixé, c’est vrai poursassez grand. Plus exactement, Alexander et Hirschowitz ont mon-tré en 1995 que lorsquedÊ3 et que P est « général » (en un sens que je ne préciserai pas ; disons pour P choisi au hasard), on peut prendre pours le plus petit entier supérieur à

1 n

¡n+d1

d

¢, sauf si (d,n)∈{(3, 5), (4, 3), (4, 4), (4, 5)}, où il faut ajouter 1 à ce nombre (ces ex-ceptions étaient connues depuis le XX`emesiècle ; d’autre part, Sylvester avait déjà démon-tré en 1851qu’une forme cubiquegénéraleen 4 variables s’écrit comme somme des cubes de 5 formes linéaires, et ceci de façon unique).

En revanche, pour certains polynômes P, la valeur minimale des peut être bien sûr strictement inférieure à ce nombre (par exemple pour P(x)=xd1!) mais aussi, ce qui est plus surprenant, strictement supérieure. On ne sait pas déterminer la valeur minimale des pour laquelletoutpolynôme enn variables, homogène de degréd, est somme de puissancesd-ièmes desformes linéaires.

Proposition 4.5. — Étant donnée une forme quadratique f non dégénérée surFnq, il existe une base dans laquelle elle s’écrit sous l’une des deux formes suivantes :

f(x)=

(x21+ · · · +x2n−1+xn2, x21+ · · · +x2n−1x2n, αest un scalaire non nul fixé qui n’est pas un carré dansFq.

Notons que les deux formes proposées ne sont pas équivalentes, puisque leurs discri-minants sont 1 etα, qui sont différents dansF×q/F×q2. On déduit de la proposition que des formes quadratiques non dégénérées surFnqsont équivalentes si et seulement si elles ont même discriminant.

Démonstration. — Par récurrence surn. SinÊ2, on va montrer qu’il existee1tel que f(e1)=1. AlorsFnq=Ke1e1 et l’hypothèse de récurrence montre le résultat.

Écrivons f dans une base orthogonale, f(x)= Pn

i=1αixi2. Puisqu’il y a q+12 carrés dansFq (en comptant 0) et queα1α26=0, les quantitésα1x21et 1−α2x22décrivent toutes deux un ensemble àq+21éléments quandx1(resp.x2) décritFq. Puisque 2q+21>q, il existe x1,x2tels queα1x21et 1−α2x22coïncident, c’est-à-diref(x1,x2, 0, . . . , 0)=1.

On a donca priorideux groupes orthogonaux pour chaque dimension, selon que le dis-criminant de la forme est trivial ou non. Cependant les groupes orthogonaux de〈1, . . . , 1〉 et de〈α, . . . ,α〉sont les mêmes et la seconde forme est de discriminantαn.

Sin=2m+1 est impair, on a donc un seul groupe orthogonal, noté O2m+1(Fq).

Sin=2mest pair, on note les deux groupes orthogonaux O+2m(Fq) et O2m(Fq)(11)(il ressort de (29) que leurs cardinaux sont différents : ils ne sont donc pas isomorphes).

11. Plus précisément, le groupe O+2m(Fq) est le groupe d’isométries de toute forme quadratique de discrimi-nant (−1)met O2m(Fq) le groupe d’isométries de toute forme quadratique de discriminant (−1)mα.

4. ORTHOGONALITÉ 67

4° SiK=Q, on a une infinité de discriminants possibles, puisque le groupeQ×/Q×2est infini. Étant donnée une forme quadratique surQ, on peut aussi la voir comme une forme quadratique surRet considérer sa signature. Mais, même à discriminant et signature fixés, il existe encore une infinité de classes d’équivalence de formes quadratiques surQ(12).

Exercice 4.6. — SoitKun corps. Pour tousα,βdansK×tels queα+β6=0, montrer〈α,β〉 '

〈α+β,αβ(α+β)〉.

4.3. Réduction simultanée de formes quadratiques. — On a vu en (21) la réduction de Gauss d’une forme quadratiquef, c’est-à-dire son écriture

f(x1, . . . ,xn)=α1x12+ · · · +αrxr2

comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires indépendantes. En termes ma-triciels, cela veut dire qu’étant donnée une matrice symétrique M (à coefficients dans un corpsKde caractéristique6=2), il existe une matrice inversible P∈GLn(K) telle quetPMP soit une matrice diagonale (de coefficients diagonauxα1, . . . ,αr, 0, . . . , 0, oùr est le rang de M).

Étant données deux formes quadratiquesf etf0sur le mêmeK-espace vectoriel V, on peut se poser la question de savoir s’il existe une même base de V dans laquelle f etf0 s’écrivent toutes deux comme

f(x1, . . . ,xn)=α1x21+ · · · +αrx2r , f0(x1, . . . ,xn)=α01x12+ · · · +α0sx2s.

En termes matriciels, cela veut dire qu’étant données deux matrices symétriques M et M0, il existe P∈GLn(K) telle quetPMP ettPM0P soient des matrices diagonales.

Notons que si c’est le cas, toutes les formes quadratiques λf −λ0f0, pourλ,λ0K, s’écrivent aussi sous cette forme.

Ce n’est pas toujours possible.

Exemple 4.7(Pinceaux de formes quadratiques). — Soit V un espace vectoriel de di-mensionn sur un corpsKalgébriquement clos(de caractéristique6=2) et soient f etf0 des formes quadratiques sur V. On supposef non dégénérée. Lepinceauengendré parf etf0est l’ensemble de formes quadratiques

{fλ:=λff0|λ∈K}.

On choisit une base de V dans laquelle la matrice def est In(ex. 4.3.1°) ; soit M la matrice de g dans cette même base. La forme quadratique fλ est dégénérée si et seulement si d´et(λIn−M)=0, c’est-à-dire siλest valeur propre de M. Supposons ces valeurs propres λ1, . . . ,λn toutes distinctes (c’est le cas « général »). La matrice M est alors diagonali-sable(13) : il existe une base (e1, . . . ,en) de V composée de vecteurs propres de M. Plus

12. Pour décrire ces classes d’équivalence, il faut voir une forme quadratique surQcomme une forme quadra-tique non seulement sur son complétéR, mais aussi sur chacun des corpsp-adiquesQp, oùpest un nombre premier impair : des formes quadratiques surQsont équivalentes si et seulement si elles le sont dansRet dans chacun desQp(« Théorème de Hasse-Minkowski » ; Serre, J.-P.,Cours d’arithmétique,chap. IV, th. 9 ;cf.aussi prop. 7). Sur chacun de ces corps, il y a un invariant facile à calculer qui permet de tester l’équivalence (c’est la signature sur le corpsRet un invariant dans {±1} sur les corpsQp).

13. Attention : la matrice M est symétrique, mais cela n’entraîne pas en général qu’elle est diagonalisable !

précisément, MEiiEi, où Ei est la matrice (colonne) des composantes deei dans la base de départ. On a alors, pouri6=j,

b0(ei,ej)=tEiMEjjtEiEj, qui est aussi égal, par symétrie deb0, à

b0(ej,ei)=tEjMEiitEjEiitEiEj.

Commeλi 6=λj, on en déduit 0=tEiEj=b(ei,ej)=b0(ei,ej). La base (e1, . . . ,en) est donc orthogonale à la fois pourf et pourf0. En remplaçantei parei/p

b(ei,ei), on obtient une base de V dans laquelle

f(x)=x12+ · · · +xn2, f0(x)=λ1x21+ · · · +λnxn2.

C’est le cas le plus simple. Dans tous les cas, on peut définir pour tout pinceau de formes quadratiques une suite de nombres appeléesymbole de Segredu pinceau et, pour chaque symbole, une « forme normale » des quadriques du pinceau.

Exercice 4.8(Pinceaux de formes quadratiques, suite). — Soit V un espace vectoriel de di-mensionnsur un corpsKalgébriquement clos (de caractéristique6=2) et soientf etf0des formes quadratiques sur V. On supposef non dégénérée et on pose

X :={x∈V|f(x)=f0(x)=0}.

C’est un cône dans V.

a) Montrer l’équivalence des conditions suivantes :

(i) il existe une baseBde V etλ1, . . . ,λnKdistincts tels que, pour toutx∈V de coordon-nées (x1, . . . ,xn) dansB,

f(x)=x12+ · · · +xn2, f0(x)=λ1x21+ · · · +λnx2n;

(ii) l’ensemble desλ∈Ktels que la forme quadratiqueλff0soit dégénérée anéléments ; (iii) pour toutx∈X {0}, les orthogonaux dexpourf et pourf0sont des hyperplans dis-tincts de V.

(Indication :l’équivalence (i)⇔(ii) est l’ex. 4.7 ci-dessus.)

b) On suppose les conditions équivalentes de a) satisfaites etnimpair. Montrer que X contient exactement 2n1sous-espaces vectoriels de V de dimension (n−1)/2 et qu’ils forment une unique orbite sous l’action du groupeµn2 (oùµ2={1,−1}'Z/2Zest le groupe des racines carrées de 1 dansK) donnée dans la baseBde V de la condition (i) ci-dessus par (ε1, . . . ,εn)· (x1, . . . ,xn)=(ε1x1, . . . ,εnxn).

(Commentaire :le casn=3 est relativement facile. Le cas général peut se faire au prix de calculs assez lourds, pour lesquels on peut consulter la partie 3 de la thèse de M. Reid à www.maths.warwick.ac.uk/ miles/3folds/qu.pdf ).

4.4. Décomposition en somme directe orthogonale : cas d’un vecteur isotrope. — La formebest ici symétrique ou alternée, non dégénérée.

Lemme 4.9. — Si x est un vecteur isotrope non nul, il existe un vecteur isotrope y tel que b(x,y)=1.

4. ORTHOGONALITÉ 69

Dans la base (x,y) du plan P engendré parxety, la matrice debest µ0 1

ε 0

, oùε=1 ou−1 selon quebest symétrique ou alternée. On dit que P est unplan hyperbolique.

Démonstration. — Commebest non dégénérée et quexn’est pas nul, on peut toujours trouverx0tel queb(x,x0)=1, puis on prendy=x012b(x0,x0)x, qui satisfait les propriétés voulues.

L’intérêt d’un plan hyperbolique P est queb|Pest non dégénérée ou, de manière équi-valente, P∩P=0. Il en résulte

V=P⊕P.

La formebest encore non dégénérée sur Pet on peut recommencer la même opéra-tion sur P, si celui-ci admet un vecteur isotrope non nul. Finalement, on fabrique une décomposition en somme directe orthogonale

V=P1⊕ · · ·PνW,

où P1, . . . , Pνsont des plans hyperboliques et où le seul vecteur isotrope de W est 0 ; on dit que W est unsous-espace anisotrope.

L’entierνest l’indicede la formeb; on verra plus loin (cor. 5.5.2°) que c’en est un inva-riant. Une somme orthogonale de plans hyperboliques comme ci-dessus P1⊕ · · ·Pνest appelée unespace hyperbolique.

On a obtenu à ce stade deux formes de réduction pour une forme quadratiquef :

— une décomposition dite de Gauss en〈α1, . . . ,αn〉;

— une décomposition en somme directe orthogonale d’un espace hyperbolique et d’un espace anisotrope.

Remarquons que toute forme 〈α,−α〉 (α ∈ K×) est un plan hyperbolique, puisqu’elle contient un vecteur isotrope non nul, (1, 1). Concrètement, cette forme s’écritf(x1,x2)= αx12−αx22dans une base (e1,e2) etf(y1,y2)=2y1y2dans la base (α1(e1+e2),e1e2), qui est donc hyperbolique.

Exemples 4.10. — 1° SiKest quadratiquement clos, toute forme quadratique non dé-générée surKn peut s’écrire〈1,−1, 1,−1, . . . ,〉. C’est donc la somme directe orthogonale debn/2cplans hyperboliques et, sinest impair, de la forme anisotrope〈1〉.

2° SiK=R, on a vu (ex. 4.3.2°) que toute forme quadratique non dégénérée s’écrit

〈1, . . . , 1

| {z }

sfois

,−1, . . . ,−1

| {z }

tfois

〉.

SisÉt, c’est donc la somme directe orthogonale desplans hyperboliques et de la forme définie négative (donc anisotrope)〈−1, . . . ,−1

| {z }

tsfois

〉.

Exercice 4.11. — SoitKun corps de caractéristique différente de 2 et soitf une forme qua-dratique non dégénérée sur unK-espace vectoriel V de dimension finie non nulle. SoitaK.

On dit quef représente as’il existev∈V non nul tel quef(v)=a.

a) La forme quadratique〈1, 1, 1,−7〉surQ4représente-t-elle 0 ? b) Sifreprésente 0, montrer quefreprésente tout élément deK.

c) Soitgune forme quadratique non dégénérée sur unK-espace vectoriel W de dimension finie non nulle. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

(i) il existeaKqui est représenté à la fois parfet parg;

(ii) la forme quadratiqueh(v,w)=f(v)−g(w) sur l’espace vectoriel V⊕W représente 0.

4.5. Décomposition en somme directe orthogonale : cas alterné. — On supposeb al-ternée (et non dégénérée). Dans ce cas, tout vecteur est isotrope et on obtient comme ci-dessus une décomposition en somme directe orthogonale (l’espace W est nécessairement nul)

V=P1

⊕ · · ·⊕Pν.

En particulier, la dimension de V est paire (égale à 2ν) et, à isométrie près, il n’y a qu’une seule forme alternée non dégénérée sur unK-espace vectoriel de dimension paire 2ν; on notera son groupe d’isométries Sp2ν(K).

Dans une base (e1, . . . ,e2ν) telle que (ei,ei+ν) est une base standard de Pi, la matrice debest

J2ν=

µ 0 Iν

−Iν 0

. (22)

On a alors

Sp(K)={U∈GL2ν(K)|tUJ2νU=J2ν}. (23) Décomposant la matrice par blocs,

U= µA B

C D

¶ , il vient U∈Sp2ν(K) si et seulement si

tAC=tCA, tBD=tDB, tAD−tCB=Iν. (24)

En particulier, on a Sp2(K)=SL2(K). On a en fait l’inclusion Sp2ν(K)⊆SL(K)

pour toutνÊ1, mais elle n’est pas facile à démontrer (cor. 7.2 et cor. III.4.8).

Dans le document ALGÈBRE 1 (Page 64-70)